专题51 列联表与独立性检验（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题51列联表与独立性检验

1．分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2．2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值均为0，1，其2×2列联表为XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋d3.独立性检验(1)零假设：以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量，H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)．通常称H0为零假设或原假设．(2)χ2的计算公式：记n＝a＋b＋c＋d，则χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).(3)临界值：对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得后面关系成立：P(χ2≥xα)＝α.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可以作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大．χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(4)基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．(5)应用独立性检验解决实际问题的主要环节①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较；③根据检验规则得出推断结论；④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．常用结论：根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则认为两分类变量有关的把握越大．►考点01列联表▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．【例1】某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调查，其中调查50岁以下的有12人，饮食指数分别为21，43，45，58，74，76，77，78，82，83，85，90，50岁以上的有18人，饮食指数分别为20，21，25，26，26，27，32，33，36，37，39，42，44，45，58，61，75，78，饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主，根据以上数据完成主食与年龄之间的列联表．【答案】列联表如下表：年龄饮食指数总计以蔬菜为主以肉类为主50岁以下481250岁以上16218总计201030【分析】根据题目数据完成列联表即可．【解答】解：根据题意，得到列联表如下表：年龄饮食指数总计以蔬菜为主以肉类为主50岁以下481250岁以上16218总计201030【例2】某校高三年级10个班共360人，其中男生240名，女生120名，现对学生观看某电影情况进行问卷调查，各班观影男生人数记为组，各班观影女生人数记为组，得到如图所示的茎叶图．（1）根据茎叶图完成列联表；观影人数没观影人数合计男生220女生合计（2）若从高三年级所有学生中按男女比例分层抽样选取6人参加座谈，男生与女生各有几位？【答案】（1）列联表如下：观影人数没观影人数合计男生22020240女生10020120合计32040360（2）男生4人，女生2人．【分析】（1）根据茎叶图求出组人数和组人数，进而补全列联表即可；（2）根据分层抽样的定义求解．【解答】解：（1）由茎叶图可知，组人数为，组人数为，又因为男生总人数为240名，女生总人数为120名，所以男生中没观影人数为人，女生中没观影人数为人，补全列联表如下：观影人数没观影人数合计男生22020240女生10020120合计32040360（2）若从高三年级所有学生中按男女比例分层抽样选取6人参加座谈，抽取的男生人数为人，女生人数为人．【例3】青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来．某机构为了了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：，根据调查数据按，，，，，，，，，，，分成6组，得到如下频数分布表：时间，，，，，，频数123872462210（1）根据如表数据，求该地青少年每天使用电子产品时间的中位数．（2）记每天使用电子产品的时间超过60为长时间使用电子产品．根据题中数据完成下面的列联表：非长时间使用电子产品长时间使用电子产品合计患近视人数20100未患近视人数80合计200【答案】（1）；（2）列联表答案见解析．【分析】（1）根据题中数据结合中位数概念求解即可；（2）根据题中数据完成表格即可．【解答】解：（1），，设该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为，则，解得，即该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为；（2）由表中数据完成的列联表如下：非长时间使用电子产品长时间使用电子产品合计患近视人数20100120未患近视人数305080合计50150200【例4】（2025•徐汇区二模）如图是一个列联表，则90．总计35457总计73【答案】90．【分析】根据列联表直接求解即可．【解答】解：由题意可知，，，所以．故答案为：90．【例5】（2024春•河北区期末）下面是一个列联表，则表中、处的值分别为52、54．总计217322527总计46100【分析】根据列联表可知四个变量之间的关系，在每一行中，前两个数字的和等于最后一个数字，在每一列中，前两个数字的和等于最后一个数字，根据这种关系得到结果．【解答】解：根据列联表可知，．又，．故答案为：52；54►考点02独立性检验的应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)计算；(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．【例6】（2025春•农安县期末）某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示：性别篮球运动合计喜欢不喜欢男401050女252550合计6535100（1）求该校喜欢篮球运动的大学生中性别为男的频率；（2）根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？附：．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）；（2）能．【分析】（1）根据列联表数据直接求解；（2）计算χ2的值，再与临界值比较即可．【解答】解：（1）由列联表数据可知，该校喜欢篮球运动的大学生中性别为男的频率＝；（2）零假设H0：该校大学生是否喜欢篮球运动与性别无关，则χ2＝≈9.890＞7.879，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005．【例7】（2025春•肇庆期末）某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来，2，3，4，年的增长数据（万吨），如表所示：123452637506493（1）经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程；（2）为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如表：地区用设备用设备30201535根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关？