专题54 随机事件与概率（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题54随机事件与概率

1．样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．②表示：大写字母A，B，C，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．2．事件的运算定义表示法图示并事件事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)3.事件的关系定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)互斥事件如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)若A∩B＝∅，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq\o(A,\s\up6(－))若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立4.概率与频率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．5．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．6．古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个．(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．7．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(n（A）,n（Ω）).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．常用结论：1．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．即两事件互斥是对立的必要不充分条件．►考点01随机事件的关系及运算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼事件关系判断的策略判断事件的互斥、对立关系一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生判断事件的交、并关系一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件【例1】（2025春•鼓楼区期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立【答案】【分析】由互斥事件定义判断，由对立事件定义判断，由独立事件定义判断．【解答】解：由题意，2，3，4，5，，，，故正确；，由题意，2，3，，，，且，，故正确；，因为，，，3，，，所以，所以，故正确；，因为，2，3，，，，所以，所以，故错误．故选：．【例2】（2025春•云浮期末）掷两枚均匀的骰子，观察所得点数．设“两个点数都是偶数”为事件，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥【答案】【分析】根据题意列出事件，事件，再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可．【解答】解：依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则，，2，3，4，5，．对于，，，，，，，，，，而，，，，，，，，，显然事件与事件互斥但不对立，如，但，，故错误；对于，易得，故（C），因为，所以（B）（D），而，则（D），则（C）（D），即与不相互独立，故错误；对于，（A），（C），因为，所以，而，所以事件与事件不相互独立，故正确；对于，，则与事件不互斥，故错误．故选：．【例3】（2025春•天津期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有2个白色球（标号为1和2），3个黑色球（标号为3、4和5），从袋中不放回地依次随机取出2个球，每次摸出一个球，设事件，M＝“至少摸到一次白球”，N＝“两次都摸到白球”，P＝“两次都摸到黑球”，Q＝“两球颜色相同”，T＝“两球颜色不同”．则下列说法错误的是（）A．Q与T互斥但不对立 B．N与P互斥 C．M与P对立 D．N∪P＝Q【答案】A【分析】根据题意，由对立事件、互斥事件的定义依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，事件Q与T是对立事件，A错误；对于B，N＝“两次都摸到白球”，P＝“两次都摸到黑球”，不会同时发生，是互斥事件，B正确；对于C，N＝“至少摸到一次白球”，即两次都是白球或一次白球和一次黑球，是事件P是互斥事件，C正确；对于D，N∪P＝Q，D正确．故选：A．【例4】（2025春•杨浦区月考）某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门．已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比．现在等可能的从该校选取一名学生，设事件为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是A．（C） B．与不互斥 C． D．与相互独立【答案】【分析】根据题意，由和事件的定义分析，由概率的性质分析，由互斥事件的定义分析，由相互独立事件的定义分析，综合可得答案．【解答】解：根据题意，由于每位学生至少选报一门，则，正确；又由（A），（B），则（C）（A）（B），正确；，即与不互斥，正确；又由，则（C），（A）（C），则与不相互独立，错误．故选：．【例5】（2025春•道里区期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则A．与为相互独立事件 B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件【答案】【分析】由相互独立事件的定义和判断方法分析、，由互斥事件的定义分析、，综合可得答案．【解答】解：根据题意，（A），（B），（C），依次分析选项：对于，与是互斥事件，，则、不是相互独立事件，错误；对于，当第一次抛掷骰子的点数为2，第二次抛掷骰子的点数为5时，与同时发生，、不是互斥事件，错误；对于，，，，，有（B）（C），则事件、是相互独立事件，正确．对于，当第一次抛掷骰子的点数为3，第二次抛掷骰子的点数为4时，与同时发生，、不是互斥事件，错误．故选：．►考点02随机事件的频率与概率▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼频率与概率的关系区别频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值联系利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率【例6】（2025春•新乡期末）从1∼5这5个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于8的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出基本事件总数，再求出两数之积大于8包含的基本事件个数，再求概率．【解答】解：由题意，样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，包含10个样本点．