专题45 直线与双曲线的位置关系（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题45直线与双曲线的位置关系

一．选择题（共10小题）1．（2025•凯里市模拟）已知点是双曲线上第一象限的点，的左、右焦点分别为，，若△是面积为的等边三角形为坐标原点），则直线的方程是A． B． C． D．2．（2025春•江西月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，若△为等边三角形，则的离心率等于A． B． C．2 D．3．（2025•碑林区模拟）设是双曲线上一点，，是的左、右焦点，若，则A．10或4 B．13或1 C．10 D．134．（2025•甘肃三模）已知是双曲线在第一象限上的一点，点与点关于原点对称，过点作，与的另外一个交点为，连接，与轴交于点，若，则的离心率为A． B． C． D．35．（2025•瑶海区模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若的角平分线交轴于点，且，则双曲线的离心率的值为A． B． C． D．6．（2025•吉林模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为，，则△的周长为A． B．8 C． D．7．（2025•威海模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为A． B． C．2 D．8．（2025•云南模拟）已知是双曲线右支上一点，过点作的渐近线的垂线，垂足分别为点，，且点，分别在第一、第四象限．若为坐标原点，四边形的面积为定值，则的离心率为A． B． C．2 D．9．（2025春•越秀区月考）已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．10．（2025•广东模拟）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为A．6 B．7 C．8 D．9二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•揭阳期末）已知双曲线，其左、右焦点分别是，，过点的直线与交于，两点，则A．的离心率为 B．当的倾斜角为时， C．直线的斜率可以为 D．上存在点，使（多选）12．（2025•李沧区模拟）已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则A． B．△为直角三角形 C．△周长的最小值为 D．的最小值为2（多选）13．（2025•湘阴县三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为2 C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则 D．为圆上一点，的最大值为3（多选）14．（2025•项城市三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点在第一象限），中点为，△，△的内切圆圆心分别为，，半径分别为，，则下列结论正确的是A．，，三点共线 B．直线斜率存在时， C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是三．填空题（共4小题）15．（2024秋•玉溪期末）已知，是双曲线的两个焦点，点在上，如果，则△的面积为．16．（2025•安顺模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若上存在一点，使得，，则的离心率．17．（2025春•沙坪坝区期中）直线与双曲线交于、两点，且过该双曲线的右焦点，若满足条件的直线有且仅有4条，则的取值范围是．18．（2025春•普陀区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得．若△的面积为，则的值为．四．解答题（共6小题）19．（2025•景德镇模拟）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程．（2）直线与双曲线交于点，，其中点在第二象限．①求；②已知双曲线的左、右顶点分别为，，设直线，的斜率分别为，，求．20．（2025•青山湖区模拟）已知为坐标原点，动直线与直线，分别交于点，，的横坐标同号），且△的面积为，记线段的中点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程．（2）设点，过点作与轴不重合的直线与曲线交于，两点．记直线，的斜率分别为，，求的值；（ⅱ）若直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与，分别交于点，，求证：点是线段的中点．21．（2025•宜昌模拟）已知双曲线的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于，两点，当轴时，．（1）求的方程；（2）过作直线的垂线，垂足为．证明：直线过定点；求△面积的最小值．22．（2025•汉中模拟）在平面直角坐标系中，，为双曲线上两不重合的动点，点，且当，，，四点共线时，．（1）求的标准方程；（2）若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标；（3）若，均在的右支上，且线段是△的角平分线，求直线的方程．23．（2025•武进区模拟）已知双曲线的右焦点为，若上任一点到两条直线和的距离的平方差为．（1）求双曲线的方程；（2）设点，为上任意一点，为过的直线．记过且与轴垂直的直线为．若与交于点，与直线交于点，证明：当时，为定值，并求出这个定值；设点关于直线的对称点为，试求点的轨迹．24．（2025•宝山区二模）已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于、两点．