专题30 等差数列（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题30等差数列

一．选择题（共10小题）1．（2025春•顺义区期末）在等差数列中，，，则A．8 B．10 C．12 D．142．（2025春•遵义期末）已知等差数列的前项和为，若，，则A．78 B．72 C．39 D．363．（2025春•洛阳期末）已知等差数列的前项和为，若，，则A．72 B．100 C．144 D．1564．（2025春•庐江县期末）记等差数列的前项和为，，则A．40 B．20 C．25 D．305．（2025春•越秀区期末）设等差数列的前项和为，若，，则A．20 B．18 C．16 D．156．（2025春•河南期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则A．6 B．5 C．4 D．37．（2025•山西二模）已知等差数列的前项和为，且，，则A．52 B．96 C．106 D．1208．（2025•5月份模拟）记为等差数列的前项和，若的公差为，，则A． B． C． D．9．（2024秋•颍州区期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则A． B． C． D．10．（2025春•成都期末）已知数列的前项和，则数列的前8项和为A．0 B．32 C．48 D．64二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•龙文区模拟）等差数列中，为其前项和，，，则以下说法正确的是A． B． C．的最大值为 D．使得成立的最大整数（多选）12．（2025•沧州二模）已知公差为的等差数列中，前项和为，且，，则A． B． C． D．（多选）13．（2025春•江门月考）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（）A．d＜0 B．a16＜0 C．Sn≤S15 D．当且仅当n≥32时，Sn＜0（多选）14．（2025春•贵州期中）已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是A．的公差 B． C． D．三．填空题（共4小题）15．（2025春•闵行区月考）1945和1949的等差中项为．16．（2025春•射洪市期末）在前项和为的等差数列中，，，则．17．（2025春•浦东新区期末）设两个等差数列、的前项和分别为、，若对任意正整数都有，则的值为．18．（2025•裕安区模拟）已知等差数列中，是的前项和，且满足，，则．四．解答题（共6小题）19．（2025春•成华区月考）已知数列为等差数列，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和的最大值．20．（2025春•浦东新区期末）已知为等差数列．（1）若，求的值．（2）若，，求．21．（2024秋•东城区期末）已知数列满足，．（Ⅰ）若数列是等差数列，求的通项公式以及前项和；（Ⅱ）若数列是等比数列，求的通项公式．22．（2025春•富平县月考）在等差数列中，若为其前项和．（1）若，，求数列的通项公式；（2）若，，则数列的前多少项和最大？23．（2025春•泸州期中）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．24．（2025春•驻马店月考）设为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最大值及此时的值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCCCCDBCBB二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABDABDABCAD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据等差数列通项公式计算即可．【解答】解：等差数列中，，，设等差数列的公差为，所以，．故选：．2．【答案】【分析】利用等差数列性质及前项和公式求解即得．【解答】解：因为，，所以．故选：．3．【答案】【分析】结合等差数列的性质及求和公式即可求解．【解答】解：等差数列中，，，所以，，，所以，则．故选：．4．【答案】【分析】结合等差数列的性质，即可求解．【解答】解：等差数列的前项和为，，则，解得，故．故选：．5．【答案】【分析】根据题意，等差数列中，设其公差为，由等差数列前项和性质可得的值，进而求出的值，结合等差数列通项公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列中，设其公差为，若，则有，变形可得，又由，则，故．故选：．6．【答案】【分析】根据等差数列的性质，以及前项和的性质，结合已知条件，计算即可．【解答】解：根据题意，因为，所以，所以，即，变形可得，则，所以．故选：．7．【答案】【分析】根据等差数列的前项和性质进行求解．【解答】解：因为等差数列的前项和为，所以，，成等差数列，即，解得．故选：．8．