现代控制理论 全套课件 第1-9章 绪论、控制系统状态空间描述 -线性系统的状态空间分析与综合

第一章绪论现代控制理论以状态空间法为基础，研究多输入--多输出时变、非线性、高精度、高效能控制系统的分析与设计问题（线性系统、自适应控制、最优控制、鲁棒控制、最佳估计、容错控制、系统辨识、集散控制、大系统复杂系统）智能控制：专家系统、模糊控制、神经网络、遗传算法第一章目录CONTENTS12341.1.控制理论的性质1.2.自动控制理论的发展1.3.控制理论的应用1.4.控制理论未来发展的方向51.5.控制动态系统的基本步骤1.1控制理论的性质(1)反馈控制——闭环控制反馈是指将系统的输出信息（即反馈信号）回馈到系统的输入中。它分为正反馈和负反馈。正反馈会导致系统变得不稳定。负反馈则调节并修正系统，使其稳定并达到期望的输出。反馈控制也被称为闭环控制。前/正向通道反/负向通道

1.自动控制领域存在两个不同但又相互联系的主题1.1控制理论的性质

（2）最优控制

最优化控制旨在通过最小化或最大化某个性能指标来优化控制系统的性能。在工业生产过程中，最优化控制可以帮助优化生产效率和改善产品质量，如下图锅炉燃烧优化控制系统。

2.控制理论包含的性质：可控性；观测性；稳定性；性能指标；控制器设计；优化控制等。1.2自动控制理论的发展1.2.11.2.3经典控制理论阶段大系统理论和智能控制理论阶段1.2.2现代控制理论阶段1.2.1经典控制理论阶段该阶段的特点是使用微积分和传统数学来建立控制系统的数学模型，并通过分析这些模型的性质来设计控制器。PID控制器如下图，它包含比例、积分和导数部分，广泛应用于控制系统中。然而，经典控制是基于模型参数不变的假设，且无法有效处理多个输入和输出的系统。在时变和多变量等复杂系统中，经典控制理论难以提供有效的解决方案。1.2.1经典控制理论阶段1.2.2现代控制理论阶段1.2.2现代控制理论阶段现代控制理论研究的对象扩展为多输入多输出的、非线性的、时变的、离散的系统。其目标是在揭示其内在规律的基础上，实现系统在某种意义上的最优化，同时使控制系统的结构不再限于单纯的闭环形式。下图为GNSS授时接收机LQG时钟控制器。现代控制理论需要进一步创新，如使用机器学习和深度学习，以适应实际应用中的变化和不确定性。同时，我们也需要将其与实践相结合，以实现更好的控制效果。1.2.3大系统理论和智能控制理论阶段1.2.3大系统理论和智能控制理论阶段

一个大系统通常由许多相互作用的子系统组成，每个子系统都有特定的特征和动态行为，子系统之间也存在着相互作用和影响。在大系统理论中，研究如何对这些相互作用和影响进行分析和建模，并从中提取有用的信息以便更好地理解和控制系统行为。

智能控制是一种基于人工智能的控制方法，以提高控制系统性能和适应性。与传统控制不同，智能控制能自适应调整控制策略，适应被控系统的变化和不确定性。如模糊控制、神经网络等。人工智能的发展为控制理论带来了智能化、自适应、学习等新的概念和思想，促进了控制理论和实践的不断创新。1.3控制理论的应用制造业提高生产效率、降低成本、改善产品质量和可靠性交通领域优化交通流，提高交通效率，缓解交通拥堵和提高安全性1.3控制理论的应用飞行控制控制系统全时间工作以镇定飞机，并支持驾驶系统发出的各种指令精度控制通过反馈控制算法,实时调整镜面形状，以补偿大气扰动或其他因素引起的光学误差。夏威夷Keck望远镜1.3控制理论的应用ASIMO机器人SpotMini机器人Xspace火箭回收DJI无人机MI平衡车UBER自动驾驶汽车1.3控制理论的应用(1)建筑

建筑工程界现在流行对结构进行主动控制，世界上几座最高建筑物的设计中采用了主动阻尼系统。在建筑工程中，地震是一种非常严重的自然灾害，特别是对于高层建筑而言。当地震发生时，高层建筑会发生剧烈的振动，这可能会导致建筑物的结构破坏。主动阻尼系统是一种能够减少建筑物震动的控制系统。除了主动阻尼系统，建筑工程领域还应用了其他的主动控制技术，如基于光纤传感器的结构健康监测技术、基于先进材料的自适应结构控制技术等。这些技术的应用使得建筑物具备了更好的抗震性能和更高的安全性。

控制理论的主要应用领域1.3控制理论的应用

现代控制理论研究的对象扩展为多输入多输出的、非线性的、时变的、离散工业应用自动控制的范围广泛。自动化控制系统被广泛应用于各种行业，如汽车制造、电子制造、航空航天、石油化工、制药、食品加工等。控制概念得到主要应用的一个领域是石油化工生产过程。较常见的系统有精馏塔自动控制系统等。精馏塔自动控制系统(2)工业1.3控制理论的应用

钢铁行业中，热轧厂是最早成功采用计算机控制的工厂。高产量、高质量的生产要求，使它们早在1961年就采用计算机自动化。

在除了热轧厂，钢铁行业中的其他工厂，如炼钢厂和炼铸厂也广泛采用计算机控制技术，实现自动化生产。这些技术不仅提高了生产效率和产品质量，还降低了人工成本和安全事故发生率。随着新型计算机技术的发展，钢铁行业的自动化控制技术将会更加智能化和高效化，实现更加精细化的生产控制。(3)钢铁行业1.4控制理论未来发展的方向随着科技的不断进步，人们对控制系统的需求逐渐提高。在未来，控制理论可能会朝三个方向发展(1)智能化(2)网络化、微型化(3)综合化1智能化控制理论3综合化控制理论2网络化、微型化控制理论1.4控制理论未来发展的方向

（1）向智能化控制理论发展

控制理论水平的发展是现代化生产不断推进的动力和基础力量。随着科技不断进步，人们对控制系统的需求越来越高，要求控制系统具有智能化、自适应性和优化性。因此，控制理论正向着智能化的方向发展。

目前许多生产领域都采用了智能化控制技术应用于生产系统中，例如智能交通、智能制造、智能建筑等领域。智能化控制技术的水平和应用程度关系到企业现代化生产自动化水平及程度的高低。