（1）当直线过点，且时，求△的周长；（2）已知点，若直线、的斜率之和为0，且，当、分别与轴交于点、时，求△的面积；（3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BBDCDCCADA二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABDBCABDABD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据题意作图，根据等边三角形的面积，求出的长度，求出和的坐标，求出直线方程．【解答】解：设双曲线焦点，，若△是面积为的等边三角形，此时，解得，易知，所以，即，此时直线方程为，即．故选：．2．【答案】【分析】利用通径，结合三角形的边角关系，综合求解离心率．【解答】解：法一：设的半焦距为，则直线的方程为，代入，解得，．△为等边三角形，，，即，解得离心率．法二：设的半焦距为，则直线的方程为，代入，解得，，△为等边三角形，，由双曲线的定义知，即，，的离心率．故选：．3．【答案】【分析】先利用双曲线的定义得出或13，再结合双曲线的性质得出即可．【解答】解：由已知，，故根据双曲线的定义知，因为，所以，解得或13，又，所以．故选：．4．【答案】【分析】设为的中点，设，，，，，，，，利用点差的方法表示出，结合题意继而表示出，推出，根据即可求得，的关系，从而可求双曲线离心率．【解答】解：取的中点，连接，如图，为的中点，故，设，，，，，，，，是双曲线在第一象限上的一点，点与点关于原点对称，可知，在双曲线上，可得，两式相减可得，，即，显然，并且，可得，，又，则，即，，即，，又，则，即，故，，而，故，故，则双曲线的离心率为．故选：．5．【答案】【分析】利用直线的方程解出，再由角平分线定理得到，然后用，，表示此式，得到离心率的齐次式化简可得．【解答】解：设双曲线的左、右焦点分别为，，根据题意可得双曲线的一条渐近线方程为（即，所以点到渐近线的距离为，由于垂直渐近线，所以的方程为，即联立，解得，由角平分线定理知，即，代入和的距离公式：，两边平方后化简：，代入，整理得，即，，解得，所以，故选：．6．【答案】【分析】设，，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，，得即可求解．【解答】解：以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为，，如图所示，设，，由在以为直径的圆上可得，，四边形为矩形，则，由双曲线，得，，，，又由双曲线的定义有，，得，，即，而，，△的周长为．故选：．7．【答案】【分析】利用已知条件求解，结合余弦定理，综合求解离心率即可．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，可知，，，，，，，可得，可得，所以．故选：．8．【答案】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出，的长，进而得到四边形的面积表达式，根据面积为定值求出双曲线的离心率．【解答】解：根据题意画出大致图像如图，双曲线的渐近线方程为：，即．设，，是双曲线右支上一点，根据点到直线的距离公式可得：．直线，垂直于渐近线，直线，的斜率分别为．直线，的方程为．联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：，进而，联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：，进而，四边形的面积为：，点在双曲线上，，化简得，四边形的面积为：．又四边形的面积为定值，则，，此时离心率为．故选：．9．【答案】【分析】令，可得出，，由双曲线的定义可得出、，在△中，利用余弦定理可出，可得出、，然后在△中利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值．【解答】解：双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，令，由，得，，由双曲线定义，，在△中，，由余弦定理可得，得，整理得，解得，可得，．在△由余弦定理，得，整理得，则．故选：．10．【答案】【分析】利用双曲线定义将转化为，可知当，，三点共线时，最小，又点的轨迹方程为圆心在，半径为2的圆，再利用两边之和大于第三边即可求得结果．【解答】解：因为双曲线，所以，焦点，可得，所以，当，，三点共线时，最小，因为直线和相互垂直，且和分别过定点和，又因为直线与直线的交点为，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2，所以，当过与圆心的直线与圆的交点且在和圆心之间时最小．所以的最小值为6，故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据双曲线离心率的定义，圆锥曲线弦长公式，直线与双曲线的交点情况，以及焦点三角形的性质，逐一判断各选项正误，求出结果．【解答】解：已知，，则，则离心率，所以正确；如图所示，已知，，得直线解析式为，联立方程组得，消去得，可知．设交点，，，，则，，根据弦长公式可得，所以正确；双曲线渐近线方程为，当时，直线与双曲线仅有一个交点，不符合题意，所以错误；设，，可知，，根据正弦定理可知，可知，则，，因为，所以，化简得，化简得，化简，解得，此时，所以上存在点，使，所以正确．故选：．12．【答案】【分析】根据双曲线渐近线方程，双曲线定义，点到直线距离公式即可求解．【解答】解：选项：双曲线渐近线方程为，圆，半径1，利用点到直线距离公式：，解得，故错误；选项：双曲线，，，计算，垂直，故△为直角三角形，正确；选项，由双曲线定义，周长，当，，共线时，最小为，周长最小值，正确；设，由双曲线方程得，圆，则，将代入：，，当时，取最小值2，故最小值为，而非2，错误．故选：．13．【答案】【分析】对于，由题干条件可得，，再结合双曲线中的平方关系，联立可解得，，，则双曲线的焦距为，由此可判断；对于，由可得双曲线的方程，进而得到渐近线方程，利用点到直线的距离公式和垂径定理可算得弦长，由此可判断；对于，由对称性取任意一条渐近线，先求出垂线方程，与渐近线方程联立求得垂足坐标，再利用两点间的距离公式即可判断；对于，由双曲线的定义可知，再由三角形两边之和大于第三边可得，由此可判断．