专题16 导数与函数的极值、最值（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题16导数与函数的极值、最值

1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．►考点01判断函数极值点的存在性▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.步骤分解：求函数定义域，确保后续求导有意义．计算一阶导数，并化简为易分析的形式（如分式、多项式等）．令，解方程求驻点（导数为0的点），同时注意导数不存在的点（如分段函数分段点、分母为0的点）．分析驻点和导数不存在点左右两侧导数的符号变化：若左侧，右侧，则为极大值点；若左侧，右侧，则为极小值点；若两侧符号相同，则不是极值点（如在处）．2.关键技巧：导数不存在的点需单独验证（如在处导数不存在，但为极小值点）．若方程难以直接求解，可结合函数单调性、零点存在定理判断驻点个数．【例1】（2025春•通州区期中）若函数在上存在极值，则实数的取值范围为A． B．，， C．，， D．，【答案】【分析】函数存在极值的条件是对应导函数存在变号零点，据此计算即可．【解答】解：由题得，因为在存在极值，故导函数存在变号零点，注意到导函数是二次函数，故方程存在两个不等实根，所以△，解得或，即实数的取值范围是，，．故选：．【例2】（2025•汕头一模）设，若函数在内存在极值点，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系即可求解．【解答】解：由题意可得，若函数在内存在极值点，则在内有变号零点，即在上有解，整理得在上有解，原题意等价于直线与在内的图象有交点，因为在上单调递增，则，所以．故选：．【例3】（2025春•北京期中）“”是函数“存在极大值和极小值”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】求导后令，结合判别式和韦达定理分析可得答案．【解答】解：，则，令，即，△，，，若，则函数有两个正根，即有两个变号零点，此时函数存在极大值和极小值；当时，方程无正根或仅有一个重根，此时函数不可能同时存在极大值和极小值；综上，“”是函数“存在极大值和极小值”的充分必要条件．故选：．【例4】（2025•南岗区三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是A． B．， C． D．【答案】【分析】由极值点的定义，将问题等价于导函数求零点，利用导数与函数单调性的关系，可得答案．【解答】解：由题意可得的定义域为，，因为函数存在唯一极值点，所以函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解，即方程存在唯一解，令，则，由，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，当时，，则，当时，，易知当，即时，方程存在唯一解，当时，，易知方程的解为，由当时，，，则，同理可得当时，，所以此时函数无极值点，不符合题意；当，时，，易知函数在上单调递增，符合题意．故选：．【例5】（2025春•重庆期中）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围．【解答】解：函数，，那么导函数，如果存在唯一极值点，那么方程在上有唯一的根，因此根据，可得，那么有唯一的根，与的图象有一个交点（非切点），又因为导函数，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数的极大值为，且当时，，当时，，则函数的图象如下图所示：所以当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点），因此，实数的取值范围是，．故选：．►考点02已知极值求参数值或范围▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.必要条件法（利用极值点处导数为0）：若是极值点，则，代入求得参数值．注意：需检验该参数值是否满足极值的充分条件（即导数符号在两侧变化），避免误将驻点当极值点（如，但非极值点）．2.分类讨论法（参数影响导数符号）：若导数含参数且无法直接求根，需对参数分类讨论，分析的根的分布及两侧符号．例如：二次函数型导数，需讨论a的正负、判别式的符号，确定根的个数及区间单调性．3.隐含条件结合法：若题目中给出“极值存在”，则需保证导数方程有解且解为极值点，即：方程有实根；实根处导数符号变化．【例6】（2025•阳西县模拟）已知函数在处取得极小值，则的值为A． B．1 C．或1 D．或2【答案】【分析】利用极值点的导数值为0，再进行检验，即可得解．【解答】解：由题意可得，则（1），解得或，当时，，由于，，，，所以函数在时有极小值，当时，，由于，，，，所以函数在时有极大值，故舍去．综上，的值为．故选：．【例7】（2025春•临沂期中）已知函数的极大值为4，则A． B． C．2 D．3【答案】【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为4，求，验证即可．【解答】解：由已知，，令，得或，当时，在，上满足，单调递增，在上满足，单调递减，所以在处取得极大值，（a），不符合题意；当时，，在上单调递增，无极值，不符合题意；当时，在，上满足，单调递增，在上满足，单调递减，所以在处取得极大值，，解得；综上所述，．故选：．【例8】（2025春•市南区期中）已知函数在处有极值，则实数的值为A． B．1 C． D．3【答案】【分析】对求导，得到，根据题设有，即可求解．【解答】解：由于函数，那么导函数，根据题有，解得，因此导函数，令，得到或，当时，，当，，时，，所以是的极大值点，即满足题意．