控制理论未来发展的三个方向1.4控制理论未来发展的方向

（2）向网络化、微型化控制理论发展

自动控制技术为工业生产所需的各种机械设备，提供了可靠性及性能都非常高的控制设备。在科学技术快速发展的今天，计算机、通信、传感器技术的飞速发展，网络化、微型化控制理论也逐渐成为发展方向。

网络化及微型化是将来自动控制技术发展的趋势。自动控制技术未来发展的方向离不开网络化，网络技术在现代化生产中具有重要的作用。微型化控制理论采用微型化的控制器和传感器实现对微小信号的采集和控制，具有高精度、低功耗、小体积等优点。

1.4控制理论未来发展的方向

（3）向综合化控制理论发展

随着各种自动化设备和系统的广泛应用，综合化控制理论也逐渐成为了控制领域的一个重要分支。综合化控制理论将传统的控制理论与信息技术、人工智能等多种技术相结合，旨在实现系统的综合化控制和管理。

在现代化自动控制技术领域中已经建立模糊控制、智能控制及专家系统等控制技术的发展方向，这些技术的优点和缺点互补，可以协同工作，从而达到更加精确和高效的控制效果。这些方向自动控制技术的主要特点就是综合性。

1.5控制动态系统的基本步骤建模系统辨识信号处理基本步骤建模是将物理规律通过数学方法表达出来系统辨识是通过分析输入输出数据，确定系统的参数和特性信号处理是为了去除噪声、提高信噪比、滤波和预测等综合控制是为了根据控制系统的需求，采用各种控制规律对输入信号进行综合123控制的综合41.5控制动态系统的基本步骤

（1）建模

为一个系统选择一个恰当的数学模型是控制工程中最关键的一步。对于复杂系统，选择一个合适的数学模型极具挑战性，尤其当系统本身具有模糊性时。实践经验表明，复杂系统往往可以在高度简化的模型基础上实现有效控制，即便模型不完全明确，仍可以通过反馈控制实现良好的系统性能。

控制工程中的模型问题与物理学中的模型问题截然不同。在控制理论中，关键在于找到一个具有数学精炼性和健壮性的模型，该模型可以基于有效数据，通过系统辨识方法构建。

控制动态系统的四个基本步骤1.5控制动态系统的基本步骤

系统辨识可以定义为用在一个动态系统上观察到的输入与输出数据来确定它的模型的过程。系统辨识主要是从输入输出数据出发，建立动态数学模型，包括模型的结构和参数，以便于后续的控制设计。

进行系统辨识常需作下列实验，发生输入信号和记录输出信号。如图所示为系统辨识的基本思想。(2)系统辨识1.5控制动态系统的基本步骤

信号处理是控制理论外面的独立的一门学科，但这两学科之间有许多重叠之处。在控制系统中，信号处理是将传感器或测量设备所得到的原始数据转化为可以用于控制的形式的过程。信号处理的主要目的是提高测量数据的质量和准确性，以便于更好地用于控制系统中。

滤波是信号处理中的基本操作，它通过去除或减弱原始信号中的噪声、干扰或不必要的成分，从而提取出有用的信号成分。平滑是一种特殊的滤波方法，其目的是去除信号中的高频噪声和不必要的细节，使得信号变得更加平滑。

（3）信号处理1.5控制动态系统的基本步骤

控制的综合是将建立好的数学模型和通过辨识获得的参数进行分析和处理，进而生成控制规律的过程。在这个过程中，信号处理起到了重要的作用，它可以对系统的输出进行滤波、预处理和状态估计等处理，使得输入的控制规律更加精确、有效。

此外，综合控制还需要考虑控制方法的选择，如PID控制、模糊控制、神经网络控制等，以及这些控制方法的参数设计。最终，综合控制要根据实际情况进行调试和优化，以确保控制系统的可靠性和稳定性。

（4）控制的综合1.5控制动态系统的基本步骤

（4）控制的综合这些过程的复杂性导致了各种控制研究课题，主要有：鲁棒控制理论：研究控制系统在存在不确定性和扰动的情况下仍能保持稳定性和性能的控制方法和理论。健壮控制理论：研究能使闭环系统保持良好的性能而不受模型与信号中不确定性影响的反馈作用。适应控制：研究如何在控制过程中自动调整控制规律。多变量控制：研究具有相关解的多输人多输出系统的控制问题。非线性控制理论：研究非线性动态系统的控制问题。随机控制：应用于系统或其摄动能以概率表达的地方。分布参数控制：应用于系统内部变量的空间分布对控制目标来说是极为重要的情况。其它控制：例如自学习与自组织系统、递阶控制系统、智能控制系统和离散事件控制系统等等。THANKS!控制系统状态空间描述主讲：第二章目录第二章2.1状态与状态变量2.6线性离散系统的状态空间模型2.5线性系统状态空间模型的线性变换2.4系统的传递函数矩阵2.3状态空间表达式的建立2.2状态空间表达式及模拟结构图2.1控制系统状态空间描述2.1状态与状态变量延时符状态是系统在时间域中的行为或运动信息的集合。一个系统的状态能够描述该系统在过去、现在以及未来的情况。对于控制系统而言，系统的状态是用一组状态变量来描述的。什么是状态?状态变量是指足以完全表征系统运动状态的一组独立(最小个数)变量。对于同一个系统，可以用不相同的一组状态变量来描述，但要保证各变量之间相互独立。什么是状态变量?2.2状态空间表达式及模拟结构图2.2状态空间表达式及模拟结构图延时符在现代控制理论中，系统的行为是由状态空间表达式来描述的。考虑一个基本的单输入线性时不变n阶系统，它应有n个独立的状态变量，假设这n个状态变量为，系统的输入为根据系统的动态特性，可以得到如下n个微分方程，即：这种描述了系统的状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间关系的数学表达式被称为状态方程。

这种描述了系统的状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间关系的数学表达式被称为状态方程。进一步，可以把这个系统的转台方程写成如下矩阵形式，即

2.2状态空间表达式及模拟结构图

对应的矩阵形式为

2.2状态空间表达式及模拟结构图在状态空间分析中，采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。状态空间表达式的结构图可按如下步骤绘制:1.积分器的数目应等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的状态变量2.根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器3.用箭头将这些元件连接起来。2.2状态空间表达式及模拟结构图2.3状态空间表达式的建立2.3.1根据系统机理建立状态空间表达式2.3.2根据微分方程建立状态空间表达式2.3.3根据系统传递函数建立状态空

