专题49 用样本估计总体（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题49用样本估计总体

1．总体百分位数的估计(1)第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)四分位数常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数．2．样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)平均数：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，则这组数据的标准差和方差分别是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．3．总体平均数、方差、标准差与样本平均数、方差、标准差名称定义总体均值(总体平均数)、方差、标准差一般式：如果总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称eq\o(Y,\s\up6(－))＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))Yi为总体均值，又称总体平均数，称S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2为总体方差，S＝eq\r(S2)为总体标准差加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值为eq\o(Y,\s\up6(－))＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))fiYi，总体方差为S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))fi·(Yi－Y)2样本均值(样本平均数)、方差、标准差如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi为样本均值，又称样本平均数，称s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2为样本方差，s＝eq\r(s2)为样本标准差说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数、方差、标准差去估计总体平均数、方差、标准差．(2)总体平均数、方差、标准差是一个确定的数，样本平均数、方差、标准差具有随机性(因为样本具有随机性)．(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确．4．分层随机抽样的样本均值与方差以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq\o(y,\s\up6(－))，方差为t2，则eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,m)eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi，s2＝eq\f(1,m)eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(j＝1))yj，t2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(y,\s\up6(－)))2.若记样本均值为eq\o(a,\s\up6(－))，样本方差为b2，则可以算出eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(1,m＋n)(eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi＋eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(j＝1))yj)＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，b2＝eq\f(m[s2＋（\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))）2]＋n[t2＋（\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))）2],m＋n)＝eq\f(1,m＋n)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（ms2＋nt2）＋\f(mn,m＋n)（\o(x,\s\up6(－))－\o(y,\s\up6(－))）2))．常用结论：1．频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．2．平均数、方差的公式性质若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\o(x,\s\up6(－))＋a，方差为m2s2.►考点01百分位数的计算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼计算一组n个数据第p百分位数的步骤【例1】（2025春•农安县期末）如表记录了上海某个月连续天的空气质量指数时间12345678910空气质量指数20282433313536383637则这些空气质量指数的分位数为A．35 B．35.5 C．36 D．37【答案】【分析】根据题意，由百分位数的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，将10个数据从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，36，37，38，由于，则其分位数．故选：．【例2】（2025春•保定期末）在一次知识竞赛中，某校8名同学的成绩（单位：分）分别为：80，82，84，90，92，94，96，98，则这组数据的上四分位数为A．94 B．82 C．95 D．96【答案】【分析】由百分位数的定义求解即可．【解答】将解：这8个数据从小到大排列：80，82，84，90，92，94，96，98，因为，故所求数据的上四分位数为第6个数，第7个数的平均数，即．故选：．【例3】（2025春•西宁期末）10，12，16，18，20，22，26，28的第分位数是A．22 B．24 C．25 D．26【答案】【分析】先将数据按由小到大重新排序，根据不是整数，则取第7位数．【解答】解：这组数据共8个数据，因为，所以第分位数是第7个数26．故选：．【例4】（2025春•长沙期末）已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的分位数为A．35 B．40 C．45 D．50【答案】【分析】根据百分位数求解规则直接求解即可．【解答】解：一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，由题知该组数据共有10个，，这组数据的分位数为．故选：．【例5】（2025春•湘阴县期末）八名学生的高考总分分别为648，667，642，665，671，654，680，675，则这组数据的第75百分位数是（）A．667 B．671 C．673 D．675【答案】C【分析】由百分位数的计算公式计算可得答案．【解答】解：八名学生的高考总分分别为648，667，642，665，671，654，680，675，将这组数据由小到大排列为：642，648，654，665，667，671，675，680，∵8×75%＝6，∴选取第6个和第7个数的平均数作为结果，∴这组数据的第75百分位数是．故选：C．►考点02总体集中趋势的估计▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：各组区间的中点值与对应频率之积的和．【例6】（2025春•牡丹江期末）已知数据87，89，90，92，91，90，93，94，则（）A．极差为6 B．中位数为90 C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25【答案】C【分析】对照选项，代入数据计算即可．【解答】解：对于A，极差为94﹣87＝7，A错误；对于B，数据按大小顺序排列为87，89，90，90，91，92，93，94，中位数为（90+91）÷2＝90.5，B错误；对于C，0.7×8＝5.6，第70%分位数为92，C正确；对于D，平均数为（87+89+90+90+91+92+93+94）÷8＝90.75，D错误．故选：C．【例7】（2025春•广西期末）抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是鞋码号3334353637人数262011A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】【分析】根据鞋厂最感兴趣的是各种鞋号的鞋的销售量，销售量最多的即为这组数据的众数，即可求解．【解答】解：由题意可知，鞋厂最感兴趣的是销售量最多的鞋号，即为数据的众数．故选：．【例8】（2025•保定二模）现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为A．