故选：．【例9】（2025春•沙坪坝区月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】【分析】题意等价于在内有有两个不等实根，通过参变分离，可解得的取值范围．【解答】解：由题意，，即在内有两个不等实根，由的图象与性质知，，解得．故选：．【例10】（2025春•安徽月考）已知有两个极值点，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】【分析】由参变分离得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知，直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围，再结合极值点的定义检验即可．【解答】解：因为，则，由题意可知，函数有两个异号的根，显然，题意等价于有两个不相等的变号根，令，其中，则，由可得，列表如下：30减减极大值增所以，函数的减区间为和，增区间为，函数的极小值为，且当时，；当时，．大致图象如下：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为、，设，由图可知，，且，当时，，则，此时，函数单调递增，当时，，则，此时，函数单调递减，当时，，则，此时，函数单调递增，故当时，函数有两个极值点，因此，实数的取值范围是．故选：．►考点03求函数的极值（含极值点与极值）▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.常规步骤：确定函数定义域D．求导，解方程得驻点，同时找出不存在的点，记为．将定义域D按上述点划分为若干区间，列表分析每个区间内的符号，确定函数单调性．根据单调性变化，确定每个点是否为极值点，并求出极值：极大值：左增右减；极小值：左减右增．2.特殊情形处理：分段函数：分段求导，注意分段点处的导数是否存在，结合左右极限判断极值．含绝对值函数：去绝对值转化为分段函数，再按上述步骤求解（如）．【例11】（2025•南岗区四模）已知是函数的极值点，则函数的极小值为A． B． C．0 D．【答案】【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系即可求解．【解答】解：，因为是函数的极值点，所以（1），即，所以，当或时，，当时，，故在，上单调递减，在上单调递增，故时，函数取得极小值．故选：．【例12】（2025春•四川期中）函数的极小值点为A． B．1 C． D．2【答案】【分析】对求导，利用极值点的定义即可求解．【解答】解：函数的定义域为，则，令，可得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值．故选：．【例13】（2024秋•连云港期末）函数f（x）＝x3﹣12x+1的极小值为（）A．﹣17 B．﹣15 C．15 D．17【答案】B【分析】对函数求导，令导数等于0，求得x＝±2，分别研究导函数在x＜﹣2，﹣2＜x＜2和x＞2时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值．【解答】解：由题意，f′（x）＝3x2﹣12，令f′（x）＝3x2﹣12＝0，得x＝±2，当x＜﹣2时，f′（x）＞0，函数单调递增；当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，函数单调递增；所以x＝2是f（x）的极小值点，极小值为f（2）＝﹣15．故选：B．【例14】（2025春•大通县月考）函数的极大值为A． B．0 C．1 D．【答案】【分析】求函数的导数，从而确定函数的单调性与极值．【解答】解：函数，定义域为，，当时，，原函数递减，当时，，原函数递增，故函数的极大值为．故选：．【例15】（2024秋•平凉期末）若函数在时取得极小值，则的极大值为A． B．1 C． D．【答案】【分析】由题意，对函数进行求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，利用导数得到函数的单调性，进而可解．【解答】解：易知的定义域为，可得，若函数在时取得极小值，此时（2），即，解得，所以，因为，所以，令，解得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得极大值，极大值．故选：．►考点04求函数在闭区间上的最值▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.步骤总结：求函数在开区间内的所有极值点（驻点及导数不存在的点）．计算极值点处的函数值，以及区间端点处的函数值和．比较所有函数值，最大者为最大值，最小者为最小值．2.关键逻辑：闭区间上的连续函数必有最值，且最值可能在极值点或端点处取得．若函数在区间内单调递增，则最小值为，最大值为；单调递减则相反．3.含参数的最值问题：若参数影响极值点的位置（如极值点与区间[a,b]的相对位置），需分类讨论：当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点；当时，需比较；当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点．【例16】（2025•白银模拟）若正实数，满足，则的最小值为A．1 B． C． D．2【答案】【分析】原等式变形为，构造函数，，分析单调性可得，等价变形为，根据函数单调性可得的最小值．【解答】解：由，得，故．由题意得，，，，由得，．设，，则，在上单调递增，，，，即，，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当时，取极小值也是最小值，最小值为．故选：．【例17】（2025春•东莞市期中）函数在，上的最小值为A． B． C． D．