专题55 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题55事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

一．选择题（共10小题）1．（2025春•资阳期末）已知甲箱中有1个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和1个黑球，所有球除颜色外完全相同．某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球．则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为A． B． C． D．2．（2025春•济宁期末）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为，则智能客服的回答被采纳的概率为（）A． B． C． D．3．（2025春•莆田期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．从中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号为奇数”，则A．与对立 B．与互斥但不对立 C．与相互独立 D．与既不互斥也不独立4．（2025春•梅州期末）一个车间有3台车床，其中型号2台，型号1台，它们各自独立工作．设型车床发生故障的概率为，型车床发生故障的概率为，记同时发生故障的车床数为，则A． B． C． D．5．（2025春•西青区期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.7，此运动员两次均击中9环的概率为0.56，则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率，A．0.392 B．0.56 C．0.8 D．0.96．（2025•玉溪模拟）已知（A），（B），，则A． B． C． D．7．（2025春•沙坪坝区期末）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.758．（2025春•定安县期末）记事件为“抛一枚硬币正面向上”，事件为“掷一颗骰子点数为6”，则条件概率为A． B． C． D．9．（2025春•锦州期末）已知，，．则（B）A． B． C． D．10．（2025春•福建期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次．每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮．已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•秀峰区期末）设样本空间Ω＝{1，2，3，4}含有等可能的样本点，记事件A＝{1，2}，事件B＝{1，3}，事件C＝{3，4}，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C互斥（多选）12．（2025•渑池县三模）已知随机事件，满足（A），，则下列说法正确的是A． B． C． D．（多选）13．（2025春•市北区期末）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则A． B． C． D．若和至少有一个发生的概率为，则、相互独立（多选）14．（2025春•沈阳期末）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件A1、A2，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．三．填空题（共4小题）15．（2025春•北京期中）某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率为．16．（2025春•福建期中）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他骑共享单车去上班的概率为．17．（2025•卓尼县模拟）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为．18．（2025春•泰安期中）已知（A），，，则（B）．四．解答题（共6小题）19．（2025春•资阳期末）某射手每次射击击中目标的概率为，共进行8次射击．求：（1）恰有3次击中目标的概率；（2）至少有6次击中目标的概率．20．（2025春•宿州期末）每年的3月14日为国际数学日，也被称为“日”，某学校在国际数学日举办了“数学知识竞赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为、．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．若甲、乙各有一轮胜出的概率为，甲、乙两轮都胜出的概率为．（1）求和的值；（2）求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．21．（2025春•平顶山期末）为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．（1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；（2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．22．（2025春•安庆期末）某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取．现有甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为0.8、0.5，乙通过笔试和面试的概率分别为0.6、0.7，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立．（1）试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大；（2）求甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率．23．（2025春•甘州区期中）2024年某公司推出高、中、低3个价位的型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为，，．（1）求用户对型新能源汽车的满意率；（2）从对型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位型新能源汽车的概率．24．（2025春•云浮期末）已知甲袋子装有编号分别为1，2，3的三个红球和编号分别为1，2，3的三个白球（小球除编号、颜色外完全相同）．（1）从甲袋中一次性摸出两个小球，记事件为“摸到的两个小球颜色相同”，事件为“摸到的两个小球的编号之和大于4”，判断，是否相互独立，并说明理由．（2）现从甲袋中不放回地摸球，直到摸出所有白球，则停止摸球．若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率；若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBCDCCDBCA二．多选题（共4小题）题号11121314答案ADACACDBCD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】记事件：从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球，记事件：从乙箱中取出的球是黑球，利用全概率公式可求得（B）的值．【解答】解：记事件：从甲箱取出的球为红球，事件：从乙箱中取出的球是黑球，则事件从甲箱取出的球为黑球，所以，，，，由全概率公式可得．故选：．2．【答案】B【分析】由全概率公式计算可得．【解答】解：设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件B，则，，，，根据全概率公式，＝．故选：B．3．【答案】【分析】利用古典概型求解，，利用全概率公式求，利用（A）（B）来判断与相互独立，从而可得正确判断．【解答】解：根据题意，从中不放回地依次随机摸出2个球，则，，，，，，，，，，，，，而，，，，则，依次分析选项：对于和，，能同时发生，所以与不是互斥事件，也不是对立事件，、错误，对于，事件“第一次摸出球的标号小于3”，易得，事件“第一次摸出球的标号是奇数”，（B），由于，所以与相互独立，故正确；对于，由的结论，错误．故选：．4．