专题14 导数的概念及其意义、导数的运算（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题14导数的概念及其意义、导数的运算

一．选择题（共10小题）1．（2025春•辽宁期中）下列求导运算结果正确的是A． B． C． D．2．（2025春•朝阳区期中）设曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则的坐标为A． B． C． D．3．（2025春•沈阳期中）下列求导运算正确的是A． B． C． D．4．（2025春•安徽期中）已知曲线上一点，（1），记为函数的导数，则（1）（1）A． B． C． D．5．（2025春•安徽月考）已知函数（1），则（3）A． B． C． D．6．（2025•安康模拟）已知函数的图象在处的切线平行于轴，则该切线的方程为A． B． C． D．7．（2025春•长春期中）曲线在处的切线方程为A． B． C． D．8．（2025•武汉模拟）设函数，则曲线在点，处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为A． B． C． D．9．（2025•咸阳三模）若曲线与曲线相切，则的值是A． B．0 C．1 D．210．（2025春•成都期中）若曲线与恰有2条公切线，则A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•深圳月考）下列结论正确的有A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则（多选）12．（2025春•柳南区期中）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是A．1 B． C． D．6（多选）13．（2025•罗湖区模拟）已知函数的图象在，，，两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为A． B． C．2 D．（多选）14．（2025春•南宁期中）已知直线经过点，且与曲线相切，则直线的方程可以为A． B． C． D．三．填空题（共4小题）15．（2025•湖南模拟）已知函数，则曲线在点处的切线方程为．16．（2025春•南海区月考）设函数是函数的导函数，且满足，则．17．（2025•山东）若直线是曲线的切线，则．18．（2025•福州模拟）曲线与的一条公切线的方程为．（只需写出其中一条公切线的方程）四．解答题（共6小题）19．（2025春•南岗区期中）分别求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）．20．（2025春•南阳月考）已知曲线．若曲线在，（1）处的切线方程为．（1）求，的值；（2）求过点且与曲线相切的直线方程．21．（2025春•湖北期中）已知函数．（1）求曲线的斜率等于的切线方程；（2）设曲线在点，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．22．（2025•吉林模拟）已知函数，．（1）当时，求在，上的值域；（2）证明：曲线与在点处存在公切线．23．（2025春•辽宁期中）已知函数，且．（1）求的值；（2）若曲线在点，（1）处的切线与函数的图象也相切，求的值．24．（2025春•高台县期中）已知，曲线在点，（e）处的切线方程为．（1）求实数，的值；（2）若，求曲线过点的切线方程．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBDDADCCBA二．多选题（共4小题）题号11121314答案ACDABCABACD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式，求解可得．【解答】解：对于，，选项错误；对于，，选项错误；对于，因为是常数，所以，选项错误；对于，，选项正确．故选：．2．【答案】【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．【解答】解：因为的导数为，所以曲线在点处的切线为，因为的导数为，设，，则曲线在点处的切线的斜率为，解得，所以为．故选：．3．【答案】【分析】由基本初等函数的导数公式及运算逐项判断即可．【解答】解：，，故错误；，故错误；，故错误；，故正确．故选：．4．【答案】【分析】求出函数的导数，进而求出函数值即可．【解答】解：，则（1），而，所以．故选：．5．【答案】【分析】在等式（1）两边求导，令，可求得（1）的值，可得出的表达式，代值计算可得出（3）的值．【解答】解：因为（1），则，所以，（1）（1），解得，所以，，因此，．故选：．6．【答案】【分析】根据导数的几何意义，即可求解．【解答】解：因为，所以，令，可得，又，所以，又，所以所求切线方程为．故选：．7．【答案】【分析】对函数求导，代入则得到斜率，再得到点斜式方程【解答】解：因为，所以，所以当时，斜率，所以曲线在处的切线方程为，即．故选：．8．【答案】【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．【解答】解：因为，所以，所以；，所以切线方程为，令，可得；令，可得，所以所求面积为．故选：．9．