《基本初等函数的导数》教案、导学案与同步练习

《5.2.1基本初等函数的导数》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习基本

初等函数的导数

本节内容通对基本初等函数导数公式的介绍，进一步帮助学生理解导数的含义，同时提升学

生对函数导数的求解运算能力，为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，

注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,1.数学抽象：导数的概念

y==\fx的导数.2.逻辑推理：导数及导数的几何意义

3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率

B.掌握基本初等函数的导数公式，并能进

4.直观想象：导数的几何意义

行简单的应用.

【教学重点和难点】

重点：基本初等函数的导数公式的简单应用

难点：根据定义求函数丫=孰y=x,y=x2,y=：,y=SF的导数

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、温故知新

由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。在必修笫一册中我们

学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、

减、乘、除等运算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导通过对上节导数

数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和定义及求导步骤

基本初等函数的导数求出复杂函数的号数。本节我们就来研究这些问题。的回顾，引导学生

二、新知探究

对5个基本函数运

1.求函数在双处的导数的方法.

用定义求导。发展

(1)求Ay=f(Xo4-Ax)—f(x3).

学生数学抽象、数

⑵求变化率学运算、数学建模

的核心素养。

(3)求极限的y'|=f'(xo)=lim

x=x。…AX

2.怎样求导函数？

(1)求改变量Ay=f(x+Ax)-f(x).

/c、4i"3fx+^x-fx

(2)求比值丁•=----7---------.

AxAx

(3)求极限的y'=f'(x)=l[m米.

思考：导数与导函数有什么区别和联系？那么如何求几种常见函数的导

数？

问题1.函数y=f(x)=c的导数

解：因为

Ayf(x+Ax)/(x)

Ax

所以

y'=*+勰o=o

若y=c表示路程关于时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度

始终为0,即一直处于静止状态。通过对5个基本函

数导数的求解，及

其导函数的解释。

—产C

发展学生数学抽

象、数学运算和数

0X

学建模的核心素

问题2.函数y=f(x)=》的导数

养。

解：因为

Ay_/(x+Ax)-r(x)_(x+Ax)-x

AxAxAx

所以

，一UmAV_Um1_1

yFxrO技Fx-O1-1

若y=x表示路程关于时间的函数，则y'=l可以解释为某物体的瞬时速度

始终为1的匀速直线运动。

%

问题3.函数＞=/(¥)=/的导数

解：因为

AyJ(N+Ax)_f(x)七(x+Ax)2r2

AxAxAx

222

_x+2xax+(Ax)-x-2x+.

Ax

所以

V=*翡『33+Ax)=2%

y'=2x表示函数y=/的图像，上点(％y)处切线的斜率为2x,说明随

着》变化，切线的斜率也在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬

时变化率来看，y'=2x表明：

当*＜0时，随着力增加，|y'|越来越小，y=%2减少得越来越慢：

当》＞。时.，随着％增加，|y'|峻米越大，y=/增加得越来越快：

若y=/表示路程关于时间的函数，则y'=2x可解释为某物体做变速运动，

它在时刻》瞬时速度为2xo

原函数导函数

f(x)=c(c为常数)f'(x)=

f(x)=x°(aeQ,且

f'(x)=

aWO)

f(x)=sinxf'(x)=

f(x)=cosXf'(x)=

f(x)=ax(a>0,且aHl)f'(x)=

f(x)=exff(x)=

f(x)=logax(a>0,且

aHl)〃(x)=_______

f(x)=lnx

f*(x)=_

通过基本问题解

0：ax：cosx：sinx：aIna：e：,：决，帮助学生熟悉

xlnax

i.函数y=*在x=2处的导数为________.基本函数导数公

式。发展学生数学

解析：法一(导数定义法)：

抽象、逻辑推理、

..444_Ax2+4Ax

*Ay-Ax+2'22-Ax4-2'1-Ax+2?'

数学运算和数学

AyAx+4建模的核心素养。

,'Ax-AX+22>

limlim

AX2

,H1-ix-仁-^°AX+2-L

法二(导函数的函数值法)：

444Ax2x+Ax

・"x+Ax?x2-X2X+AX2(

.Ay42x4-Ax

,,Ax-xl+Ax”

lim1im

,Ay42x4-Ax8

..y—Ax->0.Ax-0z।<2—3.

AxXx+△XX

1g

:H\x-2=_]=-L

答案：一1

2.常数因数的导数为0说明什么？

提示：说明常数函数f(x)=c图象上每一点处的切线的斜率都为0,即每

一点处的切线都平行(或重合)于X轴.

3.对于公式“若f(x)=x°(。£Q),则C(x)=ax…"，若把“a£Q”

改为“aER”,公式是否仍然成立？

提示：当a£R时，广(x)=ox"f仍然成立.