1【答案】【分析】不含参函数定区间求最值，可求导，用导数判断单调性，从而得解．【解答】解：因为，所以，令，解得，令，解得，故在，上单调递减，在上单调递增，故．故选：．【例18】（2025春•三原县期中）函数在区间，上的最大值为A．0 B． C． D．【答案】【分析】由，知，令，得当时，在，上的最大值是．【解答】解：，，令，得，，，由，得，当时，，递增；当时，，递减；当时，在，上的最大值是．故选：．【例19】（2025春•四川期中）函数在区间，上的最小值、最大值分别为A． B． C． D．【答案】【分析】利用导数判断在区间，上的单调性，进而分析最值．【解答】解：因为，，，则，令，则或，令，则，可知在，内单调递增，在内单调递减，且，，，，即，所以函数在区间，上的最小值、最大值分别为．故选：．【例20】（2025春•河南期中）已知函数，，，则的最小值为A． B． C． D．【答案】【分析】根据函数导数求出函数的单调性，由单调性求出函数的最值即可．【解答】解：由，得．当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在处取得极小值也是最小值．即的最小值为，故选：．►考点05已知最值求参数值或范围▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.分类讨论法（参数影响最值位置）：若参数影响极值点是否在给定区间内，需分情况讨论极值点与区间的位置关系，再结合最值条件列方程或不等式．例如：函数在[0,2]上的最大值为4，求a．需讨论极值点是否在[0,2]内，再求对应最大值．2.不等式转化法（最值条件转化为不等式）：若题目要求“函数在区间上的最大值”，则转化为“”，通过求最值表达式解不等式．注意：若最值在端点取得，需直接代入端点值；若在极值点取得，需结合极值点条件联立求解．3.隐含条件注意事项：若题目中提到“存在最值”，需保证函数在区间上连续（闭区间连续函数必有最值），或参数使函数满足最值存在的条件（如无无限增长趋势）．【例21】（2025春•洛阳期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则的取值范围是A． B．， C．， D．，【答案】【分析】先对函数求导，结合导数分析函数的单调性，进而可求函数取得最值的位置，可求．【解答】解：，易得，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因为，（2），，因为函数在上存在最小值，所以，解得．故选：．【例22】（2025春•浙江期中）已知函数在区间，上的最小值小于，则正数的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】对求导，得到的两根，关于的大小进行分类讨论，求导并得到的单调性和最值，结合在区间，上的最小值小于，求出的取值范围．【解答】解：由已知，，，令，得，，若，即时，在，上递增，，不符合题意，若，即时，在，上递减，在，上递增，，整理得，解得，综上，正数的取值范围是．故选：．【例23】（2025春•天津期中）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是A．， B． C．， D．【答案】【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值．【解答】解：由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值，令，解得或，若函数在内存在最小值，则，解得，即实数的取值范围是，．故选：．【例24】（2025•皇姑区模拟）已知的最小值为0，则的值为A． B． C． D．【答案】【分析】通过换元法将原函数转化为关于新变量的函数，再利用导数研究新变量的取值范围以及新函数的单调性，进而求出的值．【解答】解：函数，那么令，令，则；令，则，且时，，那么．那么函数的最小值为0，即的最小值为0，所以，那么导函数时，导函数，那么．故选：．【例25】（2025春•安徽期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是A． B． C．， D．，【答案】【分析】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题．【解答】解：在区间上有解，可转化为存在，使得成立，即，令，则，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故当时，取得极小值（e），也是最小值，所以，即．故选：．►考点06含参数的极值与最值综合问题（含恒成立、存在性问题）▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.恒成立问题转化：在区间D上恒成立；在区间D上恒成立．2.存在性问题转化：存在使；存在使．3.求解步骤：求在区间D上的极值和端点值，确定和（可能含参数）．根据恒成立或存在性条件，转化为关于参数的不等式，解不等式即可．【例26】（2025•雨花区模拟）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为，．【答案】，．【分析】根据解析式，分析到的对称性和单调性，将若在上恒成立，转化为在上恒成立，设，分类讨论可得的取值范围．【解答】解：因为，所以定义域为，因为，所以关于点对称，，时，在上递增，所以在上递增，则由在上恒成立，得在上恒成立，设，则，，则在上递减，若，则时，，在递减，，符合题意，若，则，，则存在，使得，时，，递增，，不合题意，综上，，故实数的取值范围为，．故答案为：，．【例27】（2025•张掖一模）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D