专题49 用样本估计总体（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题49用样本估计总体

一．选择题（共10小题）1．（2025春•大同期末）为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（）A．8 B．9 C．8.5 D．9.52．（2025春•清远期末）下列各组数的方差最小的是A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，3，4，4，4 D．5，6，7，8，93．（2025春•梅州期末）某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有7个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分．设对于某选手的演讲，7个评委的原始评分分别为：75，80，85，90，85，95，85，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数4．（2025春•德州期末）在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，阅这组数据的分位数是A．6.5 B．8 C．8.5 D．95．（2025春•宜都市期末）若个样本、、、、的平均数是，方差为4，则对于样本、、、、的平均数与方差分别是A．16、6 B．10、16 C．13、18 D．13、166．（2025春•高县期末）若甲组样本数据，，，（数据各不相同）的平均数为2，方差为5，乙组样本数据，，，的平均数为5，则下列说法不正确的是A．的值为 B．乙组样本数据的方差为45 C．两组样本数据的样本极差不同 D．两组样本数据的样本中位数一定相同7．（2025春•河南期末）杨村四中组织“我爱共青团”知识测试，随机调查高一年级100名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，，，，分成五组得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是A．图中 B．估计样本数据的第80百分位数为93分 C．测试成绩高于80分的人数为45人 D．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这100名学生成绩的平均数为79.5分8．（2025春•洛阳期末）一组数据8，12，15，6，11，18的第75百分位数是A．8.5 B．11 C．14.5 D．159．（2025春•资阳期末）一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的分位数为A．4 B． C．5 D．10．（2025春•泸州期末）本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则A．图中的值为0.020 B．估计样本数据的众数值为90 C．估计样本数据的第分位数为95 D．估计样本数据的平均数大于中位数二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•资阳期末）某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6，各场比赛失球个数的标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3，各场比赛失球个数的标准差是0.5，下列说法中正确的是（）A．平均说来甲队比乙队防守技术好 B．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 C．甲队比乙队技术水平更稳定 D．乙队很少不失球（多选）12．（2025•山东模拟）小明和小强在球场上进行罚球练习，双方均以5个罚球为一组，其中小明练习5组，小强练习7组，观将他们每组练习中罚球命中的个数统计如下：小明31254小强52314则下列说法正确的是A．若，则小明和小强罚球命中个数的平均数相同 B．若小明和小强罚球命中个数的极差相同，则 C．若，则小明和小强罚球命中个数的中位数相同 D．若，则小明罚球命中个数的方差小于小强罚球命中个数的方差（多选）13．（2025春•洛阳期末）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次，并记下自己投掷时出现的点数，从而得到四组数据，这四组数据的相关情况如下：甲：中位数为3，众数为2；乙：中位数为3，极差为4；丙：平均数为3，中位数为2；丁：平均数为2，方差为3.2．则在投掷过程中可能出现点数6的是A．甲 B．乙 C．丙 D．丁（多选）14．（2025春•汕头期末）某水果店为了解本店苹果的日销售情况，依据过去60天苹果的日销售量（单位：绘制了频率分布直方图（同一组数据用区间中点值作代表），则下列选项正确的有A．直方图中的 B．过去60天苹果日销售量的平均数估计值为 C．过去60天苹果日销售量的众数估计值为 D．过去60天苹果日销售量的中位数估计值为三．填空题（共4小题）15．（2025春•青岛期末）一组数据1，2，4，6，7，8，11，12的第25百分位数是．16．（2025春•包河区期末）某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53，59，61，62，67，75，77，80，82，86，90，93，则这组数据的第75百分位数为．17．（2025春•南京期末）某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：等待时间分，，，，，频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值，病人等待时间方差的估计值．18．（2025春•潞州区期末）心理健康指数是通过科学方法量化评估个体或群体心理状态的指标．某机构研究人员为了解某社区居民的心理健康情况，随机从该社区抽取20名居民进行调查，得到他们的心理健康指数分别为7.2，7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，则这组数据的第60百分位数是．四．解答题（共6小题）19．