专题39 两条直线的位置关系与距离公式（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题39两条直线的位置关系与距离公式

一．选择题（共10小题）1．（2025•南京模拟）直线与直线垂直，则的值是A．或 B．1或 C． D．2．（2024秋•吉林期末）过点且与直线垂直的直线方程为A． B． C． D．3．（2025春•红桥区月考）若直线与直线互相平行，则的值为A． B．1 C． D．24．（2025春•仙游县期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则它在轴上的截距为A．2 B． C．4 D．5．（2024秋•梅州期末）已知直线经过点，且倾斜角为，则直线的方程为A． B． C． D．6．（2025•海淀区模拟）已知点与点的距离不大于1，则点到直线的距离最小值为A．4 B．5 C．6 D．77．（2024秋•东胜区期末）已知直线，，，，，，，则A．或 B． C．或 D．8．（2024秋•雁塔区期末）过点且垂直于直线的直线方程为A． B． C． D．9．（2025•柳南区模拟）在平面直角坐标系内，原点到直线的距离为1，且点到直线的距离为2，则满足条件的直线共有A．1条 B．2条 C．3条 D．4条10．（2025春•宝山区期中）在等腰直角△中，，点是边上异于端点的一点，光线以点出发经、边反射后又回到点，若光线经过△的重心，则△的面积等于A． B．4 C．5 D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•湖北模拟）已知直线，，，以下结论正确的是A．不论为何值时，与都互相垂直 B．当变化时，与分别经过定点和 C．不论为何值时，与都关于直线对称 D．如果与交于点，则的最大值是（多选）12．（2025春•宁夏期末）以下四个命题表述错误的是A．恒过定点 B．若直线与互相垂直，则实数 C．已知直线与平行，则或 D．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（多选）13．（2024秋•海南期末）已知直线，，则A．恒过点 B．若，则 C．若，则 D．不经过第三象限，则（多选）14．（2024秋•泰安期末）下列结论正确的是A．过，、，两点的直线方程为 B．点关于直线的对称点为 C．若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为 D．直线的倾斜角为三．填空题（共4小题）15．（2025春•镇海区期末）已知直线，．若，则实数的值为．16．（2025春•普陀区期末）直线与直线垂直，则．17．（2025春•崇明区期末）已知点、，则线段的垂直平分线方程为．18．（2025春•普陀区期末）与直线关于点对称的直线方程是．四．解答题（共6小题）19．（2025春•崇明区期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程：（1）经过点；（2）与直线平行．20．（2025春•宁波期末）已知直线．（1）若直线垂直于直线，求的值；（2）求证：直线经过定点；（3）当时，求点关于直线的对称点的坐标．21．（2025春•黄浦区月考）设直线与．（1）若，求、之间的距离；（2）当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值．22．（2024秋•咸阳期末）已知直线和直线．（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值；（2）若，求直线与之间的距离．23．（2025春•富平县月考）已知直线为曲线的切线，且与直线垂直．（1）求直线的方程；（2）求由直线，和轴所围成的三角形的面积．24．（2025春•黄浦区期末）已知直线和直线．（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）当时，求的值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DACADBBCDA二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABDADBD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】先求出两直线的斜率，利用斜率之积等于，解方程求的值．【解答】解：直线与直线垂直，斜率之积等于，即，或，故选：．2．【答案】【分析】根据两直线垂直斜率之积为可得所求直线斜率，利用点斜式可得结果．【解答】解：直线的斜率为，所求直线斜率为，所求直线过点，直线方程为．故选：．3．【答案】【分析】结合直线平行的条件即可求解．【解答】解：若直线与直线互相平行，则．故选：．4．【答案】【分析】先根据直线方程的点斜式，求出直线的方程，然后求出直线与轴的交点坐标，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，可得直线的斜率，结合直线过点，求得的方程为，即，当时，，直线交轴于点，即直线在轴上的截距为2．故选：．5．【答案】【分析】先求出斜率，再结合所过的点，即可求解．【解答】解：直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，直线经过点，则，即．故选：．6．【答案】【分析】设，则，即在圆内或在圆上，然后结合圆的性质及点到直线的距离公式可求．【解答】解：设，则，在圆内或在圆上，则点到直线的距离最小值为．故选：．7．【答案】【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解．【解答】解：直线，，，，，由，得，且，解得，由，得，故．故选：．8．【答案】【分析】直接利用垂直直线系求出直线的方程．【解答】解：设与直线垂直的直线方程为，由于该直线经过点代入该直线方程为，解得．故该直线的方程为．故选：．9．【答案】【分析】易知直线与圆，圆均相切，判断两圆位置关系，进而确定公切线条数．【解答】解：与原点距离为1的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆，即；与点距离为2的点的集合是以为圆心，半径为1的圆，即；因为圆心距，所以圆与圆外离，所以这两圆共有4条公切线，所以适合条件的直线共有4条．故选：．10．