间表达式

2.3状态空间表达式的建立延时符2.3.1根据系统机理建立状态空间表达式

控制系统按其属性的不同可分为许多类型，如工程控制系统、社会控制系统等。我们可以对不同的控制系统，根据相应的物理定律来建立系统的状态方程。当指定系统的输出后，可以很容易写出系统的输出方程。这种根据系统内部的运动规律，直接推导其输入-输出关系的建模方法称为机理分析法。

对于一个实际系统，可以按照系统运行所遵循的机理建立相应的数学方程(组)，然后选择相关的状态变量，化为系统的状态空间表达式。2.3状态空间表达式的建立延时符2.3.1根据系统机理建立状态空间表达式系统的状态空间表达式建立步骤如下：（1）确定系统的输入变量、输出变量和状态变量；（2）根据变量应遵循的有关物理、化学定律，列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程；（3）消去中间变量，得出状态变量的一阶导数与各状态变量，输入变量的关系式，以及输出变量与各状态变量.输入变量的关系式；（4）将方程整理成状态方程、输出方程的标准形式。

解根据回路电压定律电路输出量为（1）设状态变量为电感器电流和电容器电压，即，则状态方程为输出方程为图2-4

RLC的电路系统2.3.1根据系统机理建立状态空间表达式其矩阵矢量形式为简记为其中2.3.1根据系统机理建立状态空间表达式（2）设状态变量为电容器电流和电荷，即，则有

通过(1)和(2)两组状态变量的选择，说明了系统的状态空间表达式不唯一，选择不同的状态变量，会得到不同的状态空间表达式。设则有对应矩阵-矢量形式为其中

以上说明只要选择非奇异矩阵P，便可完成两组状态变量之间的变换。若选择不同的变换矩阵P，就能够变换出一组新的状态变量，说明系统状态变量选择的不唯一性。2.3.1根据系统机理建立状态空间表达式例2-2

已知如图2-5所示的质量弹簧阻尼系统，系统输入输出分别为和

，试建立相应的状态空间表达式。解由牛顿定律、胡克定律以及弹簧定律易得选择状态变量，则写成矩阵-矢量形式为其中图2-5质量弹簧阻尼

系统2.3.1根据系统机理建立状态空间表达式

在经典控制理论中，系统输入输出关系常采用微分方程或传递函数来描述，如何从系统的输人输出关系建立起系统状态空间表达式，是现代控制理论中的基本问题之一。

将高阶微分方程转换为状态空间表达式应保持原系统输入输出关系不变，从分析可看到，这种变换方式并不是惟一的。2.3.2根据微分方程建立状态空间表达式情况1系统输入项中不含导数项在这种情况下，一个单输入单输出n阶线性时不变系统可用如下微分方程描述，系统的输出y和输入u均为标量变量，则表征系统输出和输入间的因果关系，即按式绘制的结构图称为状态变量图，如图所示，每个积分器的输出都是对应的状态变量，状态方程由各积分器的输入-输出关系确定。可以进一步得到方程组的矩阵-矢量形式，即由于考虑的是单输入单输出系统，所以这里b为n×1阵，c为1×n阵。

2.3.2根据微分方程建立状态空间表达式例2-3

已知系统的微分方程为，试选择状态变量，并写出

状态空间表达式。状态空间表达式为解选择状态变量

，则有2.3.2根据微分方程建立状态空间表达式情况2系统输入项中含有导数项这种情况下的单输入单输出纪阶线性时不变系统可用如下微分方程描述，即选择如下一组状态变量，即式中：是n个待定常数。对求导并考虑方程，可以得到将均用及的各阶导数替换，可以得到2.3.2根据微分方程建立状态空间表达式若令可以得到系统的状态空间表达式为其中2.3.2根据微分方程建立状态空间表达式例2-4

已知系统的微分方程为，试选择状态变量，并写出状

态空间表达式。则状态空间表达式为解选择状态变量

，其中2.3.2根据微分方程建立状态空间表达式2.3.3根据系统传递函数建立状态空间表达式情况1直接分解适用于传递函数分子多项式阶次小于或等于分母多项式阶次单输入单输出线性时不变系统的传递函数模型可以表示为应用综合除法有式中描述了输入输出之间的直接转移关系，即为系统状态空间模型中的输入输出矩阵。当的分母次数大于分子次数时，则

，若是严格有理真分式，其分子各次项的系数分别为2.3.3根据系统传递函数建立状态空间表达式因此，系统状态空间模型中的剩余三个系数矩阵均由严格有理真分式确定。情况2

的串联分解形式适用于传递函数已被分解为因式相乘的形式将分解为如下张图所示的串联结构，为中间变量，应满足2.3.3根据系统传递函数建立状态空间表达式选取状态变量则状态方程为2.3.3根据系统传递函数建立状态空间表达式可以得到系统状态空间表达式的矩阵-矢量形式为式中若系统的状态空间表达式中，A、b

矩阵如以上这种形式，则称A矩阵为友矩阵，并把此状态空间表达式叫做能控标准型。2.3.3根据系统传递函数建立状态空间表达式若选取状态变量为则系统的状态空间模型为此时，状态方程中的A

矩阵为友矩阵的转置矩阵，把A、c矩阵具有以上这种形式的状态空间表达式称为能观标准型。2.3.3根据系统传递函数建立状态空间表达式这里可以看到系统的能控标准型和能观标准型具有如下的对偶关系，即式中下标表示能控标准型；表示能观测标准型；为转置符号。例2-5

设二阶系统微分方程为，试列写能控标准型、能观测标准型动态方程，并分别确定状态变量与输入、输出量的关系。解由微分方程可以得到系统的传递函数为因此，系统的能控标准型动态方程的各矩阵为2.3.3根据系统传递函数建立状态空间表达式引入中间变量

z

将系统串联分解得到对

y求导并考虑上述关系式，则有令，可导出状态变量与输入、输出量的关系为能观测标准型动态方程中各矩阵为2.3.3根据系统传递函数建立状态空间表达式状态变量与输入、输出量的关系为情况3

中只含单实数极点设

为系统的单极点，则因此，系统的传递函数可以表示为其中，为

在极点处的留数2.3.3根据系统传递函数建立状态空间表达式若取状态变量为可以得到系统的状态空间表达式为若取状态变量为可以得到系统的状态空间表达式为2.3.3根据系统传递函数建立状态空间表达式采用留数法求上式中的各待定系数，即例2-6

