专题32 数列求和（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题32数列求和

一．选择题（共10小题）1．（2025春•仁寿县期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和A．107 B．1409 C．1414 D．1122．（2025春•河西区月考）已知数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前2025项和为A． B． C． D．3．（2025•东西湖区模拟）数列的前2025项和为A．1012 B． C．1013 D．4．（2025•漳州模拟）设等差数列的前项和为，若，，则数列的前2025项和为A． B． C． D．5．（2025春•惠州月考）已知数列的前项和为且，则A． B． C． D．6．（2024秋•株洲期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和A． B． C． D．7．（2025春•河南月考）已知数列的通项公式为，则其前2025项的和A． B． C． D．8．（2025•射阳县模拟）记为数列的前项之积，已知，则A． B． C． D．9．（2025春•南岗区月考）若等差数列满足，则A．2025 B． C． D．10．（2024秋•宜宾期末）南宋数学家杨辉在《解析九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍瓷垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•建邺区三模）已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则A． B．的前项和为 C．的前2025项和为 D．的前10项和为（多选）12．（2025春•成都期末）已知数列满足，数列的前项和为，则A． B．数列是等比数列 C．，，构成等差数列 D．数列前2025项和为（多选）13．（2025•霞山区模拟）已知数列满足，其中，为数列的前项和，则下列四个结论中，正确的是A． B．数列的通项公式为： C．数列的前项和为： D．数列为递减数列（多选）14．（2025•安化县模拟）已知数列的首项为4，且满足，则A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和三．填空题（共4小题）15．（2025•黄浦区三模）已知数列的通项公式为为正整数），则数列的前项和的最小值为．16．（2025春•日照期中）设数列的前项和为，且，则．17．（2025春•青羊区期中）设数列的前项和为，且，则数列的前项和为．18．（2025•桃城区三模）数列满足，则的前100项和．四．解答题（共6小题）19．（2025春•青山湖区期末）设数列满足，．（1）证明：数列为等差数列；（2）若数列的前项和为，证明：．20．（2025春•南宁期末）已知数列的首项为1，数列的前项和为，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．21．（2025春•濮阳期末）已知为等差数列，，，．（Ⅰ）求的通项公式及前项和；（Ⅱ）求数列的前项和．22．（2025春•深圳期末）已知等差数列与等比数列满足：，，．（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和．23．（2025春•遵义期末）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围．24．（2025春•建华区期中）记数列的前项和为，已知，．（1）求的通项公式．（2）若数列满足，其前项和为．（ⅰ）求；（ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDCDABCCCD二．多选题（共4小题）题号11121314答案ACDADACDBD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据给定的通项公式，利用分组求和法列式计算即可．【解答】解：根据题意可得．故选：．2．【答案】【分析】根据并项求和法及平方差公式，即可求解．【解答】解：因为，所以前项和为，所以数列的前2025项和为：．故选：．3．【答案】【分析】由已知利用并项求和即可求解．【解答】解：数列的前2025项和．故选：．4．【答案】【分析】根据等差数列通项公式可得，再利用裂项求和即可求得结果．【解答】解：设等差数列的公差为，依题意可得，解得，所以，因此，令的前项和为，则，所以．故选：．5．【答案】【分析】利用错位相减法求数列的前项和．【解答】解：，则，所以，两式相减可得，，所以．故选：．6．【答案】【分析】应用错位相减法及等比数列前项和求．【解答】解：已知数列的通项公式为，则，①则，②由①②可得：，所以．故选：．7．【答案】【分析】先化简，利用裂项相消法求和．【解答】解：由，可得．故选：．8．【答案】【分析】运用数列的通项与求积的关系，以及等差数列的定义和通项公式，可得所求．【解答】解：由，可得，解得，当时，，即有，可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，则，即，则．故选：．9．【答案】【分析】设，易知，从而利用倒序相加法，即可求解．【解答】解：设，则，设，所以，又，所以，所以．故选：．10．【答案】【分析】由题意可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：由题意可得，，，，，则，即有．