协方差和相关系数课件- 《概率论与数理统计》同步教学

第四章随机变量的数字特征e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C第四章随机变量的数字特征第1节

数学期望第2节方差第3节协方差和相关系数第3节协方差和相关系数第4节矩和协方差阵e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C第3节协方差和相关系数一、协方差二、相关系数？如何描述两个随机变量之间的关系?若(X,Y)的全部可能取值坐标如图a,b,c,X与Y的关系各是什么?1.定义若E(X-E(X))(Y-E(Y))存在，则称其为随机变量X与Y的协方差.记为Cov(X,Y)即Cov(X,Y)=E(X-E(X))(Y-E(Y))一、协方差Cov(X,Y)>0,称X和Y正相关,表示X和Y有同时增加或减少趋势.Cov(X,Y)<0,称X和Y负相关,表示X增大而Y减少,或Y增大而X减少趋势.Cov(X,Y)=0,称X和Y不相关.协方差常用计算公式Cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)例1.求Cov(X,Y)

Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/21/41/4¼

½

¼

解：E(X)=2,E(Y)=2；Cov(X,Y)=23/6–4=－1/6;E(XY)=例2

设二维(X,Y)随机变量的密度函数为求解因为oxyy=x2.协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).

(5)若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0.(3)

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(6)D(X

Y)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)

(2)Cov(X,a)=0.

(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).例2．已知D(X)=2，D(Y)=4，Cov(X,Y)=-2，求D(3X-4Y+8).解：

D(3X-4Y+8)=D(3X-4Y)=D(3X)+D(4Y)-2Cov(3X,4Y)=9D(X)+16D(Y)–24Cov(X,Y)=18+64+48=130若X，Y相互独立，D(3X-4Y+8)=D(3X)+D(4Y)=82二、相关系数

协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它要受到X与Y量纲的影响.取不同的量纲,会得到不同的协方差.令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)

为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化,以便消除量纲的影响.

再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.1.相关系数的定义对于随机变量X和Y,若D(X)≠0,D(Y)≠0则称为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）.2.相关系数的性质(1)(2)X与Y几乎处处有线性关系。

P{Y=aX+b}=1,且时，a>0;时，a<0.引理

(柯西--许瓦兹不等式)若X和Y的方差存在,则[Cov(X,Y)]2

D(X)D(Y).

于是，判别式△=4[Cov(X,Y)]2–

4D(X)·D(Y)≤0

证明：若D(X)=0,显然成立;若D(X)≠0考虑实变量t的二次函数因q(t)≥0，D(X)>0，即方程q(t)=0或者没有实根或者有重根，即2.相关系数的性质

证明：由柯西--许瓦兹不等式得.所以(2)X与Y几乎处处有线性关系。

P{Y=aX+b}=1

证明：充分性.若Y=aX+b(X=cY+d也一样),则(1)

证明：必要性.记因为所以当由此得或即所以当由此得或Y与X几乎处处负相关.Y与X几乎处处正相关.

相关系数ρ刻划了随机变量X和Y的线性相关程度.所以也称为线性相关系数.

当ρ=0时,称X与Y不相关.不相关指的是没有线性关系,也可能有其他的函数关系.

当ρ=1时,称X与Y完全正相关.当ρ=-1时,称X与Y完全负相关

当0<|ρ|<1时,称X与Y有“一定程度”的线性关系.当|ρ|越接近与1时,称X与Y线性程度越高,反之越弱.oxyoooxxxyyy0<ρ<1-1<ρ<0ρ=1ρ=-1相关情况示意图对应的(X,Y).示例相关系数的直观演示例4.求解：E(X)=2,E(Y)=2；E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2；D(X)=1/2D(Y)=1/2E(XY)=Cov(X,Y)=23/6–4=-1/6;¼½¼Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/41/21/4例5

设二维(X,Y)随机变量的密度函数为求解因为oxyy=x例5

设二维(X,Y)随机变量的密度函数为求解因为oxyy=x例6．设（X,Y）服从二维正态分布，求X,Y的相关系数.解：X，Y的联合密度f(x,y)及边缘密度fX(x),fY(y)如下：

若（X,Y）服从二维正态分布，则X、Y相互独立与不相关是等价的.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故X，Y不相关.请看下例.3.相关性与独立性的关系例5.

设X~N(0,1),而Y=X2，求X，Y的相关系数.解：因而ρ=0，即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立.X与Y独立X与Y一定不相关.X与Y不相关X与Y独立例6．(X,Y)的概率密度如下,试证X与Y既不相关也不相互独立.因fX(x)fY(y)≠f(x,y)，故X与Y不相互独立.证明：(1)因为同样E（Y）=0于是ρXY=0，所以

X与Y不相关。(2)然而对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关但若X与Y独立，则X与Y一定不相关.由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.2.将一枚不均匀硬币投掷n次，以Ｘ和Ｙ分别表示出现正面和反面的次数，则X和Y的相关系数为（）（Ａ）－１;（Ｂ）０;（Ｃ）½;(D)1.思考题1.如果存在常数使且的相关系数为（）.

（A）1；（B）–1；（C）（D）3.随机变量且相关系数则（）§4.4矩和协方差矩阵X的k阶原点矩：E(Xk)，k=1,2,….X的k阶中心矩：E[X

E(X)]k

，k=1,2,….

显然，期望是X的一阶原点矩，方差是X的二阶中心矩.X和Y的k+l阶混合原点矩：X和Y的k+l阶混合中心矩：协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.协方差矩阵的定义

将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式:称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.这是一个对称矩阵

例7:设(X,Y)~N