2026甘肃职教高考数学第一章集合 1.2集合之间的关系 课件

1．2集合之间的关系第1章集合第1页，共49页1．子集、真子集、集合相等的概念(1)对于两个集合A与B，如果集合A中的______________都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或者说集合B包含集合A，这时集合A叫作集合B的________，记作A⊆B(或B⊇A).任何一个元素子集(2)如果________且________，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A).(3)如果________且________，我们就说集合A与B________，记作A＝B.A⊆BA≠BA⊆BB⊆A相等2．子集的性质(1)________是任何集合的子集，即∅⊆A.(2)___________都是它本身的子集，即A⊆A.(3)子集、真子集都有传递性，即若A⊆B，B⊆C，则________.(4)若非空集合A有n个元素，则集合A的子集个数为________.空集任何集合A⊆C2n3．真子集的性质(1)空集是任何非空集合的真子集．(2)真子集具有传递性(若A⫋B，B⫋C，则A⫋C).(3)若非空集合A有n个元素，则集合A的真子集个数为________，且有________个非空真子集．2n－12n－2【注意】

(1)子集和真子集的区别：子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等．也就是说，若A⊆B，则A⊆B或者A＝B.真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等．也就是说，若A⫋B，则A⊆B且A≠B.(2)集合的包含关系和实数的大小关系有相似之处，符号⊆和≤有相似之处，⫋和<有相似之处，开口都指向“较大的一边”.4．子集、真子集关系图名称表示符号意义性质示意图子集A⊆B(或B⊇A)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素(1)A⊆A；(2)∅⊆A；(3)若A⊆B且B⊆C，则A⊆C；(4)A⊆B且B⊆A，则A＝B名称表示符号意义性质示意图真子集A⫋B(或B⫌A)A⊆B且A≠B，(B中至少有一个元素不属于A)(1)∅⫋A(A为非空集合)；(2)若A⫋B且B⫋C，则A⫋C集合相等A＝BA⊆B且B⊆A，则A＝BA⊆B且B⊆A续表【例1】判断下列关系是否正确：(1){a}⊆{a}； (2){1，2，3}⊆{3，2，1}；(3)∅⫋{0}； (4)0∈{0}； (5)∅∈{0}；(6)∅＝{0}； (7)∅⫋{0，1，2}； (8){1}⫋{x|x≤5}．例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5【解】(1)(2)(3)(4)(7)(8)正确，(5)(6)错误．例6变6例7变7【点拨】(1)任何一个集合都是它本身的子集，因此，{a}⊆{a}正确；(2){1，2，3}＝{3，2，1}，故{1，2，3}⊆{3，2，1}正确；(3)空集是任何非空集合的真子集，∅⫋{0}正确；(4){0}中只有一个元素0，0∈{0}正确；(5)∅与{0}是两个集合，不能用“∈”连接；(6)∅中没有任何元素，而{0}中有一个元素，二者不相等；(7)空集是任何非空集合的真子集，∅⫋{0，1，2}正确；(8)因为1<5，所以1∈{x|x≤5}，所以{1}⫋{x|x≤5}正确．例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练1】用符号“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“＝”填空：(1){5，6，7，8}________{6，7}；⫌【提示】(1)集合{6，7}的元素都是集合{5，6，7，8}的元素，并且集合{5，6，7，8}的元素5和8不是集合{6，7}的元素，因此{5，6，7，8}⫌{6，7}；例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练1】用符号“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“＝”填空：(2)n________{n}；∈【提示】(2)n是元素，{n}是由元素n组成的集合，因此n∈{n}；例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练1】用符号“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“＝”填空：(3)N________Q；⫋【提示】(3)自然数都是有理数，但是无限循环小数不是自然数，因此N⫋Q；例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练1】用符号“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“＝”填空：(4)0________∅；∉【提示】(4)空集是不含任何元素的集合，因此0不属于∅；例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练1】用符号“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“＝”填空：(5){2}________{x|x－2＝0}．＝【提示】(5)解方程x－2＝0得x＝2，解集用列举法表示为{2}，因此{2}＝{x|x－2＝0}．例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【例2】已知{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d，e}，求满足条件的集合A的个数．【点拨】若集合P中有m个元素，集合Q中有n个元素，且P⊆Q，则满足P⊆M⫋Q的集合M共有2n－m－1个．例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【解】∵{a，b}⊆A，∴A中必有元素a，b．又∵A⫋{a，b，c，d，e}，∴A是{a，b，c，d，e}的真子集，∴集合A可能为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，共7个．例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练2】已知{3，4，5}⊆M⫋{1，2，3，4，5}，求满足条件的集合M的个数，并列出集合M的所有可能情况．解：∵{3，4，5}⊆M，∴M中必有元素3，4，5.又∵M⫋{1，2，3，4，5}，∴M是{1，2，3，4，5}的真子集．∴集合M可能为{3，4，5}，{1，3，4，5}，{2，3，4，5}，共3个．例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【例3】设集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a.【点拨】因为A中含有两个元素，而B的元素最多一个，根据B⊆A这一条件，可知B是A的真子集，所以B有三种可能，在解题过程中很容易丢掉B＝∅的情况．例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【解】若B⊆A，即B是A的子集，则表明集合B的元素都是集合A的元素．∵A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，B⊆A，∴方程ax－1＝0无解或其解为－1或3.∴a＝0或－a－1＝0或3a－1＝0，即a＝0或a＝－1或a＝【变式训练3】设集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⫋A，求实数a.解：∵A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，∴集合A中只有1一个元素．又B⫋A，∴B中不能含有任何元素，即方程ax－1＝0无解．∴a＝0.例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【例4】已知集合A＝{－2，2026，x2－1}，B＝{0，2026，x2＋3x}，且A＝B，则x的值为(