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断，根据等差数列求和公式判断，利用并项求和法判断，利用裂项相消法判断．【解答】解：由题意公差，因为，，成等比数列，所以，所以，解得，所以，对于，，故正确；对于，的前项和为，故错误；对于，因为，所以前2025项和为，故正确；对于，因为，所以，故正确．故选：．12．【答案】【分析】根据题意，求得数列的通项公式为，求得，可判定正确；由数列为等差数列，可判定错误；由等差数列的求和公式，得到，可判定错误；由，结合裂项法求和，可判定正确．【解答】解：数列中，，当时，，两式相减，得，所以，当时，，满足上式，所以数列的通项公式为，对于，由，选项正确；对于，由，所以数列为等差数列，选项错误；对于，由，得，，，则，所以，，不是等差数列，选项错误；对于，由，得，所以数列前2025项和为，选项正确．故选：．13．【答案】【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前项和；根据数列与函数的关系判断数列的单调性．【解答】解：因为，所以当时，，两式相减得，所以，又因为当时，满足上式，所以数列的通项公式为：，故正确，错误；，所以，故正确；因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，故正确．故选：．14．【答案】【分析】对于选项：直接利用关系式的变换求出数列为等比数列．对于选项：利用等比数列的性质求出数列的通项公式，进一步求出数列单调递增．对于选项：利用数列的通项公式，利用乘公比错位相减法求出数列的和．对于选项：利用自然数的求和公式求出结果．【解答】解：①由得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故错误；②因为，所以，显然递增，故正确．③因为，①，②所以：①②得：，故，故错误；④因为，所以的前项和，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】根据单调递增，且当时，，当时，，可得当有最小值，且最小值为．【解答】解：根据题意，显然单调递增，当时，，当时，，所以当时有最小值，且最小值为．故答案为：．16．【答案】．【分析】根据并项求和，结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：根据题意，，所以．故答案为：．17．【答案】．【分析】由数列的通项与前项和的关系，结合数列的恒等式求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：由，可得时，，解得，当时，由，可得，两式相减可得，即有，则（符合首项），可得，设数列的前项和为，则，，相减可得，即有．故答案为：．18．【答案】7700．【分析】设，计算每隔四项的和，可得它们构成以20为首项，公差为24的等差数列，由等差数列的求和公式可得所求和．【解答】解：数列满足，设，可得，解得，由，解得，由，解得，即有；同理可得，，，，即有；，，，，即有；，．则的前100项和．故答案为：7700．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由已知可得，即可说明为等差数列；（2）由（1）得，由裂项相消法即可求解，根据单调性即可得．【解答】解：（1）由已知可得，所以，又，所以数列是首项为3，公差为3的等差数列；（2）由（1）知，所以，所以，所以，因为为递增数列，所以，所以．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用即可求解；（2）由（1）可知，进一步由裂项相消法即可求解．【解答】解：当时，，则，当时，，则，又满足上式，所以；（2）由（1）可知，设数列的前项和为，则．21．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由等差数列的通项公式，解方程求得首项和公差，进而得到所求；（Ⅱ）运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）为等差数列，设公差为，由，，可得，即，且，即，可得，则，；（Ⅱ）由，可得数列的前项和．22．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，即可得到所求；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的隔壁为，由，，，可得，，解得，，则，；（2），数列的前项和，，相减可得，则．23．【答案】（1）数列的通项公式为：；（2）数列的前项和为：；（3）的取值范围为：．【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系来求解；（2）先根据（1）的结果求出，再利用裂项相消法求数列的前项和；（3）先根据已知条件求出，再区分为奇数和偶数两种情况讨论不等式恒成立时的取值范围．【解答】解：（1）因为数列的前项和为，且，所以当时，．当时，，当时，也满足上式，所以；（2）因为，所以；（3）因为①，当时，，解得．当时，②，①②相减得：，所以，又也满足该式，所以，那么不等式可化为．当为偶数时，若恒成立，即恒成立：因为在为偶数时单调递增，当时取最小值，，所以时，不等式恒成立．当为奇数时，若恒成立，即恒成立：因为在为奇数时单调递减，当时取最大值，所以时，不等式恒成立．故的取值范围为：．24．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ），．【分析】（