（2024秋•宝山区期末）某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男、女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8．（1）若该校男生总数为1280，求该校学生总数；（2）若所选27名女生每周锻炼时间从小到大排列后的第9至第13个数据依次为5、5.3、5.6、5.8、5.9，求所选女生样本的第40百分位数；（3）求所有样本数据的平均数和方差（精确到．20．（2025春•太原期末）为选派一名学生参加市级实践技能比赛，甲、乙两名同学在实践基地加工直径为的零件测试，从其加工的零件中各随机抽取10件测得数据如下（单位：甲1110911911109119乙1012101110911999（1）根据样本计算甲、乙所加工零件直径的平均数和方差；（2）从计算结果分析，应选派哪位同学参加比赛？21．（2025春•河池期末）2025年选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛．在对抗赛中两人每轮投篮10次，共进行10轮，每轮命中的成绩（个数）如下：甲476549107810乙7586797678（1）求甲运动员的样本数据第75百分位数；（2）分别计算这两位运动员每轮投篮成绩的平均数和方差；（3）根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？22．（2025春•滦州市期末）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．（1）结合平均数和方差分析谁更优秀；（2）结合平均数和中位数分析谁的成绩好些；（3）结合平均数和命中9环及以上的次数分析谁的成绩好些；（4）从折线图上两人射击命中环数的走势分析谁更有潜力．23．（2024秋•陕西期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数；（Ⅱ）在样本答卷成绩为，，，，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在，中的市民应抽取多少个？（Ⅲ）若落在，的平均成绩是57，方差是2，落在，的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差．24．（2025春•杨浦区月考）人工智能算力是驱动时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的“新质生产力”．某人工智能实验室收集了30台服务器的单机均值算力数据（单位：，数据范围在之间，排序后的数据如下：115119120133150160161170180190210220220220220225230230239240240241244245247247249250285300（1）直接写出这组数据的众数和极差；（2）现该实验室准备组建一个服务器集群，为了使该服务器集群总算力最大（即算力总和最大）的同时又满足能耗比的需求（要求该集群的服务器的平均算力不低于，该实验室应该选取多少台服务器组成服务器集群？分别是哪几台？（3）若该实验室增加2台服务器，算力数据分别是和，通过计算发现，增加这两台服务器前后，该实验室服务器的平均值和第75百分位数都不变，求、的值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CACCDDDDCC二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABDACABCAB一．选择题（共10小题）1．【答案】C【分析】先利用平均数的计算公式求出a的值，然后将数据从小到大排列，由百分位数的定义求解即可．【解答】解：因为数据10，8，a，8，7，9，6，8的平均数为8，则有a＝8×8﹣（10+8+8+7+9+6+8）＝8，将得分按照从小到大的顺序排列为：6，7，8，8，8，8，9，10，因为8×75%＝6为整数，所以这组数据的75百分位数为．故选：C．2．【答案】【分析】根据方差的意义立即选出正确答案．【解答】解：因为组数据的所有数据相同，完全集中，所以组数据的方差为0，而组，组和组数据的方差都大于0，所以组方差最小．故选：．3．【答案】【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义求解．【解答】解：原始评分从小到大排列为：75，80，85，85，85，90，95，平均数为，中位数为85，众数为85，方差为，有效评分从小到大排列为：80，85，85，85，90，平均数为，中位数为85，众数为85，方差为，所以发生改变的是方差．故选：．4．【答案】【分析】将数据按升序排列，结合百分位数的定义运算求解．【解答】解：8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，将数据按升序排列可得：2，4，5，7，7，8，9，10，，这组数据的分位数．故选：．5．【答案】【分析】由题意可知，，，2，，，再利用平均数和方差的性质求解．【解答】解：由题意可知，，，2，，，样本、、、、的平均数是，方差为4，样本、、、、的平均数为，方差为．故选：．6．【答案】【分析】根据两组样本数据的平均数与方差的关系，可判定、正确，根据极差的概念，可判定正确，根据中位数的计算方法，可得判定正确．【解答】解：对于，因为甲组样本数据，，，（数据各不相同）的平均数为，方差为，乙组样本数据，，，的平均数为5，所以，解得，故正确；对于，设乙组样本数据的方差为，可得，所以正确；对于，不妨设，则甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，因为甲组数据各不相同，所以两组样本数据的极差不相等，故正确；对于，设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，若，可得，所以两组样本数据的中位数可能相同，故错误．故选：．7．【答案】【分析】由所有矩形面积和为1，用频率分布直方图估计百分位数，平均数，样本估计总体逐项判断即可．【解答】解：由，解得，故错误；设第80百分位数为，由，，所以，则，解得，故错误；高于80分的频率为，故高于80分的人数为人，故错误；若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这100名学生成绩的平均数为，故正确，故选：．8．【答案】【分析】根据百分位数的计算公式，可得答案．