专题51 列联表与独立性检验（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题51列联表与独立性检验

一．选择题（共10小题）1．（2025春•内江期末）甲公司推出一种新产品，为了解某大学消费者对新产品的满意度，从中随机调查了70名该校不同性别的大学生消费者，得到如下的列联表：女男总计满意152540不满意201030总计353570附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根据列联表的独立性检验，计算得到，则下列说法正确的是A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为该校大学生消费者对新产品满意的人数中男生人数更多 B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该校女大学生消费者对新产品满意的人数与对新产品不满意的人数比为 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为性别与是否对新产品满意有关系 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与是否对新产品满意有关系2．（2025春•广州期末）为了解性别（变量与体育锻炼（变量是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据小概率值的独立性检验，附：，，下列结论不正确的是锻炼合计不经常经常女生15520男生10合计252550A． B．若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为 C．变量与变量独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 D．变量与变量不独立，此推断犯错误的概率不超过0.0053．（2025春•厦门期末）为考察药物对预防疾病的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验．根据种群一的试验结果得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用282250服用341650合计6238100计算得到，假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为表格对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，附：，0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879A．当时，种群一中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 B．当时，种群一中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 C．当时，种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 D．当时，种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过4．（2025春•辛集市期末）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下：优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是A．列联表中的值为30，的值为35 B．列联表中的值为15，的值为50 C．列联表中的值为20，的值为50 D．由列联表可看出成绩与班级有关系5．（2025春•河西区期末）用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828下列叙述正确的是A．某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B．某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”6．（2025春•滨海新区期末）从某学校获取了容量为100的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：数学成绩语文成绩合计不优秀优秀不优秀46955优秀311445合计7723100经计算：χ2＝3.04附：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828参考附表，得到的正确结论是（）A．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关” B．根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关” C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关” D．根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀无关”7．（2025春•青岛期末）为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下2×2列联表：性别晚上白天总计女30男30总计4090则χ2的值最接近（）（附：，n＝a+b+c+d）A．18 B．11 C．8 D．68．（2025•浦东新区三模）已知一项统计结果表明有的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则A．吸烟者一定会患肺癌 B．吸烟者患肺癌的概率为 C．100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过9．（2025春•涪城区期末）今年5月，绵阳南山中学以战胜宜宾一中，蝉联贡嘎杯四川省总冠军．南山中学在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是男生女生篮球迷3015非篮球迷4510附：，0.100.050.012.7063.8416.635A．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关10．（2025春•安顺期末）某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查．已知抽查的男生、女生人数均为，其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的．若本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则的最小值为附：参考公式及数据：．0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．20 B．21 C．22 D．23二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•泉州期末）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的．女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有人．附表：0.0500.0103.8416.635附：，．A．40 B．45 C．63 D．70（多选）12．（2025•武汉模拟）下列说法正确的是A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C．样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好（多选）13．