【解答】解：对于，双曲线右支上点到右焦点的最小距离为右顶点到右焦点的距离，即，当轴时，此时点的横坐标为，代入双曲线方程可得，由双曲线中的平方关系，联立解得，所以双曲线的焦距为，故正确；对于，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，圆的圆心为，半径为2，且经过原点，则圆和两条渐近线关于轴对称，二者所截的弦长相等，取其中一条渐近线，则圆心到渐近线的距离为，由垂径定理可知所截的弦长为，故正确；对于，由对称性，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，则垂线方程为，由，得垂足，则，故错误；对于，圆的圆心为，半径为1，由双曲线的定义可知，则，当且仅当在线段的延长线上取等，即的最大值为3，故正确．故选：．14．【答案】【分析】设点，，，，，，在项中，由双曲线的焦点三角形的内切圆一定切于顶点（右焦点就对应右顶点），通过列式判断．由斜率公式及点差法可以判断，设直线的倾斜角为，得到，进而可判断．【解答】解：依题意，得，，得，则，，，，设点，，，，，对于项，如图，设△的内切圆的切点为，，，由双曲线的定义得，，而，得，而，，得，又因为，得切点与点重合，得点，则内心的横坐标为1，同理可得，内心的横坐标也为1，得，，三点均在直线上，故项正确．对于项，由相减得，，得，即，故项正确；对于项，设直线的倾斜角为，连接，，则，，，，，若，则，故项错误；对于项，由选项分析，，为直线的倾斜角，因为双曲线的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角分别为，因为直线与双曲线的右支交于，两点，所以，令，则，则在单调递减，在单调递增，故，故，故项正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】16．【分析】根据题意求出，，，由及双曲线的定义求出，再利用三角形面积公式求解即可．【解答】解：已知双曲线，则，，所以，不妨设，根据双曲线定义可得①，又，所以②，联立①②解得，所以△的面积．故答案为：16．16．【答案】．【分析】画出图形，结合双曲线的定义以及已知条件，转化求解离心率即可．【解答】解：如图，不妨在第一象限，设与轴的交点为，连接，，可知，，可得，，则，，，可得，．故答案为：．17．【答案】．【分析】根据直线与双曲线相交的情形，可知要使与双曲线相交弦长为4的直线有且仅有4条，需要通径长小于4且实轴长小于4，由此列式求解．【解答】解：由题意，要使过双曲线的右焦点，且满足的直线有且仅有4条，则，且，即．的取值范围是．故答案为：．18．【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，得出点坐标，再结合双曲线的定义可得答案．【解答】解：已知双曲线方程为，则，则，又双曲线的左、右焦点分别为、，则，，又过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，且△的面积为，设，，，则，解得，由题意可得直线的斜率，则方程为，将代入上式，则，解得，即，由题意可得，则．故答案为：1．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求解即可；（2）①将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可；②根据点，都在双曲线的左支上，且点在第二象限，得到，结合①中信息以及斜率公式求解即可．【解答】解：（1）因为点在双曲线上，所以，①因为双曲线的离心率为，所以，②又，③联立①②③，解得，，则双曲线的标准方程为；（2）①设，，，，联立，消去并整理得，由韦达定理得，，所以；②，因为点，都在双曲线的左支上，且点在第二象限，所以，此时．则．20．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析．【分析】（1）先设点的坐标，再结合面积公式结合中点坐标计算求出轨迹方程；（2）（ⅰ）联立直线和双曲线结合斜率公式计算化简求值；设直线的方程为，再代入计算化简得出斜率积为定值；（ⅱ）联立直线和双曲线结合根与系数关系化简得出计算证明．【解答】解：（1）由题设，，线段的中点坐标为，由题意得，，又，所以，则．线段的中点坐标为，则，，所以，得，故曲线的方程为．（2）（ⅰ）由题意知直线的斜率不为0，设，，，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，其中△，且，则，则．当直线的斜率不存在时，当直线的斜率不存在时，可令，，故，．综上，．（ⅱ）由题知直线的斜率存在，由（ⅰ）的解法一知直线的方程为，且，直线的方程为，令，得．，则直线的方程为，令，得．由于，所以，故点为线段的中点．21．【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程；（2）设，，，，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标；应用三角形面积公式、弦长公式，结合，求面积的最小值．【解答】解：（1）由题设，则，由轴时，，不妨令，代入双曲线得，所以，则所求方程为；（2）证明：设，，，，则，由斜率不为0，设，联立双曲线并整理得，则，△，所以，，由，直线，根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，令，则，因为，所以，而，则，所以过定点，；由，由，，可得，令，，则，由，故，当时取等号．综上，的最小值为．22．【答案】（1）；（2）和或和；（3）．【分析】（1）根据对称性可得点坐标，继而得到方程；（2）由（1）知渐近线有2条，分类讨论即可；（3）设联立曲线，线段是△的角平分线可知倾斜角的关系再转换成斜率，得到，再由直线过点即可求解．【解答】解：（1），，，四点共线时，，根据双曲线对称性，，关于原点对称，不妨设在的右侧，即，在圆上，又，，与圆联立，得，，代入，，双曲线的标准方程为．（2），渐近线为或，直线与的渐近线垂直，且经过点，当渐近线为时，直线，与轴交点为，轴交点为，当渐近线为时，直线，与轴交点为，轴交点为，综上，直线与两坐标轴交点的坐标为和或和．（3）如图，根据题意直线斜率存在，设，，，，，联立，，，解得或，，，设直线，，的倾斜角分别为，，，是△的角平分线，，，，又点在上，所以，故，整理得，解得或，又或，所以，故直线的方程为．23．【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为；答案见解析．【分析】（1）首先