第六章 平行四边形综合练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第1页（共1页）第六章平行四边形综合练习（二）一．选择题（共10小题）1．如图，在▱ABCD中，若∠A＝138°，则∠C的度数为（）A．148° B．42° C．120° D．138°2．能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB∥CD，∠C＝∠A D．AB＝AD，CB＝CD3．如图，点A在直线a上，B，C两点在直线b上，且a∥b，∠ABC＞90°，若AB＝4，则a，b两直线之间的距离可以是（）A．6 B．5 C．4 D．34．如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝（）A．14 B．12 C．15．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.56．如图，▱ABCD的对角线交点在原点，若A（﹣1，2），则点C的坐标是（）A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）7．如图，四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝120°，则∠PFE的度数是（）A．45° B．40° C．30° D．60°8．如图，E是▱ABCD内任意一点．若S▱ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.59．如图，平行四边形ABCD中，∠C＝60°，点E在四边形ABCD内，且BE⊥BC，DE⊥CD，连接AE，若BE=BC，AE=2，则ABA．2 B．22 C．23 10．现有一张平行四边形ABCD纸片，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M，N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（）A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对二．填空题（共6小题）11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，其中AB＝CD，请你再添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，可以添加的条件是．12．在平行四边形ABCD中，若∠A＝∠B+50°，则∠B＝度．13．已知三条线段的长分别为5厘米、4.5厘米、4厘米，以其中两条为对角线，另一条为一边，可以画出个平行四边形．14．如图，已知直线a∥b，点C，D在直线a上，点A，B在直线b上，线段BC，AD相交于点E，与△ABD面积相等的三角形是，与△ACD面积相等的三角形是．15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝12，过点O作EF⊥BD分别交BC、AD于点E、F，若∠ADB＝30°，则EF的长为．16．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，AB＝4，E为斜边AB边上的一动点，以EA、EC为边作平行四边形，则线段ED长度的最小值为．三．解答题（共7小题）17．如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，且DE＝BF，求证：∠AED＝∠CFB．18．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．连接DF、FG、EG、DE，求证：DF＝EG．19．如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N在BD上，且BM＝DN，求证：AM＝CN．20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F在对角线BD上，且AE＝CF，∠AED＝∠CFB，求证：四边形ABCD是平行四边形．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上．（1）若AC＝AD，∠CAD＝50°，求∠BCD的度数；（2）若四边形EHFG是平行四边形，求证：AE＝CF．22．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．23．综合探究综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠“为主题的数学活动．问题初探（1）如图1，点O是平行四边形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点C的对应点为C′，点B与点D重合，猜想AE和CF的数量关系，并说明理由；迁移探究（2）如图2，连接AC′，与BD交于点P，猜想AC′和EF的位置关系，并说明理由；拓展探索（3）如图3，若纸片沿过点O的线段EF折叠，点B不与D′重合，连接AC′，猜想AC′和EF的位置关系，并说明理由．

第六章平行四边形综合练习（二）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠A，∵∠A＝138°，∴∠C＝138°．故选：D．2．【解答】解：根据平行四边形的判定可知：A、若AB∥CD，AD＝BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．C、可判定是平行四边形的条件，故C正确．D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．故选：C．3．【解答】解：∵AB＝4，点A在直线a上，B，C两点在直线b上，且a∥b，∴a，b两直线之间的距离可以是3．故选：D．4．【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，BC＝4，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC故选：D．5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，∴∠E＝∠ECD，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD，∴∠E＝∠BCE，∴BE＝BC＝5，∴AE＝BE﹣AB＝5﹣3＝2；故选：C．6．【解答】解：由题意A，C关于原点对称，∵A（﹣1，2），∴C（1，﹣2）．故选：A．7．【解答】解：∵E，P分别是AB，BD的中点，∴EP为△ABD的中位线，∴EP=12同理可得：FP=12∵AD＝BC，∴EP＝FP，∵∠FPE＝120°，∴∠PFE＝∠PEF=1故选：C．8．【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，∴S△EAD+S△ECB=12AD•h1+12CB•h2=12AD（=12S＝4．故选：C．9．【解答】解：延长DE交AB于F．