4.下列说法正确的个数为()

①若y=$，则y'=1x2=l：②若f'(x)=sinx,则f(x)=cosx；

13

③f(x)=—,则f'(x)=一一i.

XX

A.0个B.1个C.2个D.3个

解析：只有③正确.

答案：B

5.(多选)卜列结论止确的是()

A.若y=0,则y'=0B.若y=5x,则y'=5

C.若y=x-1则y'=—x_2D.若y=则y'=$3

答案：ABC

6.若y=cos等，则y'=()

#11

A.-4-B.--C.0D-

乙乙乙

答案：c

7.函数y=/在点G，0处切线的倾斜角为()

JIJInt3n

A•飞B.了C-D—

答案：B

三、

例解析

例1.求下列函数的导数.

1X2

(Dy—x$；(2)y—

(3)y=】gx；(4)y=5M：(5)y=cos^■一x)

［解］(1)Vy='A=x-5,Ay'=-5x-6.

(2)y=4=X2~2=xi,y1=1X2

xz4

(3).y—1gx,..y-xlnw.

(4)Vy=5\"=5xln5.

(5)y=cos^―~—x)=sinx,:=cosx.

1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.

2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本

通过典型例题的

原则，避免不必要的运算失误.

分析和解决，帮助

3.要特别注意△与Inx"，与log“x”，"sinx与cosx”的导数

X学生熟练掌握8个

区别.基本初等函数的

跟踪训练l.求下列函数的导数：导数公式，发展学

X1生数学运完，直观

(l)y=^=1(x>0)：(2)y=sin(n—x)；(3)y=log3x.

想象和数学抽象

［解］(l)・.・y=^=/(x>0),・=(再)'=宗.的核心素养。

(2)y=sin(丸-x)=sinx,.*.yf=cosx.

⑶y'-(】。的)'__dnT

xl丐

例2假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5$,物价P(单位：元)与

时间t(单位：年)有如下函数关系

P(t)=Po(l+5%)。

其中口。为「=0时的物价，假定其种商品的p0=l,那么在第10个年头，这种

商品的价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01兀/年)

解：根据基本初等函数的导数公式表有，

p'(t)=1.05盯nl.05

所以；p'(10)=1.05i°lnl.05=0.08

所以，在第10个年头这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。

跟踪训练2质点的运动方程是S(t)=sint,则质点在1=时的速度为

质点运动的加速度为;

解析：v(t)=S'(t)=cost,

,,,VITI=COS即质点在t=一■时的速度为

Vv(t)=cost,二加速度a(t)=v'(t)=(cost)'=—sint.

［答案］1—sint

例3已知曲线y=±

(1)求曲线在点P(l,1)处的切线方程：

⑵求过点Q(1,0)的曲线的切线方程.

［解〕•»：，・3=-K

AA

(1)显然P(l,1)是曲线上的点，所以P为切点，

所求切线斜率为函数y=1在点P(1,D的导数，

即卜=『(1)=-1.

所以曲线在P(l,1)处的切线方程为y-l=-(x-l),

即为x+y—2=0.

⑵显然Q(l,0)不在曲线y=；上，

A

则可设过该点的切线的切点为A(a,0，

那么该切线斜率为k=f'(a)二一4

a

则切线方程为y—1=一4«—@).①

ad

将Q(l,0)代入方程：。一，=一4(1一a),

aa

得a=J,代入方程①整理可得切级方程为y=-4x+4.

利用导数的几何意义解决切线问期的两种情况

(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数：

(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式

进行求解.

z

跟踪训练3当常数1为何值时，直线yi=x与曲线y2=x4-k相切？请求

出切点.

解：设切点为A(x。，)A+k).2=2X,

r1

x0=5，

2xo=L

•••2♦••《

Xo+k=Xo»T

故当k=［时，直线yi2

=x与曲线y2=x4-k相切，

且切点坐标为^

•

三、达标检测

1.设函数f(x)=cosX,则=()通过练习巩固本

A.0B.1C.-1D.以上均不正确节所学知识，通过

解析：注意此题中是先求函数值再求导所以导数是0学生解决问题，发

答案：A展学生的数学运

2.下列各式中正确的是().算、逻辑推理、直

A.(log.,x);—B.(log^x)—x观想象、数学建模

的核心素养。

C.(3*)'=3xD.(3>=3lln3

解析：由(lo&x)'可知A,B均错：由⑶)'=3小3可知D正

xlna

确.答案：D

3.若f(x)=x:g(x)=x\则满足f'(x)+l=g'(x)的x值为________.

解析:由导数的公式知,f'(x)=2x,gf(x)=3x2.

