专题18 任意角和弧度制、三角函数的概念（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第14页（共14页）专题专题18任意角和弧度制、三角函数的概念-

一．选择题（共10小题）1．（2025春•北京期中）与角终边相同的角可以表示为A．， B．， C．， D．，2．（2024秋•固镇县期末）的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2025•开福区一模）如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为A． B． C． D．4．（2024秋•枣庄期末）已知是第一象限角，那么是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角5．（2024秋•同心县期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为A． B． C． D．6．（2024秋•牡丹江期末）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则A． B． C． D．7．（2025春•东港区月考）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是A．和 B． C． D．18．（2025春•南昌月考）将化为，，的形式是A． B． C． D．9．（2024•江苏模拟）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为A． B． C． D．10．（2023•南平模拟）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧．以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•昌乐县期中）下列说法正确的是A．与的终边相同 B．若为第二象限角，则为第四象限角 C．终边经过点，的角的集合是 D．若一扇形的圆心角为4，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为（多选）12．（2024秋•菏泽期末）下列选项正确的是A． B． C．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 D．若是第一象限角，则是第一或第二象限角（多选）13．（2024春•江西月考）下列说法中正确的是A． B．若为第一象限角，则为第一或第三象限角 C．第一象限角都是锐角 D．终边在直线上的角的集合是（多选）14．（2024秋•白银期末）已知角的终边上一点的坐标为，则A．为第四象限角 B． C． D．三．填空题（共4小题）15．（2024秋•阿鲁科尔沁旗期末）与角终边相同的最小正角是．（用弧度表示）16．（2024秋•濮阳期末）一个扇形的弧长和面积都为1，则此扇形的圆心角的弧度数为：．17．（2024秋•石家庄月考）若角的终边经过点，则的值为．18．（2024春•徐汇区期中）设为实数，点为角的终边上一点，且，则．四．解答题（共6小题）19．（2023春•安源区期中）已知．（1）把角写成的形式，指出它是第几象限的角；（2）求出的值，使与的终边相同，且．20．（2023秋•金城江区月考）某时钟的分针长，时间从到，求：（1）分针转过的角的弧度数；（2）分针扫过的扇形面积；（3）分针尖端所走过的弧长取3.14，计算结果精确到．21．（2021秋•大理市期末）已知半径为10的圆中，弦的长为10．（1）求弦所对的圆心角的大小；（2）求所在的扇形的弧长及弧所在的弓形的面积．22．（2021秋•城关区期末）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为．（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？23．（2024秋•河南期末）在平面直角坐标系中，角的终边在直线上，求的值．24．（2023秋•青羊区月考）已知点在角的终边上，且．（1）求和的值；（2）求的值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBBDBDBAAD二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABDBCABBC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】变换，得到答案．【解答】解：因为，所以与角终边相同的角可以表示为，．故选：．2．【答案】【分析】根据题意可得，进而分析象限角即可．【解答】解：因为，又因为为第二象限角，即的终边在第二象限．故选：．3．【答案】【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解．【解答】解：圆的半径为1，劣弧的长为，所以，则，，所以阴影部分的面积为．故选：．4．【分析】由题意是第一象限角可知的取值范围，然后求出即可．【解答】解：的取值范围，的取值范围是，分类讨论①当（其中时的取值范围是，即属于第三象限角．②当（其中时的取值范围是，即属于第一象限角．故选：．5．