【答案】【分析】利用等差数列的求和公式可得出，的等量关系，结合等差数列的通项公式可得结果．【解答】解：等差数列中，，则，即，所以，故．故选：．9．【答案】【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．【解答】解：因为等差数列和满足，．故选：．10．【答案】【分析】根据数列前项和公式，求出数列通项公式，依次求出前8项，再求和．【解答】解：已知，则当时，，可得，当时，，符合上式，所以数列通项公式为，则，，，，，，，，数列的前8项和为．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再逐项计算判断即可．【解答】解：根据题意，在等差数列中，由，得，则有，因此，而，则，依次分析选项：对于，公差，正确；对于，，因此，正确；对于，，数列单调递减，其前8项均为正数，从第9项起为负数，因此的最大值为，错误；对于，，由，得，因此使得成立的最大整数，正确．故选：．12．【答案】【分析】根据给定条件结合等差数列性质求出公差，再逐项分析计算作答．【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为，由于，解得，而，则，正确；则，正确；则有，则，不正确；，正确．故选：．13．【答案】ABC【分析】由S10＝S20，得a1＝d，再利用等差数列的性质可以判断每一个选项．【解答】解：等差数列{an}的前n项和记为Sn，a1＞0，S10＝S20，对于A，设等差数列{an}的公差为d，由S10＝S20，得10a1+d＝20a1+d，化简得a1＝d，∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；对于B，∵a16＝a1+15d＝d+15d＝d，又d＜0，∴a16＜0，故B正确；对于C，∵a15＝a1+14d＝d+14d＝﹣d＞0，a16＜0，∴S15最大，即Sn≤S15，故C正确；对于D，，若Sn＜0，又d＜0，则n＞30，故当且仅当n≥31时，Sn＜0，故D错误．故选：ABC．14．【答案】【分析】根据等差数列前项和结合等差数列的性质由，可得，即可结合选项逐一求解．【解答】解：等差数列中，由，，可得，因此，正确，，错误，，错误，由于，故，故是中最大的项，故，正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】1947．【分析】根据等差中项的定义求解．【解答】解：1945和1949的等差中项为：．故答案为：1947．16．【答案】12．【分析】根据题意可知，，为等差数列，结合等差中项运算求解即可．【解答】解：因为数列为等差数列，，，由等差数列的性质可知，，为等差数列，则，即，故．故答案为：12．17．【答案】．【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可．【解答】解：因为，为等差数列，，由等差数列的性质可得，．故答案为：．18．【答案】．【分析】设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解出，，再根据等差数列求和公式计算可得；【解答】解：等差数列中，满足，，设公差为，则，解得，，则．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）49．【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得．（2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值．【解答】解：（1）根据题意，设等差数列的公差为，由于，，则，解得，，所以；（2）由，解得，而，数列是单调递减数列，所以等差数列的前7项为正数，从第8项起为负数，所以时，数列前项和的最大值为．20．【答案】（1）3；（2）．【分析】（1）结合等差数列的求和公式及性质即可求解；（2）结合等差数列的通项公式即可求解．【解答】解：因为为等差数列，（1），则；（2）若，，则，，．21．【答案】，；（Ⅱ）．【分析】结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；结合等比数列的通项公式即可求解．【解答】解：数列满足，，（Ⅰ）若数列是等差数列，则，，则，，所以，；（Ⅱ）若数列是等比数列，则，解得，，，所以．22．【答案】（1）；（2）数列的前13项和最大．【分析】（1）利用等差数列通项公式可依次构造方程求得公差和首项，由此可得；（2）利用等差数列求和公式可构造方程求得公差，由此可得，根据的二次函数性可确定结果．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，则，即，解得：，，解得：，；（2）设等差数列的公差为，由得：，，解得：，，则当时，取得最大值，即数列的前13项和最大．23．【答案】（1）；（2）；最小值为．【分析】（1）利用等差数列求和公式可求得公差，由等差数列通项公式可求得通项；（2）利用等差数列求和公式可求得，利用的二次函数性可求得最小值．【解答】解：（1）等差数列的前项和，，