河北省邢台地区2025-2026学年高二上学期第四次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台地区2025-2026学年高二上学期第四次联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列的第9项是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分子为等差数列，通项，；分母；奇数项为正.故选：D.2.若直线与直线平行，则（）A.-3 B.-1 C.-3或1 D.-1或3【答案】A【解析】因为直线与直线平行，所以，解得或.当时，直线与直线平行，符合题意；当时，直线与直线重合，不满足题意，所以.故选：A.3.在四棱柱中，四边形是平行四边形，分别是棱的中点，是线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如图，作出符合题意的图形，因为是线段的中点，所以，由空间向量的加法法则得，且，可得.故选：C.4.在数列中，，则（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】因为，所以，，，，所以数列具有周期性，周期为，所以，故选：A.5.在正三棱柱中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于轴的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则,由于是的中点，所以.所以，所以.故选：B.6.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】过点的直线与抛物线交于两点，如图，不妨设在第一象限，因为，所以，，因为，所以点的横坐标为，代入抛物线得：，所以，所以直线的斜率为：，过点，故直线的方程为：，联立方程组得：，解得或，故，所以.故选：C.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（）A. B.4 C. D.8【答案】A【解析】如图，延长，交于点，因为是的平分线，且，所以与全等，所以，为的中点，为的中点，所以，由于双曲线的左、右焦点分别为，所以，，所以双曲线的定义可知：，所以，即，所以.故选：A.8.某零件加工厂设备更新后，预计每月加工某零件的数量比上一个月增加10%.若该零件加工厂本月加工该零件1000件，从本月起（即本月为第1个月），该零件加工厂个月加工完2万件该零件，则的最小值是（）（参考数据：）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】B【解析】由于每月加工的零件数构成一个等比数列，首项，公比.那么由题意得.化简得，对不等式两边取对数得，即.因为，所以因为为正整数，所以的最小值是12.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若将一个椭圆绕其对称中心旋转，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆被称为“对偶椭圆”.已知椭圆是对偶椭圆，则该椭圆的短轴长可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因为椭圆是对偶椭圆，根据“对偶椭圆”的定义可得：当时，则的焦点在x轴上，由题意可得，解得，即.此时该椭圆的短轴长为；当时，则的焦点在y轴上，则，解得，即.此时该椭圆的短轴长为；故选：AC.10.设数列的前项和为，且，则（）A. B.C.有最小值3 D.【答案】BCD【解析】因为①，所以②，②-①得所以数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，因为，所以.所以，B正确，所以，可知数列是首项为1，公差为1的等差数列.那么有，A错误，，当时，是关于n的增函数，故当时，取最小值为，C正确；，D正确.故选：BCD.11.一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球同时与正方体的三个面以及球相切，球同时与正方体的三个面以及球相切，以此类推，球同时与正方体的三个面以及球相切.设球的半径为，表面积为，体积为，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】已知正方体棱长为2，球是正方体的内切球，则球的直径等于正方体的棱长，所以.球同时与正方体的三个面以及球相切，可得，到正方体一个面的距离为1，到正方体一个面的距离为，则到在垂直于正方体面方向上的距离为，在水平方向上的距离为.根据勾股定理可得，因为，解得.同理可得，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故B不正确；因为，，所以A正确；，所以成立，C正确；因为，所以，因为数列是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列，，，，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆的半径是___________.【答案】【解析】将圆的方程化简为.所以圆的半径为.故答案为：.13.设等差数列的前项和为，则的最小值是___________.【答案】【解析】因为等差数列的前项和为，设公差为，则，化简得，解得，所以，.所以.令，此函数为对勾函数，根据对勾函数的单调性可知，所以当时，单调递增；当时，单调递减；因为只能取整数，当时，；当时，；即时取最小值为.故答案为：.14.在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，则点的轨迹方程是___________.【答案】【解析】因为平面平面，且，平面平面，所以平面，同理平面.因此，在平面内的投影为，的投影为.由，根据线面角的正切关系得，将代入化简得.设，则由，两边平方.展开并整理得，化简得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知椭圆的离心率是是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于两点，是线段的中点，求直线的方程.解：（1）由题可知，，，，所以椭圆的标准方程为，（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为，是线段的中点，，，两式相减，，，故直线方程为：16.如图，在四棱锥中，平面平面.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）若的中点为，求点到平面的距离.（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，则，又平面，平面.所以平面.（2）解：由（1）知，平面，而平面，所以，又，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系.在中，，根据勾股定理得.所以，所以，由于平面，所以是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则.即，令，则，所以.所以平面与平面夹角的余弦值为.（3）解：因为，为的中点，所以，则.所以点到平面的距离为.17.设数列的前项和为，且.（1）证明：是等比数列；（2）求.（1）证明：当时，，所以，由于所以，当时，，，两式相减得：，所以，所以，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）可知，是以为首项，为公比的等比数列.所以，所以.所以..18.已知双曲线的左、右焦点分别是，其实轴长为，，点在双曲线的右支上，且的最小值是5.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线交于，两点，均在第一象限.①若，求直线的方程；②求面积的取值范围.解：（1）因为双曲线的左、右焦点分别是，其实轴长为，所以，所以.的最小值是5即当三点共线时，取最小值为.因为，所以，解得.所以，所以双曲线的标准方程为.（2）①由（1）知，当直线的斜率不存在时，其方程为，因为双曲线的渐近线方程为，联立直线与渐近线方程得，所以，因为双曲线的焦点坐标为，所以，此时不满足题意，所以直线的斜率存在.设直线的方程为，与双曲线的渐近线方程联立得和，解得和，所以因为，所以即，解得.所以直线的方程为，即.②当直线的斜率不存在时，其方程为，代入双曲线方程中得.所以，此时；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立得.判别式，.设，则.由于，所以或.所以，令，由于，所以.所以，所