专题56 离散型随机变量的分布列及数字特征（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题56离散型随机变量的分布列及数字特征

1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．3．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)．(2)p1＋p2＋…＋pn＝1．4．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))__(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq\r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．5．两点分布的分布列及其数字特征若X服从两点分布，则分布列如下：X01P1－pp期望E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．6．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．常用结论：1．随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．2．判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．3．均值与方差的四个常用性质(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2．(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．►考点01离散型随机变量分布列的性质▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼离散型随机变量分布列的性质的应用应用一利用“概率之和为1”可以求相关参数的值应用二利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率应用三可以根据性质判断所得分布列结果是否正确【例1】（2025春•石家庄期末）如表是某离散型随机变量的分布列，则实数01A． B． C．或 D．1【答案】【分析】根据分布列的性质进行求解即可．【解答】解：根据分布列的性质可知：，解得或．故选：．【例2】（2025春•玉林期末）设是一个离散型随机变量，其分布列为：01则等于A． B． C．1 D．【答案】【分析】由概率和为1即可求解．【解答】解：由离散型随机变量的分布列的概率和为1，可得，解得．故选：．【例3】（2025春•清远期末）如表所示，则p＝（）X012P（X）7ppA． B． C． D．【答案】A【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质列式求解即可．【解答】解：由题意可得7p++p＝1，解得p＝．故选：A．【例4】（2025春•石家庄期末）已知离散型随机变量的分布列为，则A． B． C． D．1【答案】【分析】根据题意，由，结合分布列计算可得答案．【解答】解：根据题意，离散型随机变量的分布列为，则．故选：．【例5】（2025春•辛集市期末）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于01A． B． C． D．【答案】【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程求出，再求即可．【解答】解：由题意可得，即，解得或，当时，，不合题意，所以．则．故选：．►考点02与互斥事件、独立事件有关的分布列▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼在求几个互斥事件构成的事件的概率时，一般先利用独立事件的定义求出各个互斥事件发生的概率，然后用概率加法公式求概率，审题时应注意关键词语，如“至多有一个”“至少有一个”“恰有一个”等，在求复杂事件的概率时，应学会对事件等价分解(互斥事件的和、几个独立事件同时发生)，或者考虑结合对立事件求解，从而使问题变得更易解决．【例6】（2025春•重庆期末）某市推广智能家居节能计划，调研发现一个家庭安装智能灯泡的数量（单位：个）的分布列为：0123其中，．每个家庭安装智能灯泡的个数是相互独立的．记事件：一个家庭单月节省电量总和至少为4度．若事件发生，则认为该家庭完成节能目标．（1）求与的比值；（2）每个智能灯泡互不影响，且每个智能灯泡每月节省的电量（单位：度）的分布列如下，12345其概率满足下列条件：①；②求，的值；若政府希望有以上的家庭完成节能目标（即（A），试问：对任意的，该目标能否完成？请说明理由．【答案】（1）；（2），；能．【分析】（1）利用分布列概率和等于1求得；（2）根据已知分布列，结合其满足的两个条件，先求得，再利用分布列的概率之和为1求得；（ⅱ）利用全概率公式求得（A），，利用导数研究其单调性进而证得对任意，有（A），即可得答案．【解答】解：（1）随机变量表示一个家庭安装智能灯泡的数量，其分布列概率和等于1，所以，，，，所以；（2）由于取离散整数值，分析条件，，故：，概率总和为，代入，得，解得；事件：一个家庭单月节省电量总和至少为4度，即总节省电量．总节省电量，其中独立同分布于，与独立．由（1）知，故的分布为：，，，，计算若，则，故；若，则，故；若，则，需，计算，，，概率为；或，概率为；故，所以，若，则，需．计算仅当所有，概率为，故，则（A），设函数（A），，求导得，令，则，为开口向下的抛物线，，（1），所以存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减，又，（1），所以存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减，又因为当趋于，（A）趋于，当趋于，（A）趋于，所以在内，（A）恒成立，因此，对任意，有（A），即政府目标总能完成．【例7】（2024•毕节市三模）某年某省有40万考生参加高考．已知考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人．经考试后统计，考试成绩服从正态分布，，若以省计划招生数确定一本最低录取分数．（Ⅰ）已知，则该省这一年的一本最低录取分数约为多少？（Ⅱ）某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分数的考生均可参加“线上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数，11，，，若产生的两位数字相同，则可奖励20元话费，否则奖励5元，假如所有符合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？【答案】（1）456分；（2）39万元．【分析】（1）由正态分布的性质，以及对称性代入数值计算，由此分析判断即可；（2）先确定的可能取值，再由概率公式计算出对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．【解答】解：（1）由题意可知，服从正态分布，，，因为，，所以，根据正态曲线的对称性，则，，所以，若40万考生中一本院校招收6万考生，则一本院校考生占比为，所以这一年一本最低录取分数为456；（2）的可能取值为5，20，所以，，故的分布列为：5200.90.1所以，又因为一本院校招生一共6万人，每人的花费期望值为6.5元，故总额为万元．【例8】（2025春•重庆月考）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中．（1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列；（2）设结束后，细胞数量为的概率为．（ⅰ）求；（ⅱ）证明：．【答案】（1）分布列见解析；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析．【分析】（1）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列；（2）求出第时分裂为2个细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解；求出第时分裂为3个细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证．【解答】解：（1）结束后，的取值可能为1，2，3，4，其中，，，，所以的分布列为：1234（2）表示分裂结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞．