河北省沧州市2025-2026学年高二上学期1月调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省沧州市2025-2026学年高二上学期1月调研考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知直线的倾斜角为，则直线的一个方向向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的一个方向向量为，与其共线的有，故选：B.2.若向量，，共面，则（）A.6 B. C.30 D.【答案】B【解析】由，，共面，得存在实数，，使得，则，解得，所以.故选：B.3.已知椭圆焦点在x轴上，直线被该椭圆截得的弦被点平分，则该椭圆的焦距为（）A. B.9 C. D.12【答案】C【解析】设直线与椭圆的交点为，，①，②，①－②可得，，则，点为点，的中点，则，，直线的斜率为，则，故，解得，经验证符合题意，所以椭圆方程为：，即，解得，故该椭圆的焦距为．故选：C.4.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由题意得，平面的一个法向量，则点到平面的距离为，故选：C.5.已知数列的前n项和公式为，则的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，当时，，当时，，时也符合上式，所以的通项公式为．故选：A.6.已知圆和圆，则它们的位置关系是（）A.外离 B.相切C.内含 D.相交【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为，圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为，故，故圆与圆的位置关系为相切.故选：B.7.已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（）A.P，A，B，C四点共面 B.P，A，B，D四点共面C.P，B，C，D四点共面 D.P，A，C，D四点共面【答案】C【解析】因为，所以，即，故，所以P，B，C，D四点共面.故选：C．8.已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以的三个内角都是，从而，结合双曲线定义得，故，又，故，结合，故由余弦定理得，化简得，解得.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由题知，过的中点，或的斜率与的斜率相等，又的中点为，则过点的直线为AD选项；又的斜率为，则B选项符合条件.故选：ABD.10.设数列的前项n和为，若，，则下列说法正确的是（）A.为等比数列 B.C既有最大值也有最小值 D.【答案】AD【解析】因为，所以时，.所以，所以，所以数列从第2项起是公比为3的等比数列.由于，因此，故D正确；所以当时，，而也符合，所以数列的通项公式为，又，故数列是首项为1公比为3的等比数列，A正确B错误；因为数列的首项为1，且从第二项开始，以为首项，以3为公比的等比数列，所以数列是递增的数列，最小值为，没有最大值，C错误；故选：AD.11.如图所示是一个以为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段的中点，其中C、D、E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成上一个以S为顶点的圆锥的侧面，则关于此圆锥，下列说法不正确的是（）A.为正三角形 B.平面C.平面 D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示，设圆锥底面半径为，则，，，为的中点，为的中点，，且，，为等腰直角三角形，故A错误；选项B，若平面，则，直角中，，，故B错误；选项C，，平面，平面，平面，故C正确；选项D，，，，且平面，平面，平面，又平面平面平面，到直线的距离即为到平面的距离，又，到直线的距离等于到直线的距离，为，故D错误；故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间向量中，能作为基底的一组向量是________：①，，；②，，；③，，．【答案】②③【解析】对于①：，所以共面，不能作为空间向量中的基底，故①错误；对于②：假设共面，则存在实数x，y，使得，则，即，显然不成立，此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故②正确；对于③：假设共面，则存在实数x，y，使得，则，即，显然不成立，此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故③正确；故答案为：②③13.已知等差数列的前项和为，且，，若，则________.【答案】9【解析】设等差数列的公差为，由，得，故，由，得.故答案为：9.14.已知椭圆，过轴正半轴上一定点作直线，交椭圆于两点，当直线绕点旋转时，有（为常数），则定点坐标为__________，__________.【答案】①.②.6【解析】设点，，当直线的斜率不为时，设其方程为，代入椭圆方程并整理可得，，所以，因为当直线绕点旋转时，有（为常数），当时，，当时，，所以，解得，所以，代入，当直线的斜率为0时也成立，经检验，适合题意.故答案为：；6.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆C经过三点，，．（1）求圆C的方程；（2）过点作圆C的切线，求切线方程的斜率．解：（1）设圆C的方程为，则，解得，所以圆C的方程为；（2）圆的方程化为标准方程得，则圆心，半径，当切线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为，不符题意，当切线斜率存在时，设切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得或，综上所述，切线方程的斜率为或．16.已知正项数列的前n项和为，且．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求数列的前n项和；（3）若，求数列的前n项和．（1）证明：因为，所以，两式相减得，因为，所以，所以，又因为，令，可得，解得或（舍去），则，符合上式，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．（2）解：由（1）知，数列的通项公式为，则，可得，则，两式相减得，所以，即数列的前n项和.（3）解：由（1）知，所以，则，所以．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，，点E在线段PC上．（1）若，在PB上找一点F，使得平面，并说明理由；（2）求点A到平面的距离；（3）若直线AE与平面所成的角的正弦值为，求的值．解：（1）当为上靠近点的四等分点时，平面．理由如下：因为，为上靠近P点的四等分点，所以，又因为底面是菱形，所以，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）取中点O，连接OB，OP，因为为等边三角形，所以，，，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为边长为2的菱形中，，所以为直角三角形，所以，又因为，平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以，即，计算可得，，设点到平面的距离为，则，即，所以，解得，所以点到平面的距离为．（3）由（2）知，两两互相垂直，则分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设，则，所以，得，则，又因为平面，则平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，则，解得．所以，，所以．18.在平面直角坐标系中，已知点，动点到点和的距离之和为4．记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线交于两点．①若点，直线过点且与直线垂直，求的周长；②若，求面积的取值范围．解：（1）由题意知，，所以动点的轨迹是以和为焦点的椭圆，故可设椭圆的方程为，则，所以，所以曲线的方程为．（2）①由（1）知，，得为正三角形，则由，得直线为线段的垂直平分线，所以，且，则的周长为②（Ⅰ）当直线的斜率一条为0，另一条不存在时，的面积为，（Ⅱ）当直线的斜率存在且都不为零时，设直线，由，得，即，则，则，同理可得，，故的面积为．当且仅当，即时取最小值．综上，的面积的取值范围为．19.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与C交于不同两点，且满足为坐标原点，则：①的面积是否为定值？②椭圆C上是否存在点M（异于点），满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题可得，解得，所以椭圆C的方程为；（2）①当直