设系统传递函数为，试写出状态空间表达式。解系统的传递函数可以表示为2.3.3根据系统传递函数建立状态空间表达式可得系统的状态空间表达式为2.4系统的传递函数矩阵2.4系统的传递函数矩阵对于多输入多输出系统，需要进一步讨论传递函数矩阵。初始条件为零时，输出矢量的拉普拉斯变换式与输入矢量的拉普拉斯变换式之间的传递关系称为传递函数矩阵，简称传递矩阵。设初始条件为零，已知线性定常系统的状态空间表达式为对线性定常系统的动态方程进行拉普拉斯变换，可以得到进一步，有2.4系统的传递函数矩阵则系统的传递函数矩阵(简称传递矩阵)定义为可以看出，当系统的传递函数无零极点对消时，有（1）系统矩阵A的特征多项式等于传递函数的分母多项式。（2）传递函数的极点就是A的特征值。应当指出，由于系统状态变量的选择不唯一，故建立的系统状态表达式也不是唯一的。但是同一系统的传递函数矩阵却是唯一的，即所谓传递函数矩阵的不变性。例2-7

已知系统动态方程为试求系统的传递函数矩阵。2.4系统的传递函数矩阵解已知故2.5线性系统状态空间模型的线性变换2.5.12.5.3非奇异线性变换的定义与性质约当标准型变换2.5.2对角线标准型变换2.5线性系统状态空间模型的线性变换同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程，对系统的状态空间模型进行线性(非奇异)变换，如将矩阵A对角化、约当化，将系统状态空间模型化为能控标准型、能观标准型或对动态方程进行规范分解，便于解释系统特性以及分析和综合设计，且不会改变系统的性质。2.5.1

非奇异线性变换的定义与性质设系统动态方程为取非奇异矩阵P，做如下状态变化设变换后的动态方程为2.5.1非奇异线性变换的定义与性质待计算出所需结果之后，再引入反变换，即可将新系统变回原来的状态空间中去，获得最终结果。由于非奇异线性变换是等价变换，因此不会改变系统的固有性质，可以得到如下性质。其中性质1线性变换前后系统传递函数矩阵不变。证明设系统变换后系统传递矩阵为，则2.5.1非奇异线性变换的定义与性质性质2线性变换前后系统特征值不变。证明以上计算表明变换前后的特征多项式相同，故特征值不变。由此可以推出，非奇异变换后，系统的稳定性不变。性质3若

为的状态转移矩阵，则经非奇异线性变换后的状态转移矩阵为证明2.5.1非奇异线性变换的定义与性质例2-8设系统的状态空间表达式为解

取变换矩阵新的状态变量为2.5.1非奇异线性变换的定义与性质在如此选定的状态变量的情况下，新的状态空间表达式为如另外选取变换矩阵2.5.1非奇异线性变换的定义与性质则有以新的状态向量所描述的状态空间表达式为这样便得到一个对角形的系统矩阵，使状态变量之间的耦合解除，为研究系统的状态解耦问题提供了一个途径。2.5.2对角线标准型变换

（1）设A矩阵为任意方阵，且有n个互不相同实数特征根，则可由非奇异变换可将其化为对角阵，即式中，由特征矢量组成，即且各特征矢量满足

（2）设

矩阵为友矩阵，且有n个不相同实数特征根，则可用范德蒙特(Vandermode)矩阵将矩阵对角化，即2.5.2对角线标准型变换（3）设

矩阵为任意方阵，且有m个相同的实数特征根，其余n-m个特征根为互异实数特征根，但在求解时，有m个独立的特征矢量，则仍然可以将A矩阵化为对角阵，即且变换矩阵为2.5.2对角线标准型变换化为对角标准型。解求A矩阵的特征值式中：是互异实数特征根对应的特征矢量。例2-9试将状态方程可得求对应不同特征值的特征矢量：2.5.2对角线标准型变换对于，有解得对于，有解得2.5.2对角线标准型变换构造变非奇异变换阵，即则可得原系统的对角标准型为2.5.2对角线标准型变换例2-10

给定线性定常系统状态方程为试将其变换为对角标准形。解首先求系统的特征值2.5.2对角线标准型变换由此得特征值为取基本解其次求特征向量，对应于的特征向量满足，即式中分别是向量的各个元素。将上式展开得2.5.2对角线标准型变换同理，可求得对应于的特征向量和对应于的特征向量从而，可定出于是，可得变换矩阵和其逆为2.5.2对角线标准型变换状态方程的对角线标准形为2.5.3约当标准型变换矩阵A能否通过线性变换化成对角矩阵(即对角化)的关键在于能否找到n个线性无关的特征向量。若矩阵A

有n个互不相同的特征值,则必存在n个线性无关的特征向量(在有关数学书中已有证明)，一定能通过线性变换将A矩阵对角化。当系统矩阵A有重特征值时，一般来说﹐经线性变换,可将A化为约当标准型矩阵，约当标准型矩阵是主对角线上为约当块的准对角线型矩阵。设A矩阵有m

个相同的实数特征根，其余n-m个特征根为互异实数特征根，若重根只有一个独立的特征矢量，则只能将A

矩阵化为约当阵，即2.5.3约当标准型变换且变换矩阵为式中：分别是互异实数特征根对应的特征矢量，而是广义特征矢量，满足例2-11矩阵A

为2.5.3约当标准型变换解其特征值为，有两个重特征值，对应于的特征向量可由下列方程求得易见，的秩是1，它是三维的，因而其基础解系数为3-1=2，向量有两个线性无关解，故求得对应于特征值的特征向量可由下列方程求得2.5.3约当标准型变换由于对应于重特征值的线性无关的特征向量数等于重特征值数，所以仍然有3个独立的特征向量可构成变换矩阵变换后的系统矩阵为2.5.3约当标准型变换这种情况，A

虽有重特征值，但仍能变换为对角标准形。只不过这只是少数特殊情况，通常并非如此。例2-12

试将下列状态方程化为约当标准形解求矩阵A的特征值。因此

A有二重特征值和一个单特征值。2.5.3约当标准型变换此线性方程组的系数矩阵秩为2，基础解系数为3-2=1，解得对应重特征值的特征向量少于重特征值数，因此必须寻找广义特征向量。求对应于的特征向量，由下列方程求得对应于的广义特征向量可通过下式求得2.5.3约当标准型变换即解得确定对应于的特征向量。由2.5.3约当标准型变换可得于是变换矩阵P为为2.5.3约当标准型变换求经变换后的系统矩阵和控制矩阵。例2-13

试将状态方程化为约当标准型。解求A矩阵的特征值，即2.5.3约当标准型变换求各特征值对应的特征矢量：对于，有即对于，有2.5.3约当标准型变换即即构非奇异变换阵P，即2.5.3约当标准型变换则可得约当标准型为2.6线性离散系统的状态空间模型2.6.12.6.2由连续系统离散化建立动态方程由差分方程或传递函数建立动态方程