不妨设在第时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞，此事件概率，所以．代表分裂后有3个细胞的概率，设细胞在后分裂为2个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为2个细胞，一个保持一直分裂为1个细胞，此事件的概率，得，，其中，．令，，记，，令，得．当，，单调递增；当，，单调递减．故，也就是．【例9】（2025春•桃城区月考）为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表．已知抽取的90只小鼠的样本极差为5．现从日均睡眠时长在6～8的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为6，7，7，8，7．日均睡眠时长s56789小鼠数量6t1925168（1）求s，t；（2）求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差；（3）从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值X的分布列．【答案】（1）s＝4，t＝16；（2）；（3）分布列见解析．【分析】（1）根据样本极差的定义，直接计算即可；（2）根据方差公式直接计算即可；（3）先求出X各取值对应的概率，进而求出分布列．【解答】解：（1）因为样本极差为5，s＝9﹣5＝4，t＝90﹣6﹣19﹣25﹣16﹣8＝16．（2）参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的平均数为，所以方差．（3）因为抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为6，7，7，8，7，故X可能值为0，1，2．故，P（X＝2）＝＝，，故X的分布列为X012P【例10】10．（2025春•石家庄期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员每场比赛犯规4次以上的概率为．（1）求甲班第二场比赛获胜的概率；（2）用表示比赛结束时比赛场数，求的分布列；（3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率．【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）．【分析】（1）根据全概率公式，即可求解；（2）由题意可得，3，从而再根据对立事件的概率与独立事件的概率公式，即可求解的分布列；（3）根据对立事件与独立事件的概率公式，条件概率公式，即可求解．【解答】解：（1）先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛，在规则允许的情况下，甲班球员都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员每场比赛犯规4次以上的概率为，设为“第场甲队获胜”，为“球员第场上场比赛”，，2，3，根据全概率公式可得；（2）由题意可得，3，又，由（1）知，，，，，所以的分布列为：23（3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，，此时，甲班比赛获胜的概率为：．►考点03与古典概型有关的分布列▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)求古典概型的离散型随机变量的分布列，要注意应用计数原理、排列组合的知识求样本点的个数及事件A包含的样本点的个数，然后应用古典概型的概率公式求概率．(2)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．【例11】（2025春•福清市期末）某运动会需要招募一批志愿者，测试合格者录用为志愿者．现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格．若甲能答对其中的5道题，求：（1）甲测试合格的概率；（2）甲答对的试题数的分布列．【答案】（1）；（2）分布列见解析．【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果；（2）由题意可得，可以为0，1，2，3，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列．【解答】（1）．现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格．若甲能答对其中的5道题，设甲测试合格为事件，则．（2）甲答对的试题数可以为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123【例12】（2024秋•邢台期末）袋中装有4个大小相同的小球，编号为1，2，3，4，现从袋中有放回地取球2次．（1）求2次都取得3号球的概率；（2）记这两次取得球的号码的最大值为，求的分布列．【答案】（1）；（2）分布列见解析．【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求得答案；（2）确定的取值，求出每个值对应的概率，即可求得分布列．【解答】解：（1）由题意从袋中有放回地取球2次，每次取到3号球概率为，故2次都取得3号球的概率．（2）随机变量的取值为1，2，3，4，则，，，所以的分布列为：1234【例13】（2023春•朝阳区期中）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人；乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人．现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．（1）设事件为“选出的这4个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列．【答案】（1）；（2）0123【分析】（1）基本事件总数，事件包含的基本事件个数，由此能求出事件发生的概率．（2）可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．【解答】（1），（2）可能取值为0，1，2，3．，，，，的分布列为0123【例14】（2024春•连云港期末）某同学会做老师给出的6道题中的4道．现从这6道题中任选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，求：（1）选做的3道题中该同学会做的题数的分布列；（2）该同学能及格的概率．【答案】（1）该同学会做的题目数的分布列为：123（2）．【分析】（1）根据题意，该同学会做的题目数为1，2，3，则根据超几何分布求概率的方法求出对应的概率，最后写出分布列即可；（2）根据（1）即可求得答案．【解答】解：记该同学会做的题目数为，由题意，的可能取值为1，2，3，，，，所以该同学会做的题目数的分布列为：123（2）由（1），该同学能及格的概率为：．【例15】（2024秋•滨海新区月考）某课外活动小组共10位同学，利用假期参加义工活动，其中有3位同学参加一次义工活动，有3人参加两次义工活动，剩下4位同学参加三次义工活动，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；（2）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列．【答案】（1）；（2）见解析．【分析】（1）利用已知条件转化求解事件发生的概率即可；（2）根据题意知随机变量的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列即可．【解答】解（1）由题意得，10人中选2人，共有种，①参加1次义工活动的选1个，参加3次义工活动的选1个的情况有种，②参加2次义工活动的人选2个有种，（A），所以事件发生的概率为．（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2．，，．所以随机变量的分布列为：012►考点04数字特征的计算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求离散型随机变量X的数字特征的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值．(2)求X取每个值的概率．(3)写出X的分布列．(4)由均值的定义求E(X)．(5)由方差的定义求D(X)．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．