设事件A＝“这两个数字之积大于8”，则A＝{（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，包含4个样本点，所以．故选：D．【例7】（2025春•鼓楼区期末）从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是A． B． C． D．【答案】【分析】列举出5条线段中任取3条的所有基本事件，求出构成三角形的基本事件的个数，由古典概型求概率的公式求解即可．【解答】解：从5条线段中任取3条的所有基本事件有10个，即，3，，，3，，，3，，，5，，，5，，，7，，，5，，，5，，，7，，，7，，其中能构成三角形的基本事件有3个，即，5，，，7，，，7，，故所求概率．故选：．【例8】（2025•休宁县一模）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生之间的随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜；否则乙获胜．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354据此估计甲获得冠军的概率为A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.25【答案】【分析】根据题干条件列出满足甲获胜的随机数，再根据古典概型计算即可．【解答】解：根据题意，20组随机数中，表示甲获胜的是：123，114，152，512，125，151共6个，据此估计甲获得冠军的概率为．故选：．【例9】（2025春•滨州期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数：926446072021392077663817325615405858776631700259305311589258据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6【答案】【分析】根据题意，分析20组随机数中，能表示至少2次击中目标的组数，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，在20组随机数中，能表示至少2次击中目标的有446、072、021、392、325、405、631、700、305、311，共10组，则其3次射击至少2次击中目标的概率；故选：．【例10】一个容量为20的样本，数据分组及各组的频数如下：，，2；，，3；，，4；，，5；，，4；，，2．则样本数据在区间，内的频率是A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【答案】【分析】利用频率计算公式求解．【解答】解：一个容量为20的样本，数据分组及各组的频数如下：，，2；，，3；，，4；，，5；，，4；，，2．则样本数据在区间，内的频率是：．故选：．►考点03互斥事件与对立事件的概率▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求互斥事件概率的一般方法直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算间接法先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法比较简便【例11】（2025春•崂山区期末）已知事件，，满足：（A），（B），则下列结论正确的为A．若（B）（C），则与相互对立 B．若，则 C．若事件与相互独立，则 D．若事件与相互独立，则【答案】【分析】根据对立事件的概念可判断；根据事件的包含关系可判断；根据并事件的概率和独立事件概率关系可判断．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，因为，不一定互斥，即使（B）（C），无法得到与对立，错误；对于，，则（A），错误；对于，事件与相互独立，则（A）（B），则（A）（B），正确；对于，若事件与相互独立，则、相互独立，则（B），错误．故选：．【例12】（2025春•河南月考）已知事件，互斥，且（A），（B），则A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9【答案】【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解．【解答】解：根据题意，事件，互斥，则（A）（B）．故选：．【例13】（2025春•重庆期末）已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是A． B． C． D．【答案】【分析】事件、互斥，事件都不发生的对立事件是事件与至少有一个发生，由此即可求出答案．【解答】解：根据题意，事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的，所以事件，都不发生的概率为：．故选：．【例14】（2025春•衡水期末）已知随机事件和相互独立，且（A），（B），则A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.78【答案】【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案．【解答】解：随机事件和相互独立，且（A），（B），事件和相互独立，（A），（B），（A）（B），（A）（B）．故选：．【例15】（2025春•龙岗区期末）已知两个随机事件和，其中，，，则A． B． C． D．【答案】【分析】因为和是两个随机事件，由（A）（B）即可求出结果．【解答】解：两个随机事件和，其中，，，（A）（B），（A）（B）．故选：．►考点04古典概型▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼公式法求解古典概型问题的步骤【例16】（2025春•开封期末）从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解即可．【解答】解：根据题意，将两名男生编号为，，两名女生编号为1，2，记“抽到的两人都是男生”为事件，在有放回简单随机抽样方式下，，，，，，，，，，，，，，，，，共16个样本点，，，，，有4个样本点，所以；无放回简单随机抽样方式下，的样本空间为：，，，，，，，，，，，，共12个样本点，，，，，，，，，，，，共16个样本点，，，有2个样本点，所以．故选：．【例17】（2025春•贵州期末）袋中装有除颜色外其他均相同的2个白球，4个黄球，3个红球，从中任取一球，取到红球的概率为A． B． C． D．【答案】【分析】由古典概型直接列式求解．【解答】解：由题可得，袋中共有个球，则取到红球的概率为．故选：．【例18】（2025春•肇庆期末）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为A． B． C． D．【答案】【分析】由题可知，，再利用二项分布求概率即可．【解答】解：根据题意，设“该同学能进入面试”，设该同学答对的题目数量为，则，则（A）．故选：．【例19】（2025春•潮州期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是第一组第二组第三组合计投篮次数100200300600命中的次数66126183375命中的频率0.660.630.610.625A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66【答案】【分析】根据频率和概率的关系即可判断．【解答】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，所以合计列对应的频率最为合适．