【答案】【分析】建立直角坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，，四点共线可得直线的方程，由于过三角形的重心，代入可得关于的方程，解得的坐标，即可求得的长和直线方程，进而求得面积．【解答】解：由题意等腰直角△中，，点是边上异于端点的一点，光线以点出发经、边反射后又回到点，光线经过△的重心，可建立直角坐标系，可得，，故直线的方程为，则三角形的重心为，即，设，其中，则点关于直线的对称点，满足，解得，即，易得关于轴的对称点，由光的反射原理可知，，，四点共线，直线的斜率为，故直线的方程为，由于直线过三角形的重心，代入得，化简得或（舍去），故，，，直线的方程为，联立，解得，即点的坐标为，则三角形的面积．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】对于，利用两条直线垂直的充要条件，即可求解，对于，求出两条直线恒过的定点坐标，即可求解，对于，利用点关于直线的对称点，即可求解，对于，先求出两条直线的交点的坐标，再结合两点之间的距离公式，即可求解．【解答】解：对于，直线，，又，无论为何值，与都互相垂直，故正确，对于，直线，当时，，则直线恒过定点，直线，当时，，则直线恒过定点，故正确，对于，设直线上任意一点，则点关于直线的对称性点为，将点代入直线，可得，与点在直线上矛盾，对于，联立方程组，解得，故，则，所以的最大值是，故正确．故选：．12．【分析】根据题意，求出各直线的斜率，依次判断各选项的正误．【解答】解：直线，即，所以恒过定点，故正确；选项：当时，直线的斜率，直线的斜率不存在，此时，与互相垂直，当时，直线的斜率，直线的斜率，因为两直线互相垂直，所以，解得，所以或，故错误；选项：根据题意，当时，直线的斜率，直线的斜率不存在，此时，与互相垂直，舍去，当时，直线的斜率，直线的斜率，因为两直线互相平行，所以，解得，当时，两直线重合，不符合题意，所以，故错误；选项：根据题意，直线的斜率，因为，所以，所以，倾斜角的取值范围是，故错误；故选：．13．【答案】【分析】应用求定点方法判断选项，根据两直线平行求参判断选项，根据两直线垂直求参判断选项，把直线不过第三象限转化为截距关系判断选项．【解答】解：因为，所以，可得，，恒过点，选项正确；因为，所以，则或，故选项错误；因为，所以，则，故选项错误；因为不经过第三象限，则直线与坐标轴不垂直时，在轴截距大于等于0，在轴截距大于等于0，，令，则，令，则，，当，符合题意，当，符合题意，所以不经过第三象限，则，故选项正确．故选：．14．【答案】【分析】利用直线的两点式方程可判断选项；利用点关于直线的对称性可判断选项；利用直线的截距式方程可判断选项；利用直线倾斜角与斜率的关系可判断选项．【解答】解：当时，过，、，两点的直线方程不能用表示，错；对于选项，设点关于直线的对称点为，由题意可知，直线与直线垂直，且线段的中点在直线上，所以，，解得，所以，点关于直线的对称点为，对；对于选项，当直线不过原点时，设直线的方程为，即，所以，，解得，此时，直线的方程为，若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，当直线过原点时，设直线的方程为，可得，解得，此时，直线的方程为，即，综上所述，直线的方程为或，错；对于选项，直线的斜率为，其倾斜角为，对．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】2．【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果．【解答】解：因为直线，，若，则，且，解得．故答案为：2．16．【分析】由直线与直线垂直，知，由此能求出的值．【解答】解：直线与直线垂直，，解得．故答案为2．17．【答案】．【分析】由线段的斜率可计算出线段的垂直平分线的斜率，又有的中点是线段的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段的垂直平分线方程．【解答】解：因为点、，，故线段的垂直平分线的斜率为，线段的中点为，故线段的垂直平分线经过，故线段的垂直平分线方程为：，即．故答案为：．18．【分析】在所求直线上取点，可得关于点对称的点的坐标，代入已知直线方程，即可得到结论．【解答】解：在所求直线上取点，则关于点对称的点的坐标为代入直线，可得，整理得故答案为：四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案；（2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案．【解答】解：（1）由直线经过点，点；可得直线斜率为，故直线方程为，即；（2）由直线与直线平行，可设直线方程为，，结合直线经过点，可得，解得，则直线方程为．20．【答案】（1）；（2）详见解答过程；（3），．【分析】（1）结合直线垂直的斜率关系即可求解；（2）结合恒过定点的直线系方程即可求解；（3）结合点关于直线对称点的性质即可求解．【解答】解：因为．（1）若直线垂直于直线，则，所以；（2）证明：直线可化为，令，则，，故直线恒过定点；（3）当时，设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，，，故所求对称点为，．21．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离；（2）根据已知可得，再由三角形面积公式有，即可确定面积最大时的值．【解答】解：（1）直线与，由，则，且，解得，此时，，所以平行线，之间的距离为；（2）因为直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，所以，解得，所以与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，所以当时，有最大．22．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出在轴和轴的截距，利用截距相等构造方程求得结果；（2）由求出，再由两平行线的距离求解即可．【解答】解：（1）因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以，直线在轴的截距为，在轴的截距为，则，解得；（2）若，则，得，此时直线，即，又直线，所以直线与之间的距离．23．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用直线垂直的充要条件求出的斜率，再利用导数的几何意义求出切点坐标，由点斜式可得直线的