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠C＝∠DAB＝60°，AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣∠C＝120°，∵DE⊥CD，AB∥CD，∴∠DFB＝∠FDC＝90°，∴DF⊥AB，∴∠DFA＝∠EFB＝90°，∵BE⊥BC，AD∥BC，∴∠EBA＝30°，∴∠BEF＝60°，在△DAF与△BEF中，∠DAF=∠BEF=60°∠DFA=∠EFB∴△DAF≌△BEF（AAS），∴AF＝EF，∵AE=2，AF＝EF由勾股定理可得，AF2+EF2＝AE2，∴2AF∴AF＝1，∴EF＝1，∵∠EBF＝30°，∴BE＝2EF＝2，由勾股定理可得，BF=B∴AB=AF+BF=1+3故选：D．10．【解答】解：乙：由作图可知，AM平分∠BAD，CN平分∠BCD，∴∠BAM＝∠DAM，∠BCN＝∠DCN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAM＝∠BMA，∠DNC＝∠BCN，∴∠BAM＝∠BMA，∠DNC＝∠DCN，∴AB＝BM，CD＝DN，∴BM＝DN，∴AN＝CM，AN∥CM，∴四边形ANCM是平行四边形；甲：由作图可知，BM＝BA，DN＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴BM＝DN，∴CM＝AN，CM∥AN，∴四边形ANCM是平行四边形；故选：C．二．填空题（共6小题）11．【解答】解：∵AB＝CD，∴当AD＝BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形，故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．12．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠B+50°，∴∠B＝65°，∠A＝115°，故答案为：65．13．【解答】解：根据平行四边形的对角线互相平分，且根据三角形三边之间的关系可知，分三种情况讨论：（1）可用5cm，4.5cm的两条线段为对角线，4cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是2.5cm和2.25cm，2.5+2.25＞4，因而能构成平行四边形；（2）可用4.5cm，4cm的两条线段为对角线，5cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是2cm和2.25cm，根据2.25+2＜5，故不能构成平行四边形；（3）可用5cm，4cm的两条线段为对角线，4.5cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是2.5cm和2cm，根据2.5+2＝4.5，故不能构成．则可以画出形状不同的平行四边形个数为1个．故答案为：1．14．【解答】解：根据等底、等高的三角形的面积相等，可知S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△BDC；故答案为：ABC，BCD．15．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝12，∴AD∥BC，OB=OD=1∴∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC，∴△OAF≌△OCE（AAS），∴OF＝OE，∴EF＝2OF；∵EF⊥BD，∴∠FOD＝90°，∵∠ADB＝30°，∴DF＝2OF，∴OD=D∴OF=23∴EF=43故答案为：4316．【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于F，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC=A∵S△ABC∴CF=3∵四边形ADCE是平行四边形，∴AB∥CD，∴当DE⊥AB时，DE有最小值，此时：CF=DE=3故答案为：37三．解答题（共7小题）17．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=BC∠ADE=∠CBF∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB．18．【解答】证明：∵BE，CD都是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12∵F，G分别是OB，OC的中点，∴FG∥BC，FG=12∴DE∥FG且DE＝FG，∴四边形DEGF是平行四边形，∴DF＝EG．19．【解答】证明：法一：在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OM＝ON，∵∠AOM＝∠CON，∴△AOM≌△CON（SAS），∴AM＝CN．法二：连接CM、AN，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∴AM＝CN．20．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，在△ADE和△BCF中，∠ADB=∠CBD∠AED=∠CFB∴△ADE≌△BCF（AAS），∴AD＝BC，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．21．【解答】（1）解：∵CA＝AD，∠CAD＝50°，∴∠ADC＝∠ACD=1∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°；（2）证明：∵四边形EHFG和四边形ABCD是平行四边形，∴OE＝OF，OA＝OC，∴OA﹣OE＝OC﹣OF，即AE＝CF．22．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形；（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，∴BD＝EF，∵D是AC的中点，AC＝12cm，∴CD=12AC＝6（∵∠ACB＝90°，∴BD=CD2∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．23．【解答】解：（1）AE＝FC，理由：∵O是▱ABCD对角线的交点，∴BO＝DO，AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，在△DEO和△BFO中，∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，BO＝DO，∴△DEO≌△BFO（SAS），∴DE＝BF，∴AD﹣DE＝BC﹣BF，∴AE＝FC；（2）AC'∥EF，理由：∵纸片沿过点O的线段EF折叠，点B与点D重合，∴C′F＝CF＝AE，CD＝C'B，∠C＝∠BC'F，∠EOB＝∠EOD＝90°，∵在▱ABCD中，AB＝CD，∠C＝∠BAE，∴AB＝C'B，∠BCF＝∠BAE，在△ABE和△BC'F中，AE＝CF，∠BCF＝∠BAE，AB＝C'B，∴△ABE≌△C'BF（SAS），∴∠ABE＝∠C'BF，BE＝BF，∴∠EBO＝∠FBO，∴∠EBO+∠ABE＝∠FBO+∠C'BF，即∠ABO＝∠C'BO，∵AB＝C'B，∴AC'⊥BP，∴∠APB＝∠EOB＝90°，∴AC′∥EF；（3）AC′∥EF，分别延长ED'和FB交于点I，连接AI，CI，连接IO和AC′交于点J，由（2）得AE＝C'F，∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵纸片沿过点O的线段EF折叠，∴∠D'EF＝∠DEF，∵