1 B．6 C．5或6 D．1或6【答案】【分析】将数据从小到大排列，由中位数的定义即可求解．【解答】解：将数据按照从小到大的顺序排列为1，4，4，4，5，5，6，由中位数的定义可知，原数据的中位数为4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为5或6．故选：．【例9】（2025春•红河州期末）样本数据5，9，1，3，7的中位数是A．1 B．3 C．5 D．7【答案】【分析】根据中位数的定义求解．【解答】解：数据按照从小到大排序为1，3，5，7，9，所以中位数是5．故选：．【例10】（2025•山西二模）正悄然改变着我们的生活．某在线平台利用技术为学生提供个性化学习路径，为了解学生对平台的满意程度，随机抽取使用该平台的学生进行打分，将收集到的分数数据按照，，，，，，，，，，，，，分组，画出频率分布直方图如图所示，则这些数据的中位数约为A．85 B．80 C．77.5 D．75【答案】【分析】根据中位数的定义求解．【解答】解：由频率分布直方图可知，，，因此中位数落在区间，内，设中位数为，则，解得，即中位数约为77.5．故选：．►考点03总体离散程度的估计▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．【例11】（2025春•河北期末）为坚持健康第一的教育理念，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志，某校高一年级体育组开展“一分钟跳绳比赛”活动，甲班两位同学的近期训练中的跳绳数（单位：次分钟）如下：同学：124、140、130、132、136、104、130同学：130、136、126、130、120、124、130（1）分别求两组数据的众数、中位数、极差；（2）根据两组数据的平均数和方差的计算结果（结果保留两位小数），比较两位同学的跳绳水平．【答案】（1）答案见解析．（2）同学发挥较稳定．【分析】（1）将题目中的数据由小到大的顺序排列，根据众数、中位数与极差的概念，可得答案；（2）根据平均数与方差的计算公式，结合其意义，可得答案．【解答】解：“一分钟跳绳比赛”活动，甲班两位同学的近期训练中的跳绳数（单位：次分钟）如下：同学：124、140、130、132、136、104、130，同学：130、136、126、130、120、124、130，（1）由题目中的数据，按照从小到大排列可得：同学：104、124、130、130、132、136、140，同学：120、124、126、130、130、130、136，同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为36，同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为16．（2）同学跳绳数的平均数为，方差，同学跳绳数的平均数为，方差，，两位同学的平均水平相当，但同学发挥较稳定．【例12】（2025春•厦门期末）某沙稻研究中心利用旱直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：如下：甲4751495053乙4451605852（1）利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价；（2）产量的变异系数是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为，根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广？【答案】（1）甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定；乙品种的产量较高，但波动较大；（2）甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适合推广．【分析】（1）根据平均数和极差的定义求解；（2）利用方差的定义求解．【解答】解：（1）甲品种产量样本的平均值，极差为，乙品种产量样本的平均值，极差为，所以甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定；乙品种的产量较高，但波动较大；（2）甲品种的样本方差，所以甲品种产量的变异系数，乙品种的样本方差，所以乙品种产量的变异系数，因为，所以甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适合推广．【例13】（2025春•都匀市期末）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分100分），各年级学生踊跃参加．为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了50份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：成绩，，，，高一学生人数1271516高二学生人数9101813试利用样本估计总体的思想，解决下列问题（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（1）分别求样本中高一和高二年级学生竞赛的平均成绩；（2）从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好？【答案】（1）高一和高二年级学生竞赛的平均成绩都为82分；（2）高二．【分析】（1）利用平均数的定义求解；（2）利用平均数和方差的定义求解．【解答】解：（1）由题意可知，高一年级学生竞赛的平均成绩为，高二年级学生竞赛的平均成绩为；（2）高一年级学生竞赛成绩的方差为，高二年级学生竞赛成绩的方差为，所以高一和高二年级学生竞赛的平均成绩相等，高一年级学生竞赛成绩的方差大于高二年级学生竞赛成绩的方差，所以高二年级学生竞赛成绩更稳定，所以从平均数与方差的角度分析高二年级学生这次竞赛成绩更好．【例14】（2025春•济宁期末）某科技公司测试两款新型无人驾驶配送车型型号与型号）在复杂城市环境中的配送效率．记录了在10次典型任务中，两种型号车的配送时间（单位：分钟）分别为：型号10111213141110111513型号11131011121014121215已知该公司要求配送时间不超过15分钟，且配送时间越稳定，配送效率越高．（1）分别计算、两种型号车的配送时间的平均数和方差；（2）根据计算结果分析，哪种型号更符合公司的要求．【答案】（1）型号车的配送时间的平均数为12，方差为2.6，型号车的配送时间的平均数为12，方差为2.4；（2）型号更符合公司的要求．【分析】（1）根据平均数计算公式，，分别代入数据即可求解；（2）首先比较平均配送时间是否小于15，然后比较方差，方差小的更稳定，也就配送效率更高，综合以上分析即可求解．【解答】解：（1）型号车的配送时间的平均数，型号车的配送时间的方差，型号车的配送时间的平均数，型号车的配送时间的方差，所以型号车的配送时间的平均数为12，方差为2.6，型号车的配送时间的平均数为12，方差为2.4，（2）由（1），则都满足该公司要求配送时间不超过15分钟，又，所以型号配送时间更稳定，效率更高，所以型号更符合公司的要求．【例15】（2025春•安徽期末）近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线．某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如表：31373832334224203726（Ⅰ）估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率；（Ⅱ）求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差；（Ⅲ）若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大？（直接给出结论即可，不需要写计算过程）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）32，43.2；（Ⅲ）乙公司的外卖骑手日单量的差异更大．【分析】（Ⅰ）根据图中所给数据即可求解；（Ⅱ）根据平均数和方差的定义即可求解；（Ⅲ）根据离散程度即可求解．【解答】解：（Ⅰ）10名外卖骑手中有7人的日单量大于30，频率为，因此估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率为；（Ⅱ）平均数为，方差为；（Ⅲ）乙公司的外卖骑手日单量的差异更大．►考点04分层随机抽样的均值与方差▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数来估计总体平均数，用样本方差来估计总体方差．【例16】（2025春•衡水期末）用抽签法抽取的一个容量为10的样本，，，的平均数为12，方差为6，用随机数表法抽取的一个容量为20的样本，，，的平均数为15，方差为9，则样本，，，，，，，的方差为A．8 B．10 C．12 D．14【答案】【分析】求出新样本的平均数，根据方差公式计算，即可求得答案．【解答】解：因为样本，，，的平均数为12，方差为6，样本，，，的平均数为15，方差为9，所以样本，，，，，，，的平均数为，则所求方差．故选：．【例17】（2025•固始县二模）为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