离散时间系统与连续时间系统的区别是，在连续系统中，系统各处的信号都是时间连续函数，而在离散系统中，系统至少有一处或多处的信号是离散的，它可以是脉冲序列或数字序列。

和连续系统一样，离散系统也可以用状态空间法描述。在经典控制理论中，离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数来描述。线性离散系统的动态方程可以利用系统的差分方程建立，可以将线性连续系统动态方程离散化得到。2.6线性离散系统的状态空间模型2.6.1由差分方程或传递函数建立动态方程设单输入单输出线性定常离散系统的差分方程的一般形式为式中k表示第k个采样时刻。对上式两端取变换，并整理可得脉冲传递函数为延时符考虑零初始条件，利用Z反变换关系

和

，可以得到动态方程的矩阵矢量形式为并简记为2.6.1由差分方程或传递函数建立动态方程2.6.2由连续系统离散化建立动态方程由连续系统离散化建立动态方程已知线性定常连续系统状态方程

在

及

作用下的解为令

，则

；令

，则

；并假定在

区间内，

常数，且采样时间间隔相等，则其解化为

记2.6.2由连续系统离散化建立动态方程采用变量代换可以得到,令故离散化状态方程为式中：

与连续状态转移矩阵

的关系为离散化输出方程仍为2.6.2由连续系统离散化建立动态方程延时符例2-14设线性定常连续时间系统的状态方程为试将该连续系统的状态方程离散化(采样周期T=0.1s)。解计算系统的状态转移矩阵，即2.6.2由连续系统离散化建立动态方程延时符将T=0.1s代入得故系统离散化状态方程为THANKS!第三章线性连续时不变系统状态方程的解

主讲：第三章目录CONTENTS12343.1线性连续时不变系统状态方程的解3.2状态转移矩阵3.3线性定常系统非

齐次状态方程的解3.4线性定常离散动态方程的解3.1线性连续时不变系统状态方程的解3.1.13.1.3幂级数法凯莱-哈密顿定理法3.1.2拉普拉斯变换法3.1引言状态方程是描述系统状态运动过程的一阶微分方程组。状态方程的解，本质上是反映系统在初始状态值x(0)外输入u的共同作用下，系统状态响应的过程及基本特性。自由运动：其中由初始状态值引起的状态响应，常称为系统的自由运动。系统的自由运动，相对应的是其次状态方程的解。强迫运动：由外输入u引起的状态响应，常称为系统的强迫运动。齐次状态方程是指系统输入量为零时的状态方程：

若初始时刻t0时的状态给定为

则原式有唯一确定解若初始时刻从t0=0开始，即，则其解为它反映了系统自由运动的状况，即没有输入作用的状况。对于齐次状态方程求解有三种常见解法：幂级数法、拉普拉斯变化法和凯莱-哈密顿定理法。3.1.1幂级数法首先假设

，并且设

的解为t的矢量幂级数形式，即

代入得

上式的同次幂系数相等，可以得到：

3.1.1幂级数法3.1.1幂级数法在式

中，令t=0可得

从而得到

因为指数函数所以方程等式

右边括号内的展开式是一个矩阵，是一个矩阵指数函数，记为的解为3.1.1幂级数法进一步推广，若定义矩阵指数函数

的解为为系统的状态转移矩阵，记为

，状态转移矩阵表明x(t)是由x(0)转移过来的若初始状态，有齐次状态方程的解为，对应的初始状态则齐次状态方程3.1.1幂级数法例1

已知齐次状态方程

及系统的初始状态值x(0)，求状态响应。

解：先求可得3.1.2拉普拉斯变换法3.1.2拉普拉斯变换法设初始时刻从t=0开始，状态初始值x(t)为x(0)，对方程若两端取拉普拉斯变换整理可得进一步取拉普拉斯反变换就可以得到系统的解

逆矩阵存在，则有其状态转移矩阵为

3.1.2拉普拉斯变换法例2

已知系统状态方程和初始条件为

解：其中试用拉普拉斯变换求解状态转移矩阵。

则有而3.1.2拉普拉斯变换法所以状态转移矩阵为3.1.3凯莱-哈密顿定理法3.1.3凯莱-哈密顿定理法

是时间t的函数，这些系数由系统特征方程

其中，系数

3.1.3凯莱-哈密顿定理法

（3）当矩阵A的特征值有相异根又有重根时，待定系数分别用上面两种情况求出相应的系数值。设n阶矩阵A的特征多项式为则有矩阵A满足它的的特征方程，即3.1.3凯莱-哈密顿定理法从该定理可以得到以下两个推论：

3.1.3凯莱-哈密顿定理法

3.1.3凯莱-哈密顿定理法

例3

已知齐次状态方程

及系统的初始状态值x(0)，求状态响应。

采用凯莱-哈密顿定理法求解。

3.1.3凯莱-哈密顿定理法解：矩阵的特征值为

对于λ3=2，有对于λ1,2=1，有因为是二重特征值，故需补充方程从而联立方程求解，得可得3.2状态转移矩阵3.2.13.2.3状态转移矩阵的定义状态转移矩阵的计算3.2.2状态转移矩阵的性质3.2.1状态转移矩阵的定义3.2.1状态转移矩阵的定义线性定常系统的齐次状态方程：满足初始状态

的解是：满足初始状态

的解是：已知：线性定常系统的状态转移矩阵令：

则有：

3.2.1状态转移矩阵的定义说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：1）状态转移矩阵初始条件：2）状态转移矩阵满足状态方程本身：说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。说明3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵3.2.2状态转移矩阵的性质3.2.2状态转移矩阵的性质将代入即可证。

性质1：不发生时间推移下的不变性：证明：性质2：交换性：证明：3.2.2状态转移矩阵的性质

性质3：分解性：证明：性质4：可逆性：证明：3.2.2状态转移矩阵的性质

性质5：证明：性质6：传递性：证明：3.2.2状态转移矩阵的性质

性质7：倍时性：证明：性质8：矩阵A、B满足乘法交换律时，即AB=BA是，有证明：同时则有因此，当且仅当AB=BA时，有该性质说明，除非A与B矩阵是可交换的，它们各自的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的3.2.3状态转移矩阵的计算

直接求解法：根据定义变换A为Jordan标准型A特征值有重根拉氏反变换法待定系数法：凯利－哈密顿定理3.2.3状态转移矩阵的计算3.2.3状态转移矩阵的计算1、根据状态转移矩阵的定义求解：例4