【答案】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解．【解答】解：根据题意，，即有两台车床同时发生故障，则．故选：．5．【答案】【分析】由条件概率计算公式可得答案．【解答】解：根据题意，设“第一次击中9环”，“第2次击中9环”，易得（A），，故．故选：．6．【答案】【分析】利用条件概率公式求解．【解答】解：（A），（B），，（A），则．故选：．7．【答案】【分析】根据条件概率公式即可求解．【解答】解：事件：阅读过《红楼梦》，事件：阅读过《三国演义》，则（A），（B），，（A）（B），则，故，从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位，该同学阅读过《红楼梦》的概率：．故选：．8．【答案】【分析】利用古典概型概率公式求（A），（B），再利用条件概率公式求．【解答】解：因为事件为“抛一枚硬币正面向上”，事件为“掷一颗骰子点数为6”，所以，，因为事件，独立，所以，所以．故选：．9．【答案】【分析】利用条件概率的定义以及公式，分别求出和，即可得到答案．【解答】解：由题意可得，（A），，则，（A），又，则，所以（B）．故选：．10．【答案】【分析】由题意知，可能前两轮没有用通行卡，也可能前两轮中有一轮用了一次通行卡，且第三轮都答错了，由互斥加法、独立乘法以及对立事件概率公式求解即可．【解答】解：由于“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰，所以龙队：可能前两轮没有用通行卡，也可能前两轮中有一轮用了一次通行卡，且第三轮都答错了，故所求概率为：．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】AD【分析】由互斥事件，独立事件的性质以及概率性质逐项判断可得．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，因为A∩B＝{1}，则，则有P（AB）＝P（A）•P（B），即事件A与事件B相互独立，故A正确；对于B，A∩C＝∅，所以P（AC）＝0，而，所以P（AC）≠P（A）•P（C），故B错误；对于C，A∩B＝{1}，事件A与B可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，A∩C＝∅，事件A与事件C不会同时发生，是互斥事件，故D正确．故选：AD．12．【答案】【分析】根据对立事件的概率关系可判断，根据条件概率公式可判断，根据（A）（B）可判断．【解答】解：对于，因为（B），所以（B），故正确；对于，因为（A），，所以（A），故错误；对于，因为（A），（B），，所以（A）（B），故正确；对于，，故错误．故选：．13．【答案】【分析】根据对立事件的概率公式，可判定；当时，，可判定；由（A）（B），分和，互斥两种情况，求得相应概率的最值，可判定；求得，得到（A）（B），可判定．【解答】解：对于，由，可得，故正确；对于，由，当时，，故错误；对于，由（A）（B），当时，（A），此时，即的最小值为；当，互斥时，可得，此时的最大值为，所以，所以正确；对于，由，且和至少有一个发生的概率为，可，解得，所以（A）（B），所以和相互独立，所以正确．故选：．14．【答案】BCD【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出P（A1），P（A2），P（B|A1），P（B|A2），再结合条件概率公式和全概率公式依次判断各选项．【解答】解：对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个红球，所以，故A错误；对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B正确；对于C，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确；对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析，所以，故D正确．故选：BCD．三．填空题（共4小题）15．【答案】0.18．【分析】根据题意，利用全概率公式求解即可．【解答】解：设事件“乘火车”，“乘轮船”，“乘飞机”，“迟到”，则（A），（B），（C），，，，因为，且，，两两互斥，故（D）（A）（B）（C）．故答案为：0.18．16．【答案】．【分析】根据全概率和条件概率公式求解即可．【解答】解：设事件：这一天他迟到，事件：他骑共享单车去上班，由题可知，，所以，故答案为：．17．【答案】．【分析】按照第3局乙负，第4，5局乙胜、第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜、第3，4局乙胜三种情况讨论，利用独立事件乘法、互斥事件加法求概率即可．【解答】解：最终乙获胜包含三种情况：①第三局乙负，第四，五局乙胜，此时乙胜的概率为；②第三局乙胜，第四局乙负，第5局乙胜，此时乙胜的概率为；③第三，四局乙胜，此时乙胜的概率为．所以乙获胜的概率为．故答案为：．18．【答案】0.5．【分析】结合全概率公式，即可求解．【解答】解：（A），，，则（A）（B），即（B）（B），解得（B）．故答案为：0.5．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据独立事件概率公式计算即可；（2）根据独立事件的性质即可．【解答】解：根据题意可知，射手每次射击击中目标的概率为，共进行8次射击，（1）恰有3次击中目标的概率；（2）至少有6次击中目标的概率．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据古典概型和已知条件求出事件“甲，乙各有一轮胜出”、“甲，乙两轮都胜出”的概率，然后求出参数即可．（2）甲、乙两人至少有一人两轮都胜出的概率等于甲两轮胜出的概率、乙两轮胜出的概率以及甲乙两轮都胜出的概率之和．【解答】（1）记事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”，记事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”，由题意得，，，相互独立，且，记事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”，则，，从而有，解得；（2）记事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”，事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”，，．21．【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式可分总次数为3次或4次两种情况讨论，从而可解．（2）利用相互独立事件相关知识可解．【解答】解：（1）根据题意，总次数为3时，乙获胜的概率为，总次数为4时，乙获胜的概率为；所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为．（2）比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率为．22．【答案】（1）乙．（2）0.484．【分析】（1）记甲被公司录取为事件，乙被公司录取为事件，利用独立事件的概率乘法公式，分别求得（A）和（B），比较大小，即可得到结论；（2）由（1）得到和，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解．【解答】解：（1）甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为0.8、0.5，乙通过笔试和面试的概率分别为0.6、0.7，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立，记甲被公司录取为事件，乙被公司录取为事件，则（A），（B），（A）（B），乙被该公司录取的概率更大．（2）由（1）可知，，，故甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率：．23．【答案】（1）0.7；（2）0.4．【分析】（1）利用全概率公式求解；（2）利用条件概率公式求解．【解答】解：（1）设“用户购买的是高价位的型新能源汽车”，“月用户购买的是中价位的型新能源汽车”，“用户购买的是低价位的型新能源汽车”，“用户对型新能源汽车满意”，由题意可知，，，两两互斥，且，，，，，，所以（B）；（2）由题意可知，即求在发生的条件下，发生的概率，所以．24．【答案】（1），相互独立，理由见解析．（2）（ⅰ）；（ⅱ）．【分析】（1）先根据计数原理和组合数的概念得出从甲袋中一次性