专题54 随机事件与概率（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题54随机事件与概率

一．选择题（共10小题）1．（2025春•西安期末）某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（）A．恰有1名同学是女生 B．恰有两名同学是女生 C．至少有1名同学是男生 D．至少有1名同学是女生2．（2025春•张掖期末）现有6名学生志愿者作交通协管员，其中男生有2人，女生有4人．现从这6人中随机选2人到路口，则路口的志愿者是1男1女的概率为A． B． C． D．3．（2025春•农安县期末）已知随机事件和互斥，和对立，且（C），（B），则A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.54．（2025春•秦皇岛期末）投掷两枚质地均匀的骰子，记事件为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则A．为必然事件 B．为不可能事件 C．与为互斥但不对立事件 D．与互为对立事件5．（2025春•沧州期末）已知事件，，两两互斥，且，，，则A． B． C． D．6．（2025•新建区模拟）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（B）A． B． C． D．7．（2025春•南关区期末）某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，，，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（）A． B． C． D．8．（2025春•衡阳县期末）常德市某中学的运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制．已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为．第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球，各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为A． B． C． D．9．（2025春•朝阳区期末）某企业两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.7，0.9，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为A．0.03 B．0.07 C．0.63 D．0.9710．（2025春•龙岗区期末）学校开展数学学科周活动，从高二（1）、（2）、（3）、（4）班各选两名同学组成一个8名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，已知有两名同学来自同一个班级，则另外两名同学不是来自同一个班级的概率为A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•秦皇岛期末）不透明的袋子中装有两个分别标有数字1，2的红球和四个分别标有数字1，2，3，4的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则A．这两个球颜色相同的概率小于颜色不同的概率 B．至少有一个红球被取出的概率为 C．这两个球上的数字相同的概率为 D．这两个球上的数字之和为偶数的概率为（多选）12．（2025春•碑林区期末）已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（）A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为 C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为（多选）13．（2025•湖北模拟）高考来临之际，某校食堂的午饭针对高三学生推出了多种营养套餐，其中10元套餐是从、、、、五道菜中任选三道菜，甲、乙两位同学午饭都选择了此套餐，假设甲、乙两人选择每道菜品都是等可能的且两人选择菜品互不影响，则A．甲选了的概率为 B．甲选了且乙不选的概率为 C．甲乙两人所选的菜品完全相同的概率为 D．甲乙两人选的菜品恰有一个相同的概率为（多选）14．（2025春•遵义期末）甲、乙两人在商场参与抽奖活动，已知6张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张，则下列正确的是A．甲中奖的概率为 B．乙中奖的概率为 C．甲、乙都中奖的概率为 D．甲不中奖乙中奖的概率为三．填空题（共4小题）15．（2025春•甘肃期末）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是．16．（2025春•南岗区期末）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为．17．（2025春•杨浦区月考）不透明的盒子里有2个红球、3个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从盒子里任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是．18．（2025春•汕头期末）长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为．四．解答题（共6小题）19．（2025春•宁阳县期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球．其中2个红球，3个黄球．（1）若这5个球分别标有数字1，2，3，4，5．现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回．连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率；（2）若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率．20．（2025春•甘肃期末）已知某校高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为540，360，360．