已知

解：根据定义此法具有步骤简便和编程容易的优点，适合于用计算机计算。但是采用此法计算难于获得解析形式的结果。3.2.3状态转移矩阵的计算2、变换A为Jordan标准型

其中：T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。

3.2.3状态转移矩阵的计算可求得相应的变换矩阵代入可得：例5

已知

解：可得3.2.3状态转移矩阵的计算3、A特征值有重根

其中：T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。

3.2.3状态转移矩阵的计算例6

已知

解：可得求出变换矩阵3.2.3状态转移矩阵的计算4、利用拉普拉斯变换法求关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进行拉氏反变换。例6

已知

解：3.2.3状态转移矩阵的计算可得3.2.3状态转移矩阵的计算5、应用凯莱-哈密顿定理求设n×n维矩阵A的特征方程为：则矩阵A满足其自身的特征方程，即：故：它是

的线性组合3.2.3状态转移矩阵的计算同理可得以此可推都可以用表示。且用上述方法可以消去A的n及n以上的幂次项，可得：3.2.3状态转移矩阵的计算例7

已知

解：A的特征方程根据凯莱-哈密顿定理，有3.2.3状态转移矩阵的计算代入中可得：3.2.3状态转移矩阵的计算例8

线性定常系统的齐次状态方程为试用凯莱-哈密顿定理计算其状态转移矩阵解：求矩阵A的特征方程特征根，两两相异，可得3.2.3状态转移矩阵的计算即于是状态转移矩阵为3.3线性定常系统非齐

次状态方程的解3.3.1积分法3.3.2拉普拉斯变换法非齐次状态方程描述了线性定常系统在控制作用下的运动，是同时考虑初始状态和外输入共同作用下状态运动的表达式，即延时符求解非齐次状态方程的解主要有积分法和拉普拉斯变换法两种解法。（3-16）3.3引言3.3.1积分法由式（3-16）改写得到上式等号两边都乘由于3.3.1积分法对等式两边积分可得则

式中：第一项为状态转移项，是系统对初始状态的响应，即零输入响应；第二项是系统对输入作用的响应，即零状态响应。3.3.1积分法通过变量代换，该式还可以表示为（3-17）若取t0作为初始时刻，则有3.3.1积分法3.3.2拉普拉斯变换法将非齐次状态方程式两端取拉普拉斯变换移项并合并得此时若有逆矩阵存在，则有3.3.2拉普拉斯变换法上式取拉普拉斯反变换可得若解用状态转移矩阵表示，可表示为

由以上推导可知，非齐次状态方程的解由两部分组成，一部分是齐次状态方程的解，由初始状态引起的，常称它为系统状态的自由运动或称为零输入响应，它只与初始状态和系统本身的结构有关；另一部分则与输入作用和结构特性有关，常称它为系统的强迫运动。3.3.2拉普拉斯变换法例3-15设系统状态方程为设初始状态为，求当时系统的解。3.3.2拉普拉斯变换法解

由于,，由前文推导可得采用拉普拉斯变换方法求系统的状态转移矩阵，即3.3.2拉普拉斯变换法故若初始条件为零，即若初始条件为零，即的响应仅取决于控制作用的激3.3.2拉普拉斯变换法激励部分，而为

在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解答式不再是，可简化为：1.脉冲响应即当时式中K是与同维的常数矢量。2.阶跃响应即当3.3.2拉普拉斯变换法3.斜坡响应即当例3-16求下述系统在单位阶跃函数作用下的解3.3.2拉普拉斯变换法之后将解

首先求，可得，，代入下式中3.3.2拉普拉斯变换法可得3.3.2拉普拉斯变换法3.4线性定常离散动态

方程的解3.4.1递推法3.4.2Z变换法3.4.1递推法

离散时间状态方程有两种解法：递推法和Z变换法。递推法也称迭代法，它对定常系统和时变系统都是适用的；Z变换法则只能应用于求解常系统。线性定常离散时间控制系统的状态方程为(3-18)这个一阶差分方程的解为3.4.1递推法或即(3-19)证明

用迭代法解差分方程式(3-18)：3.4.1递推法最后得到式(3-19)。式(3-19)还可用矢量矩阵形式表示为：3.4.1递推法

解式(3-19)是按初始时刻k=0得到的，若初始时刻k=h开始，且相应的初始状态为x(h)，则其解为或(3-20)

显然，离散状态方程的求解公式和连续状态方程的求解公式在形式上是类似的。它也由两部分响应组成，即由初始状态所引起的响应和输入信号所引起的响应。不同的是离散状态方程的解，是状态空间的一条离散轨迹。同时，在由输入引起的响应中，第k个时刻的状态，只与此采样时刻以前的输入采样值有关，而与该时刻的输入采样值无关。3.4.1递推法由式(3-19)和式(3-20)，可以看到，式中Gk或Gk-h相当于连续系统中的或。类似地，这里也定义：或(3-21)为离散时间系统的状态转移矩阵，很明显，它满足:(3-22)具有以下性质：(3-23)(3-24)3.4.1递推法，离散时间状态方程式的解式(3-19)可以表示为利用状态转移矩阵或而式(3-20)可写成：或(3-25)3.4.1递推法例3-17离散时间系统的状态方程：试求当初始状态试求当初始状态

和控制作用为u(t)=1时，此系统的

和x(k)。3.4.1递推法解

根据定义：按上式直接计算

有一定困难，为此，将原状态方程交换成约旦标准型，即将G变换为对角型。令，代入原式得：相应地有：(3-26)3.4.1递推法因此又求得：3.4.1递推法从而容易求得：现按式(3-26)先求，等式右边第一项为：3.4.1递推法该式右边第二项为：3.4.1递推法所以因此3.4.1递推法3.4.2Z变换法对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用Z变换法来求解。设定常离散系统的状态方程是：对上式两端进行Z变换，有：或所以：3.4.2Z变换法对上式两端取Z的反变换，得：(3-27)对式(3-19)和式(3-27)比较，有：(3-28)(3-29)

如果要获得采样瞬时之间的状态和输出，只需在此采样周期内，即在KT≤t≤(k+1)T内，利用连续状态方程解的表达式：3.4.2Z变换法

为了突出地表示t的有效期在KT≤t≤(k+1)T，可以令t=(k+∆)T(这里0≤∆≤1)于是上式变成：(3-30)

