专题21 简单的三角恒等变换（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题21简单的三角恒等变换

一．选择题（共10小题）1．（2025•深圳模拟）若函数，则函数的最小正周期为A． B． C． D．2．（2025春•青山湖区期中）等于A． B． C． D．3．（2025•宿迁模拟）已知，则A． B． C． D．4．（2025•湖南模拟）A． B．1 C． D．5．（2025春•郫都区月考）设，则有A． B． C． D．6．（2025春•湖北期中）设函数，若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为A． B． C． D．7．（2025春•宝坻区月考）已知函数的最小正周期为，则下列结论错误的是A． B．函数的最大值为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递增8．（2025春•广东期中）已知函数，则下列结论正确的是A．是奇函数 B．在上单调递减 C． D．的图象关于直线对称9．（2025春•和平区期中）若函数（其中在上恰有1个零点，则的值可能是A． B． C．2 D．410．（2025春•朝阳区期中）设向量，，若函数在区间上恰有3个零点，，，，则的值为A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•永州月考）已知函数，则下列说法正确的是A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象的一条对称轴方程为 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到（多选）12．（2025•香坊区模拟）下列计算结果正确的是A． B． C． D．（多选）13．（2025•枣庄二模）已知函数的最小正周期为，则A． B． C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称（多选）14．（2025春•柳州月考）已知函数，则下列说法正确的是A．函数的最小正周期为 B．的图象向左平移个单位后可以得到函数的图象 C．是函数图象的一个对称中心 D．函数在区间的最小值为三．填空题（共4小题）15．（2025春•长宁区期中）已知函数的值域为．16．（2025•岳阳模拟）已知，，，且，则．17．（2025•南京模拟）函数在，上的最大值是．18．（2025春•潍坊月考）化简：．四．解答题（共6小题）19．（2024秋•米东区期末）（1）求证：；（2）已知，求．20．（2025春•赣榆区月考）化简：①；②．21．（2025春•黄浦区月考）（1）求值：．（2）化简：（其中是第二象限角）．22．（2025春•四川月考）已知函数的最大值为7．（1）求；（2）求在上的值域；（3）若，求的值．23．（2025•石景山区模拟）已知函数．（Ⅰ）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值；（Ⅱ）若在区间，上的最大值为，求的值．24．（2025•武进区一模）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BABBCABBBB二．多选题（共4小题）题号11121314答案ADACACDABC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】直接根据同角三角函数之间的关系对函数进行化简，再结合正弦函数周期的求法即可得到结论．【解答】解：因为：．所以：所求周期，故选：．2．【答案】【分析】由已知结合二倍角公式及两角差的正弦公式即可化简．【解答】解：．故选：．3．【答案】【分析】利用辅助角公式得，又，利用二倍角的余弦公式即可求解．【解答】解：由得，，即，则．故选：．4．【答案】【分析】利用二倍角公式以及切化弦化简，再变形，利用诱导公式和二倍角公式化简即可．【解答】解：因为，所以，又因为，于是．故选：．5．【答案】【分析】利用三角恒等变换化简、、，结合正弦函数的单调性可得出、、的大小关系．【解答】解：，，，因为函数在上为增函数，且，故，即．故选：．6．【答案】【分析】根据三角恒等变换公式化简得，然后根据在区间上恰有2个零点，利用正弦函数的性质建立关于的不等式，解之即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，可得．当时，，，若在区间上恰有2个零点，则，解得．故选：．7．【答案】【分析】根据三角恒等变换公式化简得，从而运用三角函数的周期判断出项的正误；根据正弦函数的最值判断出项的正误；由正弦函数的性质，先求出图象的所有对称轴方程，再判断的图象是否关于直线对称，即可判断出项的正误；根据正弦函数的单调性判断出在上单调递增，即可得到选项的正误．【解答】解：由题意，可得，根据的最小正周期为，可得，解得，可知项正确；根据正弦函数的性质，可知的最大值为，所以项错误；对于，令，可得，所以图象的对称轴方程为，取，可得直线是图象的一条对称轴，可知项正确；当时，，，结合正弦函数的性质，可知在区间上单调递增，可知项正确．故选：．8．