参考公式：①；②（其中为样本容量）．参考数据：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）；（2）认为增收情况与使用，两种不同设备有关．【分析】（1）由题意分别求出，，，，从而可求解；（2）设出零假设，再利用独立性检验即可求解．【解答】解：（1），，，，，，故经验回归方程为；（2）零假设为：增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联，则，根据小概率值的独立性检验，不成立，所以认为增收情况与使用，两种不同设备有关．【例8】（2025春•云浮期末）某工厂生产了两批次某种产品，现从这两批次产品中共抽取800件进行检测，其中第一批次的产品占了检测数据如下，第一批次的次品件数与第二批次的次品件数相同，在合格品中，第二批次的合格品占了．（1）根据题中信息，完成下面列联表；单位：件生产批次产品检测结果合计次品合格品第一批次第二批次合计800（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？附：．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表如下：生产批次产品检测结果合计次品合格品第一批次80240320第二批次80400480合计160640800（2）产品检测结果与生产批次有关联．【分析】（1）根据题设条件可完善列联表；（2）根据（1）的列联表可求，结合临界值表可得判断．【解答】解：（1）由题意可知，从第一批次的产品中抽取了件，从第二批次的产品中抽取了件，设第二批次的合格品有件，则第一批次的合格品有件，故，解得，即第二批次的合格品有400件，第一批次的合格品有240件，补全列联表如下：生产批次产品检测结果合计次品合格品第一批次80240320第二批次80400480合计160640800（2）零假设：产品检测结果与生产批次没有关联，由，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．【例9】（2025春•新会区期末）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表．机床品级合计一级品二级品甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是（2）依据小概率值的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．【分析】（1）根据频率的计算即可求解，（2）根据卡方的计算，与临界值即可求解．【解答】解：（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为；乙机床生产的产品中一级品的频率为．（2）设：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异，因为，所以依据小概率值的独立性检验可得不成立，即甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．【例10】（2025春•沧州期末）在某次考试中，某学校要对某年级的学习总评成绩（满分100分）和体育成绩（满分100分）进行统计分析，为研究方便，现抽取出了其中各100名学生的成绩（分为优秀和一般）进行统计．优秀一般合计学习总评成绩体育成绩合计（1）若统计的数据中学习总评成绩在前十名的成绩分别为99，98，98，97，96，96，96，94，94，93，求这十个成绩的平均数和第70百分位数；（2）统计可得，学习总评成绩优秀60人，体育成绩一般30人，填写如下列联表，依据的独立性检验，能否认为学习总评成绩优秀与体育成绩优秀有关？参考公式：，．0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】（1）平均数为96.1，第70百分位数为97.5；（2）表格见解析，认为学习总评成绩优秀与体育成绩优秀无关．【分析】（1）把成绩按照小到大排列，可算出第70百分位数和平均数；（2）梳理成表格，找到，，，，的对应值，代入公式，找到对应判定区间，得到答案【解答】解：（1）把学习总评成绩在前十名的成绩从小到大排列为93，94，94，96，96，96，97，98，98，99；计算平均数为，因为，所以第70百分位数为．（2）根据题意，填表可得，优秀一般合计学习总评成绩6040100体育成绩7030100合计13070200零假设为：学习总评成绩优秀与体育成绩优秀无关，由表中数据可知，，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为学习总评成绩优秀与体育成绩优秀无关．►考点03等高堆积条形图▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.图形绘制关键步骤：以其中一个分类变量为横轴（如变量1的取值A、B），纵轴表示频数占比（或频数，需保证各组条形高度相等，即“等高”）．对每个横轴类别，按另一变量的取值（如变量2的X、Y）分割条形，各部分高度对应该组合的频数占比（如A组中X的占比，Y的占比）．标注类别名称及比例，确保图形清晰易读．2.关联性判断方法：观察同一横轴类别下，不同分割部分的比例差异：若两组条形中对应分割部分的比例差异显著（如A组中X占比远高于B组），则初步推断两个变量相关；若比例接近，则可能无关．注意图形仅为定性分析工具，无法替代定量的独立性检验．【例11】（2025•兴庆区四模）2020年12月26日太原地铁2号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁2号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如图等高堆积条形图，根据图中信息，下列结论正确的是A．样本中男性比女性更关注地铁2号线开通 B．样本中多数女性是35岁及以上 C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多 D．样本中35岁及以上的人对地铁2号线的开通关注度更高【答案】【分析】根据等高条形图数据分析即可依次判断．【解答】解：设等高条形图对应列联表如下：35岁及以上35岁以下总计男性女性总计根据第1个等高条形图可知，35岁及以上男性比35岁及以上女性多，即，35岁以下男性比35岁以下女性多，即，根据第2个等高条形图可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，即，女性中35岁及以上的比35岁以下的多，即，对于选项，男性人数为，女性人数为，因为，，所以，故正确；对于选项，35岁及以上女性人数为，35岁以下女性人数为，因为，故正确；对于选项，35岁以下男性人数为，35岁及以上女性人数为，无法从图中直接判断与的大小关系，故不一定正确；对于选项，35岁及以上的人数为，35岁以下的人数为，因为，，所以，故正确．故选：．【例12】（2024春•仁寿县期末）2021年12月1日，某市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出等高堆积条形图：根据图中的信息岁以上含35岁），下列结论中一定正确的是A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的人对地铁1号线的开通关注度更高【答案】【分析】根据高堆积条形图中信息，逐个判断各个选项即可．