【解答】解：已知一组数据8，12，15，6，11，18，则由小到大排列为6，8，11，12，15，18，由，则第75百分位数为15．故选：．9．【答案】【分析】根据百分位数的计算方法求解即可．【解答】解：已知一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，又，所以第分位数为从小到大排列的第9个数，即第分位数为5．故选：．10．【答案】【分析】根据频率和为1求参数值，再由频率直方图求众数、百分位数、中位数、平均数依次判断各项正误．【解答】解：已知某校随机抽取了100名学生进行成绩统计，对于，由题设，可得，故错；对于，由直方图知，估计样本数据的众数值为，故错；对于，由，则样本数据的第分位数在，内，设为，则，可得，故对；对于，由平均数为，由图易知中位数在，内，设中位数为，则，可得，所以中位数大于平均数，故错．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】ABD【分析】用平均数和方差分别估计数据的平均水平和稳定性．【解答】解：对于A，甲队每场比赛平均失球数是1.6，小于乙队每场比赛平均失球数是2.3，平均说来甲队比乙队防守技术好，A正确；对于B，甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，B正确；对于C，甲队各场比赛失球个数的标准差为1.2大于乙队各场比赛失球个数的标准差是0.5，所以乙队比甲队技术水平更稳定，C错误；对于D，虽然乙队每场比赛平均失球数是2.3，算是较大的数，而各场比赛失球个数的标准差是0.5，由于标准差很小，方差是0.25更小，说明每场失球数都集中在2.3附近，所以认为乙队很少不失球是正确的，D正确．故选：ABD．12．【答案】【分析】根据题意，由平均数、极差、中位数和方差的计算公式，依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，小明罚球命中的平均数，若，则小强罚球命中个数的平均数为，正确；对于，小明罚球命中的极差为，若小明和小强罚球命中个数的极差相同，即小强罚球命中的极差也为4，则有且，但无法确定的值，错误；对于，小明罚球命中的中位数为3，若，则有或或，此时都有小明罚球命中的中位数为3，正确；对于，小明罚球命中个数的方差为，若，小强罚球命中个数的平均数为，则其方差为，小明罚球命中个数的方差大于小强罚球命中个数的方差，错误．故选：．13．【答案】【分析】通过取掷骰子的点数，即可得，和正确，再通过检验平均数为2，出现点数6时，方差为4，即可求解．【解答】解：根据题意，依次分析4组数据，对于甲，若骰子的点数为2，2，3，4，6，此时中位数为3，众数为2，所以甲投掷过程中可能出现点数6，对于乙，若骰子的点数为2，2，3，4，6，此时中位数为3，极差为4，所以乙投掷过程中可能出现点数6，对于丙，若骰子的点数为1，2，2，4，6，此时平均数为3，中位数为2，所以丙投掷过程中可能出现点数6，对于丁，若掷骰子5次，平均数为2，方差为3.2，不妨设这5次骰子的点数分别为，则，若，则，此时方差为，所以丁在投掷过程中不可能出现点数6．故选：．14．【答案】【分析】利用各组频率之和为1可求解的值，进而判定；根据平均数、众数以及中位数的计算公式即可判定．【解答】解：对于，由频率分布直方图的性质得：，解得，故正确；对于，平均数为，过去60天苹果日销售量的平均数估计值为，故正确；对于，众数为频率最大的一组的中间值，即，过去60天苹果日销售量的众数估计值为，故错误；对于，由于，，设中位数为，则，解得，过去60天苹果日销售量的中位数估计值为，故错误．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】3．【分析】由百分位数的定义求解即可．【解答】解：这组数据共有8个数，因为，所以这组数据的第25百分位数为从小到大排列后的第二个数和第三个数的平均数，即为．故答案为：3．16．【答案】84．【分析】根据百分位数的求解公式即可求解．【解答】解：已知数据是从小到大排列，共有12个数据，因为，所以这组数据的第75百分位数为第9个数据和第10个数据的平均数，即为．故答案为：84．17．【答案】9.5，28.5．【分析】根据加权平均数以及方差的定义计算即可．【解答】解：根据题意计算平均数为；，故答案为：9.5，28.5．18．【答案】8.9．【分析】根据百分位数定义计算求解．【解答】解：已知心理健康指数分别为7.2，7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，因为，所以这组数据的第60百分位数为．故答案为：8.9．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）2000；（2）5.6；（3）平均数为7.168，方差为7.692．【分析】（1）结合分层抽样的定义，即可求解；（2）结合百分位数的定义，即可求解；（3）结合平均数和方差的定义，即可求解．【解答】解：（1）按男、女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．设该校学生总数为，则，解得，所以该校学生总数为2000．（2）由，得所选女生样本的第40百分位数为第11个数5.6．（3）所有样本数据的平均数；所有样本数据的方差为．20．【答案】（1）甲的平均数为10，方差为0.8；乙的平均数为10，方差为1；（2）甲．【分析】（1）根据平均数，方差公式分别求出甲，乙的平均数，方差即可；（2）比较平均数，方差的大小，然后根据数字特征即可判断求解．【解答】解：（1）由题意可得甲的平均数为，方差为；乙的平均数为，方差为；（2）由（1）可得，，说明甲乙的平均数相同，但是甲的方差小于乙的方差，则甲同学加工零件的技能更稳定，应选派甲参加比赛．21．【答案】（1）9；（2）甲的平均数为7，方差为4.6，乙的平均数为7，方差为1.2；（3）乙发挥的更加稳定，理由见解析．【分析】（1）根据百分位数的计算公式即可求解，（2）由平均数和方差的计算公式即可求解，（3）根据方差的大小即可比较作答．【解答】解：（1）甲运动员的成绩从小到大排列为4，4，5，6，7，7，8，9，10，10，因为，所以甲运动员的样本数据第75百分位数为9；（2）由题意可知，甲的平均数为，所以方差为，乙的平均数为，方差为；（3）由（2）知：甲的方差，乙的方差，所以，故乙发挥的更加稳定．22．【答案】（1）甲更优秀；（2）乙的成绩比甲好些；（3）乙的成绩比甲好些；（4）乙更有潜力．【分析】根据题中折线图数据可计算出甲，