【答案】【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质即可判断；利用正弦函数的单调性即可判断；利用诱导公式以及正弦函数的性质即可判断；利用正弦函数的性质即可判断．【解答】解：由题意可得，则不是奇函数，故错误；由，得，则在上单调递减，故正确；由题意可得，可得，故错误；由于，可得的图象不关于直线对称，故错误．故选：．9．【答案】【分析】先对函数化简变形为，令，解得或，由，求出范围，再由在上恰有1个零点，得，从而可得的取值范围．【解答】解：由题意，，令，则，所以或，因为，所以，因为函数在上恰有1个零点，所以，解得，则的值可能是．故选：．10．【答案】【分析】根据题意化简，利用正弦函数的图象与性质求出的取值范围，结合函数的对称性及周期性，计算的值即可．【解答】解：由题意知，，时，，，恰有3个零点，为，，，设，则，，由，得，由正弦函数的图象知，，令，则，则，，．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】对于选项，将函数化简为最简形式，利用最小正周期公式即可求得；对于选项利用整体代入思想与正弦函数的单调性可得；对于选项利用对称轴公式即可求得，对于选项则利用平移变换的知识即可求出．【解答】解：，对于，，故正确；对于，因为，，而函数在上不单调，故在区间上不单调，故错误；对于，由，得，故错误；对于，由的图象向左平移个单位长度，得，故正确．故选：．12．【答案】【分析】对于，利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解；对于，利用二倍角的余弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解；对于，利用两角和的正切公式，同角三角函数基本基本关系式以及特殊角的三角函数值即可求解；对于，利用两角差的正切公式即可求解．【解答】解：对于，，故正确；对于，等式左边，故错误；对于，等式左边，故正确；对于，因为，所以等式左边，故错误．故选：．13．【答案】【分析】由同角三角函数的关系及正余弦二倍角公式得到，进而逐项判断即可．【解答】解：，由题意可得，解得，故正确；由于，又，可得，而，故错误；当时，，，单调递减，故正确；令，得，令，可得图象的一个对称中心为点，故正确．故选：．14．【答案】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断选项；利用三角函数图象变换可判断选项；利用正弦型函数的对称性可判断选项；由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可判断选项．【解答】解：，对于选项，函数的最小正周期为，对；对于选项，的图象向左平移个单位后可以得到的图象，对；对于选项，因为，所以是函数图象的一个对称中心，对；对于选项，当时，，所以，错．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】，．【分析】化函数为正弦型函数，根据正弦函数的值域求解即可．【解答】解：函数，因为的值域是，，所以的值域为，．故答案为：，．16．【分析】由题意可得，化简后可得：，由二倍角的正切函数公式可求的值，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：，，，且，，可得：，，．故答案为：．17．【答案】2．【分析】先用半角公式，降幂公式及辅助角公式进行化简，然后再结合正弦函数的图象求最大值．【解答】解：，因为，，所以，所以，所以，所以在，上的最大值为2．故答案为：2．18．【答案】．【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换求出结果．【解答】解：．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）证明见解答；（2）．【分析】（1）应用因式分解及平方关系式，整理化简右侧，再由弦化切即可证结论；（2）由，应用诱导公式、平方关系求，即可得函数值．【解答】解：（1）证明：因为右边左边，所以得证．（2）因为，因为，所以，所以，所以．20．【答案】（1）；（2）．【分析】①结合同角基本关系，二倍角公式，辅助角公式进行化简即可求解；②结合诱导公式，二倍角公式进行化简即可求解．【解答】解：①；②时，．21．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据二倍角的正弦函数求解即可；（2）根据同角三角函数的基本关系结合角的范围求解即可．【解答】解：（1）；（2），因为是第二象限角，所以，所以原式．22．【答案】（1）5；（2）；（3）．【分析】（1）先把函数化成，再根据函数的最大值求的值；（2）利用换元思想，结合的图象，求函数的值域；（3）利用诱导公式和二倍角公式求值．【解答】解：（1）因为，由于且的最大值为7，可得，所以；（2）当时，可得，由在上单调递减，在上单调递增，可得，所以，可得，故在上的值域为；（3）由题意，可得，可得．23．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出结果；（Ⅱ）利用函数定义域求出函数值域，进一步求出的值．【解答】解：（Ⅰ）函数；