【解答】解：设等高堆积条形图对应列联表如下：35岁以上35岁以下合计男性女性合计根据第1个等高条形图可知，35岁以上男性比35岁以上性多，即，35岁以下男性比35岁以下女性多，即，根据第2个等高条形图可知，男性中35岁以上的比35岁以下的多，即，女性中35岁以上的比35岁以下的多，即，对于选项，男性人数为，女性人数为，因为，，所以，所以正确；对于选项，35岁以上的女性人数为，35岁以下的女性人数为，因为，所以正确；对于选项，35岁以下男性人数为，35岁以上女性人数为，无法从图中直接判断与的大小关系，所以不一定正确；对于选项，35岁以上的人数为，35岁以下的人数为，因为，，所以，所以正确．故选：．【例13】（2024•枣庄模拟）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，哈尔滨市某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则下列说法不正确的是参考公式：其中，．独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多 B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为 C．依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1 D．若经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，则无论参与调查的男生、女生人数为多少，依据的独立性检验，都可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性无关【答案】【分析】根据数表计算人数判断选项，根据古典概型公式判断选项，根据的值及独立性检验判断，选项．【解答】解：对于，由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，故经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人，故男生中经常锻炼的人数为人，不经常锻炼的人数为人，故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，正确；对于，经常级炼的女生人数为人，不经常锻炼的人数为人，故从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为，错误；对于，由题意结合男女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表：经常锻炼不经常锻炼合计男10060160女10040140合计200100300，故依据的独立性检验，认为性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，错误；对于，假设抽取600名学生，由题意可得：经常锻炼不经需量练合计男200120320女20080280合计400200600则此时，故依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，错误．故选：．【例14】（2024•湖北模拟）某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生男生合计100参考数据：本题中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．表中， B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异 D．根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异【答案】【分析】根据分层抽样即可判断；根据等高图，即可判断；根据独立性检验，即可判断．【解答】解：由题意知，抽样比为，所以女生抽取人，男生抽取人，根据等高堆积条形图可知，列联表如下：性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生122840男生303060合计4258100结合列联表可知，，，故正确；对数学不感兴趣的女生人数人）比男生人数人）少，故错误；由题意知，，所以根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异，故正确；由题意知，，所以根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异，故正确．故选：．【例15】（2025•武功县模拟）等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比．北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便．石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．材料材料合计试验成功试验失败合计单位：次（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及胶层；②石墨烯层；③表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元．试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表如下：材料材料合计试验成功453075试验失败52025合计5050100有的把握认为试验的结果与材料有关；（2）石墨烯发热膜的定价至少为2.233万元吨，才能实现预期的利润目标．【分析】（1）根据题意补全列联表，计算的值，再与临界值比较即可；（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元，则的可能取值为0，0.2，0.4，0.6，0.8，根据独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再结合期望公式求解即可．【解答】解：（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：材料材料合计试验成功453075试验失败52025合计5050100计算可得，依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关；（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元，则的可能取值为0，0.2，0.4，0.6，0.8，所以，，，，所以的分布列为：00.20.40.60.8所以，即石墨烯发热膜的定价至少为万元吨，才能实现预期的利润目标．►考点04实际推断原理▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.小概率事件界定：根据问题背景或惯例确定显著性水平（常用0.05，即概率≤5%的事件视为小概率事件），明确“小概率”的标准．2.推断逻辑应用：在独立性检验中，原假设成立时，是小概率事件．若实际计算的落入拒绝域，说明小概率事件发生，违背实际推断原理，因此拒绝；推断结论是“有充分证据表明关联存在”，而非“绝对关联”，存在犯第一类错误（拒绝正确）的风险，风险概率为．3.与检验步骤结合：实际推断原理贯穿独立性检验全过程，是确定拒绝域、做出决策的核心依据，需明确“小概率事件发生”与“原假设不成立”的逻辑关系．【例16】（2023春•金台区期中）独立性检验中，假设：变量与变量没有关系．则在成立的情况下，估算概率表示的意义是A．变量与变量有关系的概率为 B．变量与变量没有关系的概率为 C．变量与变量有关系的概率为 D．变量与变量没有关系的概率为【答案】【分析】根据所给的估算概率，得到两个变量有关系的可信度是，即两个变量有关系的概率是，这里不用计算，只要理解概率的意义即可．【解答】解：概率，两个变量有关系的可信度是，即两个变量有关系的概率是，故选：．【例17】（2024春•潮州期末）独立性检验中，假设命题：变量与变量没有关系．则在成立的情况下，则表示的意义是A．变量与变量有关系的概率为 B．变量与变量没有关系的概率为 C．变量与变量有关系的概率为 D．变量与变量没有关系的概率为【分析】根据所