【例16】（2025春•南充期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为．（1）设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：；（2）从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差．【答案】（1）证明见解析；（2）分布列见解析，，．【分析】（1）根据合格率的概念，计算混合后的总体合格率，证明；（2）来自第二台车床零件的个数服从二项分布，根据二项分布写出分布列，计算期望和方差．【解答】解：（1）证明：已知第一台车床加工的零件有件，合格品有件，第二台车床加工的零件有件，合格品有件，混合后的合格率为，解得；（2）由可知，一个零件来自第二台车床概率为，随机变量可能取值有0，1，2，3，4，来自第二台车床零件的个数服从二项分布，则，，，1，2，3，4，所以的分布列为：01234所以，；【例17】（2025春•凉州区期末）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的均值和方差．【答案】（Ⅰ）的分布列为：012（Ⅱ），．【分析】（Ⅰ）设挑选的2台电脑中，品牌的台数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，进而得到的分布列；（Ⅱ）利用期望公式和方差公式求解．【解答】解：（Ⅰ）设挑选的2台电脑中，品牌的台数为，则的可能取值为0，1，2，，，，故的分布列为：012（Ⅱ），所以．【例18】（2025•上海模拟）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是．（1）分别求出小球落入袋和袋中的概率；（2）在容器的入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球的个数．求的分布列、数学期望和方差．【分析】（1）记小球落入袋为事件，小球落入袋为事件，求出利用互斥事件的概率求解．（2）由已知，1，2，3，，得到分布列然后求解期望．【解答】解：（1）记小球落入袋为事件，小球落入袋为事件，所以，从而．（2）由已知，1，2，3，，则的分布列为：01234．【例19】（2025•上海三模）某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：不达标达标合计男300女100300合计450600（1）完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；（3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数的分布、数学期望及方差．附：，．【答案】（1）可以；（2）；（3）的分布列为：0123，．【分析】（1）根据题意完成列联表，计算的值，再与临界值比较即可；（2）根据题意求出600位居民中体能测试合格的人数，再利用样本估计总体，求出从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格的概率；（3）由（2）可知，再利用二项分布的概率公式、期望公式和方差公式求解．【解答】解：（1）完成列联表如下：不达标达标合计男50250300女100200300合计150450600零假设：体育锻炼达标与性别无关，则，所以我们推断不成立，即依据小概率的独立性检验，可以认为体育锻炼达标与性别有关；（2）600位居民中体能测试合格的人数为人，用样本估计总体，从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格的概率为；（3）由题意可知，，的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为：0123所以，．【例20】（2025春•城中区期中）某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图，若立定跳远成绩落在区间，的左侧，则认为该学生属“体能不达标”的学生，其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）若该校高三某男生的跳远距离为，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？（2）该校利用分层抽样的方法从样本区，，，，，中抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在，的人数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）该男生属于“体能不达标”的学生．（2）分布列为：012．【分析】（1）根据频率纵坐标组距，分别求出各组频率各组小矩形面积，由此能求出平均数，从而能判断该男生是否属于“体能不达标”的学生．（2）由频数频率样本容量，分别求出样本区，，，，，对应的人数，再按分层抽样抽取5人，分别抽出1人，2人，2人，再从5人中抽2人，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意各：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.3，0.15，0.05，．，，该男生属于“体能不达标”的学生．（2）由题意跳远距离在，，，，，的人数分别为12人，24人243人，按分层抽样抽取5人，则，抽1人，，抽2人，，抽2人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在，的人数为，则的可能取值为0，1，2，，，，分布列为：012．►考点05数字特征的应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【例21】（2025•永登县模拟）某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，分别求出相应的概率，从而求出，；乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，且，从而求出，．由，知，由甲班级代表学校参加大赛更好．【解答】解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，，，则，．乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，，，．由，知，由甲班级代表学校参加大赛更好．【例22】（2025•单县二模）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；（3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【答案】（1）；（2）分布列见解答，，；（3）甲公司竞标成功的可能性更大．【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对2道题目的概率．（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3．求出概率，得到的分布列求解期望；（3）设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为0，1，2，3．求出概率得到分布列，求出期望即可，比较即可得结论．【解答】解：（1）分两种情况求概率：①甲答对2道题，乙答对0道题；②甲答对1道题，乙答对1道题．其中甲答对道题的概率为，乙答对道题的概率为，甲、乙两家公司共答对2道题目的概率为：．（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3，，，．则的分布列为：123，．（3）设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为0，1，2，3，，，，，则的分布列为：0123．（或，，．由，可得，甲公司竞标成功的可能性更大．【例23】（2024春•仁寿县期末）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答．（1）求甲、乙共答对2道题目的概率；（2）设甲答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；（3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得到答案；（2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，；（3）设学生乙答对题数为，则所有可能取值为0，1，2，3，由题意知，从而