因为f'(x)+l=g'(x),所以2X+1=3X2,

即3x?—2x—1=0,解得x=l或x=-J.

答案：1或一;

4.设函数f(x)=log.x,f;(1)=-1,则a=_______.

解析：•・•『(x)=~^—,・•・F(1)=；=-1.

xInaIna

Aina=­1,即a=".

e

小生1

答案：-

e

5.求与曲线y=f(x)=M?在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直

线方程.

解：因为y=羽，所以y'=(羽)'=(:)'=*二

9-111

所以f'(8)=qX8、=鼻，即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为亍所以所

JJJ

求直线的斜率为一3,从而所求直线方程为y-8=-3(x-4),即3x+y-

20=0.

6.已知两条曲线丫=5H、，y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点，

使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.

解：由于y=sinx,y=cosx,设这两条曲线的一个公共点为P(xo,yo).

两条曲线在P(xo,yj处的斜率分别为:ki=cosxo»ka=­sinx«.

若使两条切线互相垂直，必须cosxo,(—sinxo)=—1,

即sinXo•cosXo=l,也就是sin2x()=2,这是不可能的.

・•・两条曲线不存在公共点，

使在这一点处的两条切线互相友直.

四、小结

通过总结，让学生

1.基本初等函数的导数公式；进一步巩固本节

2.导数公式的基本运用；所学内容，提高概

括能力。

【教学反思】

从学生上节已解决的问题出发，引导学生对5个基本函数运用定义进行求导，并通过思考、

讨论、进一步现解导数的含义，进而给出8个基本初等函数的导数公式，并通过解题训练,

掌握基木初等函数的导数公式。

《5.2.1基本初等函数的导数》导学案

【学习目标】

1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=：,y=y的导数.

2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用.

【重点和难点】

重点：基本初等函数的导数公式的简单应用

难点：根据定义求函数丫=酬y=x,y=x2,y=，y=4的导数

【知识梳理】

原函数导函数

f(x)=c(c为常数)f'(x)=

f(x)=xa(aeQ,且

fZ(x)=

a#0)

f(x)=sinxf(x)=

f(x)=cosXfZ(x)=

f(x)=ax(a>0,且aWl)fZ(x)=

f(x)=exf'(x)=

f(x)=logai(a>0,且

arl)f'(x)=______

f(x)=lnx

f(x)=_

4

1.函数y=F在x=2处的导数为_______.

X

2.常数函数的导数为0说明什么？

3.对于公式“若f(x)=x°(a£Q),则f'(x)=ax°f',若把“a£Q”改为“a£R”，

公式是否仍然成立？

4.下列说法正确的个数为()

①若y=/，则y'=；X2=1；②若f'(x)=sinx,则f(x)=cosx；

13

③f(x)=7，则f‘(x)=一不

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.(多选)卜列结论止确的是！)

A.若y=0,则y'=0B.若y=5x,则y'=5

C.若y=x-'，则y'=-X-'D.若y=;d,则y'=*马

6.若丫=3号-,贝I]3」=()

A.B.一；C.0D.J

乙乙乙

7.函数y=/在点G，，处切线的倾斜角为()

nntn3n

A.-B.-C.-D.—-•

6434

【学习过程】

一、学习导引

由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数,

并R知道，很多分杂函数都是通过对这些函数讲行加、减、乘、除等运筒得到的。由此自然

想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用

导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。本节我们就来研究这些问题。

二、新知探究

1.求函数在X。处的导数的方法.

⑴求Ay=f(xo4-Ax)-f(Xo).

⑵求变化率

0X&X

(3)求极限的y'I=f'(XD)=lim[±

X=Xox

Ax-0

2.怎样求导函数？

(1)求改变量Ay=f(x4-Ax>—f(x).

AVfx+AX-fx

⑵求比值不

Av

(3)求极限的y'=f'(x)=Lim不\

%»-*n

思考：导数与导函数有什么区别和联系？那么如何求几种常见函数的导数？

问题1.函数y=/■(%)=c的导数

若y=c表示路程关于时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直

处于静止状态。

问题2.函数y=/(x)=x的导数

若y=x表示路程关于时间的函数，则y'=l可以解释为某物体的瞬时速度始终为1的匀速直

线运动。

问题3.函数y=/(%)=/的导数

y'=2x表示函数y=/的图像，上点(%,y)处切线的斜率为2x,说明随着为变化，切线的

斜率也在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y'=2x表明；

当xv0时，随着x增加，|y'|越来越小，y=/减少得越来越慢；

当x>0时，随着x增加，|y'|越来越大，y=M增加得越来越快；

若y=/表示路程关于时间的函数，则y'=2x可解群为某物体做变速运动，它在时刻“瞬时速

度为2x°

三、典例解析

例1.求下列函数的导数.