显然，这个公式的形式和离散状态方程是完全一致的，如果使∆的值在0和1之间变动，那么便可获得采样瞬时之间全部的状态和输出信息。将式(3-19)和式(3-27)比较，有：(3-31)(3-32)二者形式上虽有不同，但实际上是完全一样的。3.4.2Z变换法

(3-33)

(3-34)式(3-33)减式(3-44)有：对求解，有：(3-35)式(3-30)两边取Z反变换，可得式(3-31)。3.4.2Z变换法再利用卷积公式证明式(3-32)：上式两边取Z反变换，即得式(3-32)：3.4.2Z变换法例3-18离散时间系统的状态方程：试求当初始状态试求当初始状态

和控制作用为u(t)=1时，试用Z反和x(k)。3.4.2Z变换法变换法求此系统的解

因故按式(3-31)：3.4.2Z变换法再计算：所以3.4.2Z变换法因此3.4.2Z变换法THANKS!第四章线性系统的可控性和可观测性主讲：4.1线性定常系统的

可控性及其判别4.1.14.1.3线性定常系统可控性定义用传递函数矩阵表达的状态可控性条件4.1.2线性定常系统状态可控性的代数判据4.1.4输出可控性概述可控性(controllability)和可观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，是由R．E．Kalman于20世纪60年代初首先提出并研究的两个重要概念。粗略地说，所谓系统的可控性问题是指：一个系统通过外部输入来控制系统行为的能力，控制作用能否对系统的所有状态产生影响，从而能对系统的状态实现控制。如果存在一个输入信号可以在有限时间内将系统从任何初始状态驱动到任何期望的最终状态，则称该系统具有可控性；而所谓系统的可观测性问题是指：一个系统能否在有限的时间内基于其输入和输出推断或估计系统的所有状态的能力，如果可以根据其在有限时间间隔内的输入和输出确定其内部状态，则称该系统具有可观测性。线性定常系统可控性定义

线性定常系统可控性定义

解图中为小车推力，为小车位移，为小车质量，首先选取系统的两个状态变量，令，可以建立系统状态空间方程：根据牛顿第二定律，可以写出如下方程，即：

线性定常系统可控性定义

进一步，可以得到小车速度和位置的运动方程为线性定常系统状态可控性的代数判据再由拉普拉斯反变换结合上述条件得下面推导状态可控的条件。为了不失一般性，同时方便后续推导过程，设终止状态为状态空间原点，并设初始时刻为零，即。这里需要注意零时刻与零状态的区别。经拉普拉斯变换得：线性定常系统状态可控性的代数判据

或将写为A的有限项的形式，即将式代入式，可得记线性定常系统状态可控性的代数判据则式如果系统是状态可控的，那么给定任一初始状态x(0)，都应满足式

。这就要求n×n维矩阵

的秩为n由此分析，对于连续定常系统，可将状态可控性的代数判据归纳为：当且仅当n×n维矩阵Q满秩，即:线性定常系统状态可控性的代数判据时，由式①确定的系统才是状态可控的。

上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时，如果系统的状态方程为式中，x(t)∈Rn，u(t)∈Rr，A∈Rn×n，B∈Rn×r，那么可以证明，状态可控性的条

件为n×nr维矩阵的秩为n，或者说其中的n个列向量是线性无关的。通常，称矩阵为可控性矩阵。线性定常系统状态可控性的代数判据例4-2考虑由下式确定的系统解

由于即Q为奇异阵，不是满秩矩阵，所以该系统是状态不可控的。例4-3考虑由下式确定的系统线性定常系统状态可控性的代数判据解

对于该情况即Q为非奇异，是满秩矩阵，因此系统是状态可控的。例4-4系统状态方程如下，试判断其能控性。解

于是有：线性定常系统状态可控性的代数判据

用传递函数矩阵表达的状态可控性条件状态可控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。状态可控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，说明它们共享相同的特征，意味着这些模态的响应不能确保被单独地控制，也就是说，在一个独立的输入信号的作用下，会有不止一个模态发生状态转移，从而准确预测系统的变化，因而系统不可控。从另一个角度来说，若传递函数分子和分母约去一个相同公因子之后，就相当于状态变量减少了一维，系统出现了一个低维能控子空间和一个不能控子空间，故属不能控系统。例4-5考虑下列传递函数用传递函数矩阵表达的状态可控性条件解

：在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子(s+2.5)(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不可控。当然，将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。首先将传递函数进行化简从而在能控标准型矩阵中用传递函数矩阵表达的状态可控性条件故状态方程为即可控性矩阵[BAB]的秩为1，所以可得到状态不可控的同样结论。输出可控性在实际的控制系统设计中，需要控制的是输出，而不是系统的状态。对于控制系统的输出，状态可控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定义输出可控性。考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统式中，x∈Rn，u∈Rr，y∈Rm，A∈Rn×n，B∈Rn×r，C∈Rm×n，D∈Rm×r。如果能找到一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时间间隔内，使任一给定的初始输出y(t0)转移到任一最终输出y(t1)，那么称由式①和式②所描述的系统为输出可控的。用传递函数矩阵表达的状态可控性条件由系统状态可控的充分必要条件是是满秩矩阵可以推导，系统输出可控的充要条件为：当且仅当m×(n+1)r维输出可控性矩阵的秩为m时，由式①和式②所描述的系统为输出可控的。注意，在式②中存在Du项，对确定输出可控性是有帮助的。4.2线性定常系统的可

观测性及其判别4.2.14.2.3线性定常系统的可观性定义用传递函数矩阵表达的可观测性条件4.2.2线性定常系统状态可观测性的代数判据线性定常系统的可观性定义现在讨论线性系统的可观测性。考虑零输入时的状态空间表达式：式中：状态变量x∈Rn，输出量y∈Rm，系数矩阵A和C，其中A∈Rn×n，C∈Rm×n。不难发现，在有限时间间隔内，输出量y(t)跟随系统状态变量x(t)的变化而变化，那么反过来，通过对输出量y(t)的测量可完全获取状态变量x(t)的信息，即系统状态变量完全能由观测值确定，则称系统为(完全)可观测的。线性定常系统的可观性定义在实际问题中，状态反馈往往是多个状态变量的组合，但并非所有的系统状态变量都可以在物理上测量得到，因而在构造控制器时，必须首先估计出不可测量的状态变量。可观测性的概念非常重要，因为当且仅当系统是可观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。下面讨论可观测性条件时，将只考虑零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表达式：经拉普拉斯变换，得线性定常系统的可观性定义得：于是有再由拉式反变换，得：由于矩阵A，B，C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t)中消去。因此，为研究可观测性的充要条件，只考虑零输入系统就可以了。线性定常系统状态可观测性的代数判据考虑由上述所描述的线性定常系统。将其重写为易知，其输出向量为将eAt写为A的有限项的形式，即因而线性定常系统状态可观测性的代数判据显然，如果系统是可观测的，那么在时间间隔内，给定输出y(t)，就可唯一地确定出x(0)。可以证明，这就要求nm×n维可观测性矩阵