【答案】【分析】根据绝对值的性质对进行分段讨论，再结合导数的几何意义求出切点，进而求出的值．【解答】解：因为，又的定义域为，，所以两曲线的切点在上，因为两曲线相切，所以在切点处它们的斜率相等，即．解方程，解得．把代入得，所以切点坐标为．把切点代入得，即，因为，所以．故选：．10．【答案】【分析】设在曲线上的切点为，求出切线方程，设该切线方程与曲线相交于点，由此可得，再利用导数研究函数的性质，结合题意即可得出答案．【解答】解：设在曲线上的切点为，由，可得过点的切线斜率为，此时切线方程为，即，设切线与曲线相交于点，，则，消去，可得，依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点，令，解得或，令，解得，则函数在，上单调递增，在上单调递减，故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，，要使直线与函数的图象有两个不同的交点，则需，解得．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数的运算法则逐个分析判断即可．【解答】解：对于，若，则，正确；对于，若，则，错误；对于，若，根据复合函数求导法则可得，，正确；对于，若，则，正确．故选：．12．【答案】【分析】设出两个函数在，两点处的切线，利用待定系数法将用表示，再构造函数解决函数最值即可．【解答】解：设公切线分别与曲线，切于，由，，得，，故在处切线为，整理得，在处切线为，整理得，，解得，令，得，令，解得：，故在递增，在递减，故，正实数，的取值范围是，，结合选项可得，正实数的取值可能是1或或．故选：．13．【答案】【分析】由整理可得，然后由基本不等式可得．【解答】解：由，得，则，，依题意可得，且，，，整理得，则，得，经验证，当，分别取3，时，，当，分别取2，时，满足题意．故选：．14．【答案】【分析】求导，设切点，由导数几何意义结合点斜式求出切线方程，再由切线过点求出参数即可求解．【解答】解：因为的导数为，设切点为，则切线斜率为，所以切线方程为，又切线过点，所以，解得，1，0，所以代入切线方程整理得切线方程为或或．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】根据切线斜率等于切点处的导数值求出切线斜率，然后用点斜式写出切线方程即可．【解答】解：因为，所以，所以（1）；所以所求为，即．故答案为：．16．【答案】1．【分析】对两边求导，再把代入求解即可．【解答】解：因为，所以，故．故答案为：1．17．【答案】4．【分析】根据题意，令，求出的值即可确定切点坐标，进一步将切点坐标代入曲线中即可确定值．【解答】解：根据题意，，令，则，在切线中，当时，，所以切点坐标为，将代入曲线中，得，解得．故答案为：4．18．【答案】．【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．【解答】解：因为与的导数分别为，，所以在处的切线方程为，而在处的切线方程为，即为，所以线与的一条公切线的方程为．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】按求导公式和法则逐问求导即可．【解答】解：（1）因为，所以；（2）因为，所以．（3）因为，所以．20．【答案】（1），；（2）和．【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义以及切线斜率计算可得，的值；（2）设切点，由经过点解方程可得或，即可得出直线方程．【解答】解：（1）由，得，则（1），（1），所以在，（1）处的切线方程为，即，由已知可得，，则，；（2）由（1）可知，设切点为，则，故曲线在切点处的切线方程为，把代入，得，即，解得或，当时，切线斜率为3，此时切线方程为；当时，切线斜率为，此时切线方程为．故过点且与曲线相切的直线方程为和，即和．21．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求导数可得切线斜率，利用点斜式可得答案；（2）先求出三角形的面积表达式，利用导数可求最小值．【解答】解：（1）因为，所以．令，得，所以切点坐标为，所以所求切线方程为，即；（2）由（1）可知，所以，所以在点处的切线方程为，令，得；令，得，所以，所以，由得，由得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最小值为．22．【答案】（1），；（2）证明见解析．【分析】（1）当时，则，通过求导判断函数的单调性，即可求解；（2）根据导数的几何意义，分别求出与在点处得切线方程，即可证明．【解答】解：（1）若，则，所以，，所以当，时，，单调递增；当，时，，单调递减，所以有最大值为，当时，，当时，，所以在，上的值域为，；（2）证明：因为，所以，又，所以在点处的切线方程为．因为，所以，又，所以在点处的切线方程为，所以与在处存在公切线．23．【答案】（1）2；（2）1或5．【分析】（1）求导，计算（e），得解；（2）根据导数的几何意义求出曲线在点，（1）处的切线方程，再与联立方程组，由△得解．【解答】解：（1）因为，所以，所以，解得；（2）由（1）可得，所以，所以（1），（1），所以在，（1）处的切线方程为，即，联立，得，所以，解得或．24．【答案】（1）；（2