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去儿童福利院参加庆六一献爱心活动．（1）应从高一、高二、高三三个年级的学生中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担献爱心活动的主持工作．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设事件T为“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件T发生的概率．21．（2025春•济南期末）袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球．（1）求至少一个是白球的概率；（2）设事件为“第一次是白球”，事件为“两个小球的编号之和为6”，判断与是否相互独立，并说明理由．22．（2025春•洛阳期末）一个袋子中有大小和质地完全相同的个球，其中红球个，绿球个，．现采用不放回方式从中依次取出2个球．（1）当，时，记红球为，绿球为，写出试验的样本空间；（2）若，且取出的2个球都是红球的概率为；①求的值；②求取到的2个球颜色不同的概率．23．（2025春•汕头期末）一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为1，2，3，4，5，6，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）．设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”．（1）求事件的概率；（2）判断事件与事件是否相互独立，并说明理由．24．（2025春•西宁期末）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和．（1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率；（2）求甲在每轮比赛中获胜的概率；（3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDDCBDDDDD二．多选题（共4小题）题号11121314答案ACABDABDBD一．选择题（共10小题）1．【答案】C【分析】根据已知，结合对立事件的定义即可求解．【解答】解：由对立事件的定义可知，与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是事件“至少有1名同学是男生”．故选：C．2．【答案】【分析】首先确定选择总数为，再求出是1男1女种，进而得到概率．【解答】解：由题意知，从6人中随机选2人，有种结果，其中2人是1男1女的结果有种，所以路口的志愿者是1男1女的概率为．故选：．3．【答案】【分析】根据题意，由对立事件的性质求出（A），进而由互斥事件的概率性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，由和对立，可得（A）（C），又由（C），则（A），又由随机事件和互斥，则（A）（B）．故选：．4．【答案】【分析】由必然事件、不可能事件、互斥和对立事件的概念可判断．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，事件是随机事件，错误；对于，事件是随机事件，错误；对于，与不能同时发生，但可能同时不发生，故与为互斥但不对立事件，正确；对于，由的结论，错误．故选：．5．【答案】【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得（B），（C），进而可得结果．【解答】解：因为事件，，两两互斥，又因为，可得，解得（C），（B）；所以．故选：．6．【答案】【分析】根据题意，设“甲箱中取出2个红球”，“甲箱中取出1个红球和1个黑球”，“甲箱中取出2黑球”，由古典概型公式求出、、，进而求出、和，由全概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设“甲箱中取出2个红球”，“甲箱中取出1个红球和1个黑球”，“甲箱中取出2黑球”，则，，，，，，故（B）．故选：．7．【答案】D【分析】根据独立事件概率计算方法运算即可．【解答】解：∵汽车在甲、乙、丙三处遇红绿灯是独立的，∴汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为××+××+××＝，故选：D．8．【答案】【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案．【解答】解：每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为，第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球，各局比赛相互独立，甲前两轮胜利的概率为，甲前两轮一赢一输，第三轮胜利的概率为：，甲胜利的概率．故选：．9．【答案】【分析】先根据独立事件的概率公式求出一天内这两台设备没有一台正常运行的概率，再根据对立事件的概率公式可求得结果．【解答】解：某企业两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.7，0.9，且它们是否正常运行相互独立，这两台设备都没有正常运行的概率为，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为．故选：．10．【答案】【分析】记事件：老师选择的四名同学有两名同学来自同一个班级，记事件：老师选择的四名同学有两名同学不在同一个班级，求出（A）、的值，结合条件概率公式可求得的值．【解答】解：学校开展数学学科周活动，从高二（1）、（2）、（3）、（4）班各选两名同学组成一个8名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，有两名同学来自同一个班级，记事件：老师选择的四名同学有两名同学来自同一个班级，记事件：老师选择的四名同学有两名同学不在同一个班级，故，，由条件概率公式可得．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】写出样本空间，列举法进行求解古典概型的概率．