的秩为n。由上述分析，系统可观测的充要条件表述为：由上述所描述的线性定常系统，当且仅当n×nm维可观测性矩阵：线性定常系统状态可观测性的代数判据的秩为n，即rankRT=n以时，该系统才是可观测的。例4-6试判断由式所描述的系统是否为可控和可观测的？线性定常系统状态可观测性的代数判据解由于可控性矩阵的秩为2，即rankQ=2=n，故该系统是状态可控的。对于输出可控性，可由系统输出可控性矩阵的秩确定。由于的秩为1，即rankQ´=1=n，故该系统是输出可控的。为了检验可观测性条件，先来验算可观测性矩阵的秩。由于的秩为2，rankRT=2=n，故此系统是可观测的。线性定常系统状态可观测性的代数判据例4-7试判断由式所描述的系统是否是可观测的？解

系统的观测矩阵

，系统矩阵线性定常系统状态可观测性的代数判据那么有于是系统可观测矩阵为Q是满秩矩阵，所以系统是能观的。例4-8试判断由式所描述的系统是否仍然是可观测的？线性定常系统状态可观测性的代数判据解系统的观测矩阵，系统矩阵所以可观测矩阵

线性定常系统状态可观测性的代数判据

用传递函数矩阵表达的可观测性条件类似地，可观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时可观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不可观测了。例4-9证明下列系统是不可观测的。式中用传递函数矩阵表达的可观测性条件

解：由于可观测性矩阵注意到即rankRT＜3=n，故该系统是不可观测的。事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于X1(s)和U(s)之间的传递函数为用传递函数矩阵表达的可观测性条件

又Y(s)和X1(s)之间的传递函数为故Y(s)与U(s)之间的传递函数为显然，分子、分母多项式中的因子(s+1)可以约去。这意味着，该系统是不可观测的，或者说一些不为零的初始状态x(0)不能由y(t)的量测值确定。当且仅当系统是状态可控和可观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。4.3线性定常系统的线性变换4.4.14.4.3状态空间表达式的线性变换非奇异线性变换的不变特性4.4.2对偶原理状态空间表达式的线性变换

设系统动态方程为令式中为非奇异线性变换矩阵，它将变换为，变换后的动态方程为式中并称为对系统进行变换。线性变换的目的在于使阵规范化，并不会改变系统的有性质，故称为等价变换。分析计算后，再引入反变换关系，得出最终结果。

状态空间表达式的线性变换

下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。（1）化阵为对角型1）设阵为任意形式的方阵，且有个互异实数特征

值，则可由非奇异线性变换化为对角阵。

P阵由阵的实数特征向量组成状态空间表达式的线性变换

特征向量满足2）若阵为友矩阵，且有个互异实数特征值，则下列的范德蒙特矩阵可使对角化：状态空间表达式的线性变换

3）设阵具有重实数特征值，其余为个互异实数特征值，但在求解时仍有个独立实特征向量，则仍可使阵化为对角阵。

式中是互异实数特征值对应的实特征向量。状态空间表达式的线性变换

（2）化阵为约当阵

1）设阵具有重实特征值，其余为个互异实特征值，但在求解时只有一个独立实特征向量，只能化为约当阵。状态空间表达式的线性变换

中虚线示出存在一个约当块。式中是广义实特征向量，满足

是互异特征值对应的实特征向量。状态空间表达式的线性变换

2）设为友矩阵，具有重实特征值，且只有一个独立实特征向量，则使约当化的为式中3）设阵具有五重实特征值，但有两个独立实特征向量，其余为个互异实特征值，阵约当化的可能形式是状态空间表达式的线性变换

状态空间表达式的线性变换

中虚线示出存在两上约当块，其中（3）化可控系统为可控标准型在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾得出单输入线性定常系统状态方程的可控标准型：状态空间表达式的线性变换

与该状态方程对应的可控性矩阵是一个右下三角阵，其主对角线元素均为1，故，系统一定可控，这就是形如上式中的称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵形如状态空间表达式的线性变换

一个可控系统，当不具有可控标准型，一定可以选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为进行变换，即令变换为要求状态空间表达式的线性变换

下面具体推导变换矩阵：设变换矩阵为

根据阵变换要求，应满足变换要求，有

展开为状态空间表达式的线性变换

经整理有

状态空间表达式的线性变换

由此可得变换矩阵又根据阵变换要求，应有即状态空间表达式的线性变换

故该式表明是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出变换矩阵的求法如下：1）计算可控性矩阵；2）计算可控性矩阵的逆阵，设一般形式为3）取出的最后一行（即第行）构成行向量状态空间表达式的线性变换

4）构造阵5）

便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。状态空间表达式的线性变换

例4-10已知可控系统

，

试将该状态方程变换为可控标准型。

解：1）计算可控性矩阵；2）计算可控性矩阵的逆阵3）取出的最后一行构成行向量为4）构造阵5）则将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵为状态空间表达式的线性变换

6）则系统的可控标准型为对偶原理

下面讨论可控性和可观测性之间的关系。为了阐明可控性和可观测性之间明显的相似性，这里将介绍由R．E．Kalman提出的对偶原理。考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1式中，x∈Rn，u∈Rr，y∈Rm，A∈Rn×n，B∈Rn×r，C∈Rm×n。以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2式中，z∈Rn，v∈Rm，w∈Rr，AT∈Rn×n，CT∈Rn×m，BT∈Rr×n。对偶原理对偶原理：当且仅当系统S2状态可观测(状态可控)时，系统S1才是状态可控(状态可观测)的。为了验证这个原理，下面写出系统S1和S2的状态可控和可观测的充要条件。对于系统S1：

状态可控的充要条件是n×nr维可控性矩阵的秩为n；状态可观测的充要条件是n×nm维可观测性矩阵的秩为n。对于系统S2：

状态可控的充要条件是n×nm维可控性矩阵的秩为n；状态可观测的充要条件是n×nr维可观测性矩阵的秩为n。对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检验和判断。简单地说，对偶性有如下关系

非奇异线性变换的不变特性

通过研究将会表明，系统经过非奇异线性变换，系统的特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等重要性质均保持不变。下面以