河南省义马市2026届高三上学期期末诊断性考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省义马市2026届高三上学期期末诊断性考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.已知全集，集合或，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合或，故，由Venn图可知影部分表示的集合为.故选：A.2.若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】，，，又所对应的点在实轴上，，．故选：C.3.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（

）A.38 B.39 C.40 D.41【答案】B【解析】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，因为，所以第75百分位数为.故选：B.4.已知向量，的夹角为150°，且，，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.5.抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（）A.大于2 B.小于2C.等于2 D.与2的大小无法确定【答案】B【解析】由题意，在第次结束抛掷的概率为，第100次结束的概率为，所以，则，故，所以.故选：B.6.给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（）种A.99 B.96 C.66 D.60【答案】C【解析】第一类，三条边用同一种颜色，先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法，共有方法数为种；第二类，三条边用种颜色，由三条边用种颜色，可得必有条边涂同一种颜色，先涂有种方法，再涂，，有种方法，共有方法数为种；第三类三条边用种颜色，先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法，共有方法数为种；由分类加法计数原理可得，共有方法数种．故选：C．7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在上，且，若的面积为16，的离心率为，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设的半焦距为，因为，所以，所以点在为圆心半径为的圆上，于是为直角三角形，且，设，，则，所以，又，，且，所以，即，所以，又，所以，所以，所以的方程为.故选：B.8.设函数，令，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因为的定义域为，且，所以是偶函数，令，因在上单调递增，又，当时，，即在上单调递增，由复合函数的单调性知在上单调递增.又，，，因，由，可得，即，故可得，即．故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，下列说法正确的有（）A.为偶函数 B.恰有2个单调区间C.的最小值为 D.值域是【答案】ABD【解析】根据题意，设，对于A，的定义域为，且，则为偶函数，A正确；对于B，，易得在上单调递增，在上单调递减，B正确；对于C，由于，则，不存在最小值，C错误；对于D，，则，则的值域为，D正确．故选：ABD.10.已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（）A.以为直径的圆与抛物线的准线相切B.若，则直线的斜率C.弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为D.若，则的最小值为18【答案】AD【解析】A：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：，设，则的中点，利用焦点弦的性质可得，而的中点M准线的距离：，以为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确；B：设直线的方程为，联立，整理可得：，易知，可得，，解得，，解得，，因此B不正确；C：设，结合A、B可得：，，消去m可得：，因此C错误；D：若，则抛物线，不妨设，，，当且仅当时取等号，因此D正确．故选：AD．11.如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（）A.若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为B.三棱锥的体积为定值C.若是棱的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形D.若与平面所成的角为，则【答案】BD【解析】对于A，如图所示，连接，取的中点为，连接，设外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，连接，在中，设其外接圆半径为，由正弦定理知，，所以，即，依题易得，故，且和同对弦，故四点共圆，则，设外接球半径为，过作，交于，由正方体性质知平面，而平面，则，又平面，则，所以是矩形，则，则在中，，即，①，在中，，即②，联立①②，解得，故外接球的表面积为，故错误；对于B，连接，因为,平面平面，所以平面，又点是棱上的动点（含端点），所以点到平面的距离为定值，设为，则，为定值，故B正确；对于C，如图，延长交延长线于点，连接交于点，连接，四边形为过的平面截正方体所得的截面图形，故C错误；对于D，以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量，则，令，则，故，则，当时，，当时，，当且仅当时等号成立，又，故D正确.故选：BD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足若，则______．【答案】【解析】由且，可得，，，可得数列是以3为周期的周期数列，则．故答案为：.13.已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为________.【答案】.【解析】由题意知，点在以线段为直径的球与正三棱柱表面的交线上，如图，取的中点，过点作，垂足为，在等边中，为的中点，在正三棱柱中，平面，平面，，，，平面，平面，连接，取的中点，连接，，平面，点到平面的距离为，在平面中，点在以为圆心，以为半径的圆上，又点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，点在侧而的运动轨迹为，其长度为，同理，点在侧面的运动轨迹为，共长度为，点在上底面的运动轨迹为，其长度为，点在下底面的运动轨迹为，其长度为，综上，的轨迹长度为.故答案为：.14.已知定义在上的函数，设，，是三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为______．【答案】【解析】不妨设，由于在上严格单调递减，在上严格单调递增，在上严格单调递减，又，，结合图象可知，，，所以，由得，，取，所以，所以，又，所以，可得，则的取值范围为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，设函数.（1）若，求的值；（2）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且________，求的取值范围.从下面两个条件中任选一个，补充在上面的空隔中作答.①；②；注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.解：（1）因为，，所以，当时，，所以或.所以或.当，时，；当时，.综合得.（2）若选①，由正弦定理可得，即，即，由于，所以，解得，由于，得，所以，所以，得，即的取值范围是.若选②，由正弦定理可得，即，由于，所以，由于，得，所以，所以，得，即的取值范围是.16.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，.（1）证明：平面平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为四边形是矩形，所以，，因为，，平面，所以平面，平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知，是直角三角形，所以，在中，，所以是直角三角形，即，因为，平面，所以平面，即两两互相垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量可以为，设平面与平面夹角，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”.华容道游戏是通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走，不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.小华准备参加市里的华容道横刀立马项目大赛.赛前小华进行了15天的训练，经统计得30分钟的通关关数y（道）与训练天数x（天）有如下数据：x（天）3691215y（道）618291104112通过分析发现30分钟的通关关数y（道）与训练天数x（天）线性相关.（1）求x与y的样本相关系数（结果四舍五入到0.001）；（2）①求30分钟的通关关数关于训练天数的经验回归方程（的结果四舍五入到0.01）；②若小华准备按照这种方式继续训练15天，然后直接参加华容道横刀立马项目大赛，请估计小华结束训练时在30分钟内能通关多少道（结果四舍五入到个位）？参考公式：样本相关系数，回归直线方程中，，.参考数据：，，，.解：（1）因为，，所以.（2）①，所以.所以y关于x的经验回归方程为，即30分钟的通关关数关于训练天数的经验回归方程为.②15天后，，则，所以预估小华结束训练时在30分钟内能通关177道.18.已知椭圆上右顶点到右焦点的距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长.（1）求椭圆C的方程；（2）设P（4，0），AB是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围.（1）解：由题意可得解得，椭圆的方程为；（2）证明：由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，则，联立，消去得，直线与椭圆有两个不同的交点，，，．直线的方程为，令，则，故直线过定点；（3）解：①当直线与轴重合时，，，；②当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，，联立消去得，则恒成立，可得，，，，，，的取值范围是，综上可知：的取值范围是．19.已知函数．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若对任意恒