【解答】解：根据题意，从袋子中随机取出两个球，其样本空间（红1，红，（红1，黄，（红1，黄，（红1，黄，（红1，黄，（红2，黄，（红2，黄，（红2，黄，（红2，黄，（黄1，黄，（黄1，黄，（黄1，黄，（黄2，黄，（黄2，黄，（黄3，黄，共15个样本点，依次分析选项：对于，样本空间中两个球颜色相同的情况有7种，颜色不同的有8种，这两个球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为，则这两个球颜色相同的概率小于颜色不同的概率，正确；对于，至少有一个红球的情况有9种，故其概率为，不正确；对于，这两个球上的数字相同情况有2种，故其概率为，正确；对于，这两个球上的数字之和为偶数的情况有6种，故其概率为，不正确．故选：．12．【答案】ABD【分析】根据古典概型及组合数即可判断A；根据二项分布的方差公式计算即可判断B；根据条件概率公式即可判断C；根据二项分布的概率公式即可判断D．【解答】解：对于A，恰有1个白球的概率为，故A正确；对于B，每次任取1个球，取到红球的次数，则方差为，故B正确；对于C，设A为事件“第一次取到红球”，B为事件“第二次取到红球”，则，，所以，故C错误；对于D，每次取到红球的概率，所以有放回地取球3次，每次任取1个球，取到两次红球的概率为，故D正确．故选：ABD．13．【答案】【分析】根据古典概率的计算公式列式计算判断．【解答】解：对于选项，甲同学选这道菜的概率为，故正确；对于选项，由选项得甲选了且乙不选的概率为，故正确；对于选项，甲乙两人所选的菜完全相同的概率为，故错误；对于选项，甲乙两人选的菜恰有一个相同的概率为，故正确．故选：．14．【答案】【分析】利用古典概率，结合概率的乘法公式及全概率公式逐项求解．【解答】解：设甲中奖的事件为，乙中奖的事件为，对于，甲中奖的概率为，故错误；对于，，，所以，故正确；对于，，错误；对于，，正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解．【解答】解：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；所以甲排在排尾共有2+2＝4种排法，同理乙排在排尾也有4种方法，于是共有8种排法符合题意；基本事件总数是，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为．故答案为：．16．【答案】．【分析】设该校有名学生，根据已知条件，求出每天玩手机不超过的学生人数及其中近视的人数，再利用频率估计概率能求出结果．【解答】解：设该校有名同学，则约有的学生近视，约有的学生每天玩手机超过，且每天玩手机超过的学生中的学生中近视的学生人数为：，有的学生每天玩手机不超过，且其中有的学生近视，从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为．故答案为：．17．【答案】．【分析】根据题意，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，盒子里有2个红球、3个白球，从盒子里任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率．故答案为：．18．【答案】0.375【分析】先假设该校有100人，再根据古典概型公式，计算即可．【解答】解：假设该校有100人，则近视人数为40人，玩手机超过的有20人，其中近视的有10人，玩手机不超过的有，其中近视的有30人，所以近视的概率为，故答案为：0.375．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可；（2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可．【解答】解：（1）根据题意，若不放回连续取两次，其样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个样本点，记“两数之和为3的倍数”为事件，则，，，，，，，，共8个样本点，则（2）根据题意，设2个红球分别记为，，3个黄球分别记为，，，则有放回地取出两个的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共25个样本点，记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共12个样本点，故20．【答案】（1）应从高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（ⅰ）结果见解析；（ⅱ）．【分析】（1）利用分层抽样的定义结合已知条件求解即可，（2）（ⅰ）根据题意列出所有可能得抽取结果的集合即可，（ⅱ）确定事件T所包含的样本点，利用古典概型概率公式求结论．【解答】解：（1）由题意知，高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者人数之比为540：360：360＝3：2：2，所以应从高一年级的学生志愿者中抽取（人）从高二年级的学生志愿者中抽取（人）从高三年级的学生志愿者中抽取（人）所以应从高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（ⅰ）随机试验从A，B，C，D，E，F，G中随机抽取2名同学的所有可能得抽取结果的集合Ω＝{（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（A，G），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（B，G），（C，D），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G）}共含有21个样本点．（ⅱ）不妨设A，B，C为高一学生，D，E为高二学生，F，G为高三学生，因为事件T为“抽取的2名同学来自同一年级”，所以T＝{（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（F，G）}，共5个样本点，所以．21．【答案】（1）；（2）与是相互独立的，理由见解析．【分析】（1）由对立事件概率公式、独立乘法公式即可求解；（2）由古典概型概率计算公式和独立事件的定义求解即可．【解答】解：（1）由于有放回地依次随机摸出两个小球，所以每次摸球的结果互相独立，故至少一个是白球的概率为；（2）因为事件为“第一次是白球”，所以．因为事件为“两个小球的编号之和为6”，且，所以，事件为“第一次编号为1且第二次编号为5”或者“第一次编号为2且第二次编号为4”，所以，则，所以与是相互独立的．22．【答案】（1），，，，，，，，，．（2）①；②．【分析】（1）由题意利用有序数对，一一列举基本事件，根据样本空间的概念，可得答案；（2）①利用古