)A．1或－1 B．0 C．－2 D．－1【点拨】直接应用集合相等则集合中的元素完全相同来解决问题．∵A＝B，即集合A和集合B中的元素完全相同，∴x2－1＝0且x2＋3x＝－2，解得x＝－1.D例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练4】已知集合A＝{3，2026，x2－2x＋1}，B＝{0，2026，x2＋2x}，且A＝B，则x的值为(

)A．1或－3 B．0 C．－2 D．1【提示】∵A＝B，即集合A和集合B中的元素完全相同，∴x2－2x＋1＝0，且x2＋2x＝3，解得x＝1.D例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【例5】若集合A＝{x|x≤1}，则(

)A．0⊆A B．{0}⊆AC．∅∈A D．{0}⊇A【点拨】0是元素，A是集合，所以应该是{0}⊆A.B例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练5】若集合B＝{x||x|＝－2}，则(

)A．{2}⊆B B．{0}⊆BC．∅＝B D．0⊆B【提示】|x|＝－2的解集是∅，0是元素，B是集合，所以应该是∅＝B.C例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【例6】(2024年甘肃省分类考试)已知集合A＝{X，Y，Z}，则集合A的真子集的个数为(

)A．6 B．7 C．8 D．9【点拨】若一个非空集合的元素有n个，则子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.故选B.B例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练6】(2023年甘肃省分类考试)已知集合A＝{a，b，c}，则集合A的真子集的个数是(

)A．5 B．6 C．7 D．8【提示】

A＝{a，b，c}有a，b，c三个元素，真子集的个数为23－1＝7.C例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【例7】已知集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|－1<x<6}，则A∩B＝(

)A．{x|－4<x<6} B．{x|－1<x<4}C．{x|－1<x<6} D．{x|－1≤x≤4}【点拨】此题考查含绝对值不等式的解法和求交集的运算．由于集合A＝{x||x|<4}＝{x|－4<x<4}，所以A∩B＝{－1<x<4}．B例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练7】已知集合A＝{x||x|≤3}，B＝{x|－1<x<8}，则A∩B＝(

)A．{x|－2<x<8} B．{x|－1<x≤3}C．{x|－3<x<8} D．{x|－1≤x≤3}【提示】

由于集合A＝{x||x|≤3}＝{x|－3≤x≤3}，

B＝{x|－1<x<8}，所以A∩B＝{－1<x≤3}．B例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变712345678910111213141516一、单项选择题1．下列说法中，正确的是(

)①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{1，2，0}；③∅⊆{0}；

④0∉∅；

⑤{0}∩∅＝∅.A．①②④⑤ B．②③C．①③④⑤ D．②③④⑤D123456789101112131416152．设集合A＝{(x，y)|xy<0}，B＝{(x，y)|x>0且y<0}，则正确的是(

)A．A∪B＝B B．A∩B＝∅C．A⊇B D．A⊆BC3．已知集合M⊆{2，3，5}，则这样的集合M共有(

)A．5个 B．6个 C．7个 D．8个D123456789101112131416154．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}满足A⫋B，则实数a的取值范围是(

)A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}A12345678910111213141615123456789101112131416155．若集合Y＝{x|x2－9＝0}，则集合Y的真子集个数是(

)A．0 B．1 C．2 D．3D123456789101112131416156．已知集合P＝{x|x≤4}，则(

)A．π∉P B．π⫋P C．π∈P D．{π}⫌PC123456789101112131416157．满足{2}⊆B⊆{1，2，3，5}的集合B的个数是(

)A．5 B．6 C．7 D．8D123456789101112131416158．若A⊆B，B⊆C，则必有(

)A．A⊆C B．C⊆AC．∅∈A D．A＝CA12345678910111213141615二、填空题9．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B⊆A，则实数m的值是___________．1234567891011121314161510．若集合A⫋B，A⫋C，B＝{0，1，2，3}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A是_______________________．∅或{0}或{2}或{0，2}1234567891011121314161511．设集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＞m