（2025春•随州期末）炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的昆明成为众多游客旅游的热门选择，为了解来昆明旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100名游客，得到如下列联表．零假设为：旅行方式与年龄没有关联，根据列联表中的数据，经计算得，则下列说法中，正确的有小于40岁不小于40岁自由行3819跟团游20230.10.050.012.7063.8416.635附：A．在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为 B．在选择自由行的游客中按年龄分层抽样抽取6人，再从中随机选取2人做进一步的访谈，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为 C．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄没有关联，且犯错误概率不超过0.01 D．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05（多选）14．（2025春•合肥期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量，利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关．计算得，由小概率临界值表知，现给出四个结论，其中错误的是A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有的可能性患肺癌 D．有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”三．填空题（共4小题）15．（2025春•连云港期末）为了鉴定新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得χ2＝．发病未发病合计接种32730未接种171330合计204060参考公式：χ2＝，其中n＝a+b+c+d．16．（2025春•钦州期末）如下是一个列联表，则．总计35455总计7017．（2025春•新疆期末）下面是一个2×2列联表：XY合计Y1Y2X11030X27080合计20110附：，其中n＝a+b+c+d则χ2≈．（保留小数点后3位）18．（2025春•孝感期末）为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据：单位：名性别疗效合计无效有效男性患者153550女性患者64450合计21791000.1000.0500.0102.7063.8416.635设：服用此药的效果与患者的性别无关，（小数点后保留3位有效数字），从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于．四．解答题（共6小题）19．（2025春•玉溪期末）2025斯诺克世锦赛中，中国选手赵心童获得冠军，创造了历史．为了解高二学生喜欢台球是否与性别有关，某学校随机抽取了200名高二年级学生进行统计，得到的列联表如下：喜欢不喜欢合计男60女90合计70200参考公式：，其中．附表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）求，，，，；（2）依据小概率值的独立性检验，是否可以推断高二学生喜欢台球与性别有关？20．（2025春•龙岗区期末）某学习小组为了研究性别与近视之间是否有关联，在年级随机选取了30人，得到如下列联表：性别近视合计不近视近视男51722女268合计72330（1）在样本中的8名女生中随机选取2人，求这2人中至少有1人是近视的概率；（2）小组成员甲通过计算发现女生的近视率为小于男生的近视率，所以甲认为男生更容易近视．请根据小概率值的独立性检验，分析甲的说法是否正确？0.10.050.012.7063.8416.63521．（2025春•西青区期末）社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书、现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：年轻人年长者总计喜欢阅读电子书630喜欢阅读纸质书18总计60（1）请将上面列联表填写完整；（2）依据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析上表中的抽样数据，能否据此推断喜欢阅读电子书与年龄有关联；（3）现从年长者中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽选2人，求抽到至少1人为喜欢阅读纸质书年长者的概率．下表是x2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中n＝a+b+c+d．22．（2025春•西宁期末）西宁市第十四中学为高一、高二的学生开展了丰富的社团活动，共青团委员会的工作人员为研究学生的性别与喜欢烘焙社是否有关联．她随机从两个年级的男生和女生中各抽取了100名学生进行统计分析．并绘制了下列列联表．喜欢烘焙社不喜欢烘焙社合计男生45100女生35100合计200（1）求，，，的值；（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢烘焙社与性别有关联？附：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879．23．（2025春•临沂期末）为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分，具体情况如表格：性别了解安全知识的程度得分不超过90分的人数得分超过90分的人数男生10女生（1）求，，；（2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？附，0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82824．（2025春•清远期末）在研究某类杨树的树高与胸径（树的主干在地面以上处的直径）之间的关系时，某研究员收集的一些数据如表1所示．（1）由表1数据，求胸径与树高的平均值；（胸径精确到，树高精确到（2）根据这些数据，可建立该类杨树树高（单位：关于胸径（单位：的一元线性回归模型为，用（1）中结果求的值并估计胸径为的该类杨树的树高；（精确到（3）若这12棵杨树树龄相同，分别种植于南坡和北坡，且成材情况如表2所示，根据的独立性检验，能否认为树龄相同的这类杨树是否成材与种植位置有关联？编号123456胸径18.120.122.224.426.028.3树高18.819.221.021.022.122.1编号789101112胸径29.632.433.735.738.340.2树高22.422.623.024.323.924.7表1种植位置成材情况合计成材未成材南坡516北坡246合计7512表2参考公式及数据：，其中．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCCDDBBDAD二．多选题（共4小题）题号11121314答案BDBDBDABC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】由卡方的意义即可判断选项中的命题是否正确．【解答】解：根据题意知，，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为性别与是否对新产品满意有关系，选项正确；在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与是否对新产品满意无关系，选项错误；没有足够的条件用来判断选项与选项．故选：．2．【答案】【分析】选项，根据表中数据得到，概率为；选项，计算出卡方，与7.879比较后的结论．【解答】解：对于选项，，正确；对于选项，若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为，正确；对于选项，，，故变量与变量不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005，错误，正确．