【答案】【分析】根据弧度和角度的换算得到，然后利用弧长公式和扇形面积公式计算．【解答】解：由题意，扇形的圆心角，设扇形的半径为，由扇形的弧长，所以，所以该扇形的面积为．故选：．6．【答案】【分析】根据单位圆及正弦函数的定义得解．【解答】解：由题意，角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，所以，解得，所以．故选：．7．【答案】【分析】分析可知，，由三角函数的定义可得出关于的方程，即可解出的值．【解答】解：终边经过点，则，①所以，①式整理可得，，解得（负值舍去）．故选：．8．【答案】【分析】由终边相同的角的概念求解即可．【解答】解：因为．符合条件的只有选项．故选：．9．【答案】【分析】由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，由已知利用扇形的面积公式，三角形的面积公式可求弓形的面积，由于外侧的圆弧以为直径，可求半圆的面积，即可求解月牙形的面积．【解答】解：由已知可得，的外接圆半径为1，由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，则弓形的面积为，外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，则月牙形的面积为．故选：．10．【答案】【分析】每段圆弧的圆心角为，再结合等差数列的前项和公式，即可求解．【解答】解：由题意可知，每段圆弧的圆心角为，第一段圆弧到第段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，，，故当得到的“蚊香”恰有9段圆弧时，“蚊香”的长度为．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据终边相同的角的关系判断的真假；根据象限角的表示方式判断的真假；分和讨论，可判断的真假；计算扇形面积，判断的真假．【解答】解：对：由，可得与的终边相同，故正确；对：由题意为第二象限角，可得，，所以，，所以为第四象限角．故正确；对：当时，终边经过点的角的集合是；当时，终边经过点的角的集合是，故错误；对：由题意可得，扇形的半径，可得扇形面积为，故正确．故选：．12．【答案】【分析】根据弧度、角度关系判断；同角三角函数关系化简判断；弧度表示角度，利用弧长公式求半径，再由扇形面积公式求面积判断；根据已知求得，，即可判断．【解答】解：对于，故错误；对于，故正确；对于：由，则半径，扇形面积为，故正确；对于：由题设，，则，，所以是第一或第二象限角或轴线角，故错误．故选：．13．【答案】【分析】根据角度和弧度的转化判断；根据分角的判断方法判断；举出反例判断；写出终边在直线上的角的集合判断．【解答】解：对于，，正确；对于，为第一象限角，即，则，则为第一或第三象限角，正确；对于，第一象限角不都是锐角，比如为第一象限角，但不是锐角，错误；对于，终边在直线上的角的集合是，错误．故选：．14．【答案】【分析】根据三角函数定义求解判断．【解答】解：角的终边上一点的坐标为，则为第二象限角，故，，．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】利用终边相同的角的关系式求解即可．【解答】解：与角终边相同的角为，令，可得与角终边相同的最小正角为．故答案为：．16．【答案】【分析】结合扇形的弧长和面积公式，即可得解．【解答】解：因为，所以扇形的半径，由知，．故答案为：．17．【答案】．【分析】由三角函数的定义求出的值，结合弦化切可得所求代数式的值．【解答】解：角的终边经过点，则，所以．故答案为：．18．【答案】．【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：点为角的终边上一点，且，解得．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【分析】（1）利用终边相同的假的表示方法，把角写成的形式，然后指出它是第几象限的角；（2）利用终边相同的角的表示方法，通过的取值，求出，且．【解答】解：（1），，把角写成的形式为：，它是第三象限的角．（2）与的终边相同，令，，，满足题意，得到，．20．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】时钟的分针转一周是60分钟，转过的弧度是，从到，分针转过的角的弧度就求出来了，再利用扇形面积公式和弧长公式即可求解．【解答】解：（1）时钟的分针从到，分针转过的角的弧度是；（2）分针扫过的扇形面积；（3）分针尖端所走过的弧长是．21．【分析】（1）通过三角形的形状判断圆心角的大小，即可求弦所对的圆心角的大小；（2）直接利用弧长公式求出所在的扇形的弧长，利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得到所在的弓形的面积．【解答】解：（1）由的半径，知是等边三角形，．（2）由（1）可知，，弧长，，而，．22．【分析】（1）设弧长为，弓形面积为，利用三角形的面积公式，弧长公式即可计算得解．（2）扇形周长，可得，利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．【解答】解：（1）设弧长为，弓形面积为，则：，，，．（2）扇形周长，，．当且仅当，即时，