故选：．【例20】（2025春•定州市期末）为预估某棋手三次对弈的胜局情况，进行随机模拟实验：在一局比赛中，设定随机数1、2、3、4表示对弈获胜，5、6、7、8、9、0表示对弈失败．计算机模拟生成12组随机数：137960197925271815952683829436730257，每组随机数代表三次对弈结果．据此估计，该棋手三次对弈恰有两次获胜的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】找出12组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的数据，由此计算所求的概率值．【解答】解：用1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，根据题意可知，表示运动员三次投篮恰有两次命中的是：137，271，436，故所求的概率值为．故选：A．►考点05古典概型与统计的交汇问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．复杂事件的概率问题可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．【例21】（2025春•朝阳区期末）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）求该样本的第80百分位数；（2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；（3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在[60，70）和[70，80）内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在[60，70）内，另一人成绩在[70，80）内的概率．【答案】（1）84分；（2）71分；（3）．【分析】（1）根据频率和为1求得a＝0.03，再由百分位数的定义求第80百分位数；（2）由频率直方图的平均数求法求平均分；（3）根据分层抽样确定6中的人数分布，再应用列举法求古典概型的概率．【解答】解：（1）由题可得（0.05+0.010+0.015×2+0.025+a）×10＝1，解得a＝0.03．因为（0.010+0.015×2+0.03）×10＝0.7＜0.8，0.7+0.025×10＝0.95＞0.8，所以样本的第80百分位数位于区间[80，90），设为m，则0.7+（m﹣80）×0.025＝0.8，解得m＝84，故该样本的第80百分位数为84分．（2）由题可得平均分为：＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71分，故试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为71分．（3）由题可得区间[60，70）和[70，80）的频率比为0.15：0.3＝1：2，所以抽出的6名同学中2名位于区间[60，70），4名位于[70，80），设2名位于区间[60，70）的同学为a，b，4名位于区间[70，80）的同学为A，B，C，D，则6名同学中随机抽取2名同学有：（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（a，D），（b，A），（b，B），（b，C），（b，D），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共15种情况，这2名同学中，有一人成绩在[60，70）内，另一人成绩在[70，80）内有：（a，A），（a，B），（a，C），（a，D），（b，A），（b，B），（b，C），（b，D）共8种情况，所以有一人成绩在[60，70）内，另一人成绩在[70，80）内的概率为．【例22】（2025春•南关区期末）某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站．由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示．（1）估计在这40名读书者中年龄分布在区间，上的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）从年龄在区间，上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间，上的人数恰为1的概率．【答案】（1）30；（2）平均数为54，中位数为55；（3）．【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得样本的平均数，根据中位数的定义可求得样本的中位数；（3）计算出抽取的6人中，位于，的有2人，记为，，数学成绩位于，的有4人，记为，，，，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，年龄在区间，上的频率为，所以40名读书者中年龄分布在区间，上的人数为；（2）40名读书者年龄的平均数为，设40名读书者年龄的中位数为，则，解得：，即40名读书者年龄的中位数为55岁；（3）由频率分布直方图知：年龄在区间，上的读书者有2人，分别记为，，年龄在区间，上的读书者有4人，分别记为，，，，从上述6人中选出2人，则有、，，，，，，，、，，，，，，，共15种情况，其中恰有1人在，的情况有，，，，，，，，共8种情况，所以恰有1人在，的概率．【例23】（2025春•德州期末）某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]分组的样本频率分布直方图，如图所示．（1）求直方图中a的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数；（2）现在从分数在[80，90）和[90，100）的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好一人分数在[80，90）内，另一人分数在[90，100）内的概率．【答案】（1）a＝0.01，中位数为108；（2）．【分析】（1）由频率分布直方图各组频率之和为1可求a的值；根据直方图中的估算中位数的求法计算中位数．（2）由[80，90）和[90，100）的频率确定求出这两组分层抽样的人数，再列出从这6人中随机抽取2人的所有可能情况个数，及其中恰好一人分数在[80，90）内，另一人分数在[90，100）内的个数，进而求得相应的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得（0.006+0.012+0.04+0.026+a+0.006）×10＝1，解得a＝0.01，本次联考该校数学成绩在[80，90）的频率为0.006×10＝0.06，在[90，100）的频率为0.012×10＝0.12，在[100，110）的频率为0.04×10＝0.4，因为0.06+0.12＝0.18＜0.5，0.06+0.12+0.4＝0.58＞0.5，所以中位数在[100，110）之间，设为m，则0.06+0.12+（m﹣100）×0.04＝0.5，解得m＝108，所以本次联考该校数学成绩的中位数为108；（2）成绩在[80，90）的人数与成绩在[90，100）的频率的人数之比为1：2，抽取的6人中成绩在[80，90）的有2人，成绩在[90，100）的频率的有4人，假设成绩在[80，90）的2人分别记为A1，A2，成绩在[80，90）的4人分别记为B1，B2，B3，B4.随机抽取两人的样本空间为：{A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，