河北省某校2026届高三上学期综合素质评价六数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省某校2026届高三上学期综合素质评价六数学试题一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2.已知复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由，得，从而，所以的虚部为1．故选：A.3.某中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则m的值为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】依题意，该组数据的中位数为，极差为，由该组数据的中位数是极差的，得，所以.故选：B.4.已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（）A. B.2 C.4 D.【答案】A【解析】由恒过，又，即在圆C内，要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由，圆的半径为5，所以.故选：A.5.设是数列的前项和，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，即.所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.故选：B.6.中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，取轴截面，如图所示，分别为的中点，可知：∥∥，且，可得，即，所以该容器中液体的体积为.故选：A.7.已知函数，下列函数是奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于，定义域为，故，定义域为，，即不是奇函数，A错误；，定义域为，不关于原点对称，即不是奇函数，B错误；，定义域为，不关于原点对称，即不是奇函数，C错误；，定义域为，，即为奇函数，D正确，故选：D.8.已知双曲线，圆与轴交于两点，是圆与双曲线在轴上方的两个交点，点在轴的同侧，且交于点G，且M为线段的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图：因为，所以为双曲线的焦点.因为为上的点，所以，根据双曲线的对称性，可知点在轴上，又为的中点，所以.所以为等边三角形，，所以.又根据双曲线的定义，，所以，所以.故选：D.二、多项选择题（每题6分，少选得部分分，错选不得分）9.关于的展开式，下列判断正确的是（）A.展开式共有6项B.展开式的各二项式系数的和为64C.展开式的第6项的系数为30D.展开式中二项式系数最大的项是第4项【答案】BD【解析】解：展开式共有7项，故A错误；展开式的各二项式系数的和为，故B正确；展开式的第6项是，其系数为-30，故C错误；展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确.故选:.10.已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为B.当离心率为时，的最大值为C.不存在点Q，使得D.的最小值为【答案】CD【解析】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即，对A：，故选项A错误；对B：当时，有，则，故选项B错误；对C：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确；对D：由椭圆的定义有，所以，当且仅当时等号成立，当时，,由于，则能取到，满足条件；当时，，由于，则不能取到，此时,综上选项D正确.故选：CD.11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.为函数的最小正周期B.函数的图象关于对称C.函数的值域为D.当时，函数有5个零点【答案】ABD【解析】因为，故B正确；因为，因为，所以为函数的一个周期，又，因为，当时，单调递增，当时，单调递减，结合选项B可得函数的大致图象，结合图象故A正确；经分析可知，，所以，故C错误；结合和图象易知两个图象有5个交点，故D正确.故选：ABD.三、填空题（每题5分，共15分）12.某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有______种.【答案】【解析】恰好有个女生被选中时，共有种方法，故答案为：.13.已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是_________.【答案】【解析】因为，所以,由函数零点等价于函数的零点，再结合正弦函数在区间上恰有3个零点，则，解得，故答案为：.14.如图，正方体棱长为2，为的中点，为空间中的点，且满足，则多面体体积的最大值为______________.【答案】【解析】由已知，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，因为

，则

，则

，不妨取平面的法向量为，则点到平面的距离为

，当且仅当时取“=”，又，所以，即三棱锥的体积的最大值为，

又因为

为

的中点，则，所以多面体

的体积的最大值为.故答案为：.四、解答题（共5题，满分77分）15.在中，角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，，的面积为，求的值.解：（1）在中，因为，由正弦定理，得，又，所以，所以，又，所以.（2）由（1）知，，，因为的面积为，即，解得；由余弦定理得，即，即；所以，解得；又，由，解得；由正弦定理得，所以，解得.16.已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.解：（1）设等差数列的公差为，且，，成等比数列，则，即，又，解得，所以;（2）因为，设，①，②，①-②：，，.则，得，当为偶数时，，又单调递增，当时，最小，即，即；当为奇数时,，又单调递减，当时，最大，即，即；所以.17.为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，则的对立事件为一个给药周期也没有参加完．设一次给药出现症状为事件，则一个给药周期也没有参加完的概率为，所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为．（2）设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状”，则，则随机变量的取值为．，，，所以X的分布列为所以随机变量的数学期望为．18.已知，，．（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，；（3）若在时恒成立，求实数的取值范围．（1）解：因为，所以，当时，，则在上单调递增；当时，由可解得：，由可解得：或.则在区间上单调递增，在区间，上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，则在区间上单调递增，在区间，上单调递减.（2）证明：当时，要证明，即证明，因为，所以原不等式可变为，即.令，则只需证在恒成立即可..因为，所以，，，所以，所以在上单调递增，所以，即.因此，当时，.（3）解：分离参数：，因为，所以.构造函数，，只需求恒成立即可.令当时，且（令，则，故），故，所以.所以在上单调递增，所以，故，单调递增，当时，，所以，故.因此.19.已知动圆过点，且与相切，记该动圆圆心轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）若，直线与交于点，直线与交于点，点在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为．①证明：三点共线；②若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值．（1）解：已知圆过点，且与相切，所以圆心到点与点到直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹为抛物线，且点为焦点，直线为准线.设抛物线方程为，则，所以，故.所以曲线的方程为.（2）①证明：设线段的中点为，因为，所以可设，,因