故选：．3．【答案】【分析】根据独立性检验的性质即可求解．【解答】解：种群一：已知，当时，临界值，由于，不能拒绝原假设（药物与预防疾病无关联），故、错误；种群二：列联表数据为种群一的5倍．根据公式，新，当时，临界值，拒绝原假设，认为药物有效，犯错概率，正确；当时，临界值，，不能拒绝原假设，错误．故选：．4．【答案】【分析】根据成绩优秀的概率求得，进而求得，结合比例判断出正确答案．【解答】解：由题意知，，解得，由，解得．补全列联表如下：优秀非优秀总计甲班104555乙班203050总计3075105甲班的优秀率为，乙班的优秀率为，，所以成绩与班级有关，选项正确，选项、、错误．故选：．5．【答案】【分析】根据与临界值比较即可得出答案．【解答】解：根据题意可知，，故在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”．故选：．6．【答案】B【分析】根据独立性检验的性质即可求解．【解答】解：进行独立性检验时，将计算得到的χ2＝3.04与附表中的临界值比较，对于α＝0.1，对应临界值xα＝2.706，由于3.04＞2.706，此时拒绝“数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀无关联”的原假设，认为两者有关，对于α＝0.05，对应临界值xα＝3.841，3.04＜3.841，不拒绝原假设，对于α＝0.01等更小的α，临界值更大，3.04均不满足，A，α＝0.05时，3.04＜3.841，不能认为有关，错误；B，α＝0.1时，3.04＞2.706，认为有关，正确；C，α＝0.01时，3.04＜6.635，不能认为有关，错误；D，α＝0.1时应认为有关，而非无关联，错误．故选：B．7．【答案】B【分析】完善2×2列联表，计算χ2得解．【解答】解：2×2列联表如下：性别晚上白天总计女302050男103040总计405090则，所以χ2的值最接近11．故选：B．8．【答案】【分析】根据独立性检验相关知识可解．【解答】解：已知一项统计结果表明有的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，根据独立性检验相关知识可得，认为”吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过．故选：．9．【答案】【分析】根据独立性检验的性质即可求解．【解答】解：计算总人数，代入卡方公式，其中，，，，计算得，对比临界值：，对应值在0.05到0.10之间，因此，有的把握认为是否是篮球迷与性别有关（对应犯错误概率不超过，：符合计算结果，正确；、：需不满足；：需，不满足．故选：．10．【答案】【分析】由题意可得列联表，直接代入公式计算即可．【解答】解：由题意可得列联表如下：男性女性合计喜爱乒乓球不喜爱乒乓球合计则，若本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”，所以有，解得，又因为上述列联表中的所有数字均为整数，最小为23．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据题意列列联表，结合卡方分布的计算公式得到不等式，进而求解出，从而得到结果．【解答】解：设男生人数为，则男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，由题可得列联表：性别是否喜欢抖音喜欢不喜欢合计男生女生合计所以，解得，由题知，，且是5的整数倍，结合选项满足．故选：．12．【答案】【分析】根据独立性检验的性质可判断，根据残差图的性质可判断，根据相关系数的性质可判断，根据决定系数的性质可判断．【解答】解：对于，利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，故错误；对于，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好，故正确；对于，样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故错误；对于，用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故正确．故选：．13．【答案】【分析】选项，根据古典概型，可得解；选项，由等比例分层抽样，求得抽取的6人中两个年龄段的人数，再结合组合数与古典概型，得解；根据参考公式计算的值，并与附表中的数据进行对比，即可对选项和进行判断．【解答】解：选项，在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为，即错误；选项，在选择自由行的游客中，年龄小于40岁和不小于40岁的人数比为，所以抽取的6人中，年龄小于40岁的人数为人，年龄不小于40岁的人数为人，所以2人中至少有1人不小于40岁的概率为，即正确；选项，，所以不能在犯错误概率不超过0.01的前提下，推断旅行方式与年龄没有关联，即错误；选项，由，知在犯错误概率不超过0.05的前提下，可推断旅行方式与年龄有关联，即正确．故选：．14．【答案】【分析】依据卡方值结合小概率值的独立性检验思想即可得解．【解答】解：设零假设为：患肺癌与吸烟无关，因为，所以根据小概率值的独立性检验，我们认为不成立，即“患肺癌与吸烟有关”，即有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，故选项正确，其余都是错误的．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】14.7．【分析】根据公式计算得解．【解答】解：根据题意可知，n＝60，a＝3，b＝27，c＝17，d＝13，则．故答案为：14.7．16．【答案】85．【分析】根据列联表的概念，可得答案．【解答】解：根据列联表的概念可知，，则，则，所以．故答案为：85．17．【答案】6.366．【分析】根据题意完成列联表，再代入χ2计算并取近似值即得．【解答】解：根据题意可知，列联表如下：XY合计Y1Y2X1102030X2107080合计2090110根据χ2计算公式可知，＝．故答案为：6.366．18．【答案】0.05．【分析】计算卡方，再由独立性检验比较可得．【解答】解：根据题意可知，，根据小概率值的独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关．故答案为：0.05．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1），，，，；（2）可以推断高二学生喜欢台球与性别有关．【分析】（1）根据列联表的相关概念，建立方程，可得答案；（2）提出零假设，根据独立性检验的计算方法，可得答案．【解答】解：（1）由表中数据可知，，，，，；（2）由题意可知，列联表如下：喜欢不喜欢合计男6040100女1090100合计70130200零假设：该校高二学生喜欢台球与性别无关，则，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即可以推断高二学生喜欢台球与性别有关．20．【答案】（1）；（2）不正确．【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式、对立事件的概率公式可求出所求事件的概率；（2）零假设：性别与是否近视无关，求出的观测值，结合临界值表可得出结论．【解答】解：（1）根据题意可知，8名女生中，有6名近视，2名不近视，设为近视的人数，则，所以这2人中至少一个是近视的概率为；（2）零假设：性别与是否近视无关，根据列联表数据，计算得，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为性别与是否近视无关，甲同学的说法不正确．21．【答案】（1）列联表见详解；（2）喜欢阅读电子书与年龄有关联；（3）．【分析】（1）根据题意结合