1X2

(l)y=­：(2)y=-r^：

XA/X

(3)y=lgx；(4)y=5'；(5)y=cos

1.若所求函数符合导数公式，则宜接利用公式求解.

2.对于不能直.按利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必耍

的运算失误.

3.要特别注意/与Inx"，“a”与log.x"，“sinx与cosx”的导数区别.

X

跟踪训练1.求下列函数的导数:

⑴y=J(x>0)；

(2)y=sin(K—x)；

(3)y=log3x.

例2假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5%,物价P(单位：元)与时间t(单位：年)

有如下函数关系

p(t)=PO(I+5%y,

其中Po为t=o时的物价，假定某种商品的Po=l,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨

的速度大约是多少？(精确到0.01元/年)

跟踪训练2质点的运动方程是S(t)=sint,则质点在弋=时的速度为；质点运动

的加速度为

例3已知曲线y=,.

(1)求曲线在点P(l,l)处的切线方程；

⑵求过点Q(l,0)的曲线的切线方程.

利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数：

(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.

2

跟踪训练3当常数k为何值时，直线y.=x与曲线y2=x+k相切？请求出切点.

【达标检测】

1.设函数f(x)=cosx,则|"1马7=()

A.0B.1C.-1D.以上均小止确

2.下列各式中正确的是()

c八\,In10

A.(log,,x)'=~B.(log.,x)=—;—

X

C.(3>=3xD.⑶)'=3*ln3

3.若f(x)=x',g(x)=x\则满足f'(x)+l=g'(x)的x值为

4.设函数f(x)=log.、x,f'(1)=—1,则a=.

5.求与曲线y=f(x)=M?在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程.

6.已知两条曲线y=sinx,y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处,

两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.

【参考答案】

知识梳理

0；axa-1：cosx；-sinx；axlna：ex；—：-

xlnax

1.解析：法一(导数定义法):

・•444_Ax"-t-4Ax

*Ay=Ax+22-?=Ax+22_1=__Ax+22*

.Ay△x+4

**A7=—AX+2'”

limlim

"IE=AXT崇=_AX_O£^=_L

法二（导函数的函数值法）:

44__4Ax2x+Ax

•••Ay=——-

x+AX7=x'+Ax?'

.Ay42x+Ax

:后=-八+3

limlim

42x4-Ax8

・・y=Ax-Ax-~।4~2=~~

XX十AXX

:•寸|1=2=-p=-l-

答案：一1

2.提示：说明常数函数£（、）=（:图象上每•点处的切线的斜率都为0,即每•点处的切线

都平行（或重合）于x轴.

3.提示：当a£R时，?（x）=ax"T仍然成立.

4.解析：只有③正确.

答案：B

5.（多选）答案：ABC

6.答案：C

7.答案：B

学习过程

一、新知探究

问题1.解：因为

Ayja+Ax）-/（x）

Lx~Ax

所以

广/梦酬0=0

问题2.解：因为

_(x+Ax)r_］

AxAxAx

所以

y-Ax-o菽-i-i

问题3.解：因为

△yJ(X+3Af(X)(X+AX)2-X2

△XAXAX

X2+2XAX+(AX)2-X2r.A

二------------------A--x-------------------=2x+Ax

所以

广*去/(2"Ax)=2%

二、典例解析

例1.［解］(l)Vy=A=x-5,.'.y,=-5x-fi.

X

跟踪训练1.［解］(l)：y=^=#(x>0),，y'=(4)'=负三

(2)y=sin(n—x)=sinx,:=cosx.

(3)y，=(碍)=竟一肃.

xln3

例2解：根据基本初等函数的导数公式表有，

p，⑴=1.05£lnl.05

所以：p*(10)=l.O5lolnl.O5«0.08

所以，在第10个年头这种商品的价格约以0.08元/仟的速度上次。

跟踪训练2解析：v(t)=Sf(t)=cost,

•••V(T")=COSq~=1.即质点在t=q■时的速度为1

Vv(t)=cost,，加速度a(t)=v'(t)=(cost)，=—sint.

［答案］1—sint

例3［解］y=±，y'=-V

XX

⑴显然P(l,l)是曲线上的点，所以P为切点，

所求切线斜率为函数y=1在点P(l,l)的导数，

X

(D--1.

所以曲线在P(l,1)处的切线方程为y—l=—(x—D,

即为x+y—2=0.

⑵显然Q(l,0)不在曲线y=」匕

则可设过该点的切线的切点为A(a,})，

那么该切线斜率为k=f'(a)=-4

a

则切线方程为y-」=-±(x-a).①

aa

将Q(l,0)代入方程:0--=-7(1—a),

aa

得a=1,代入方程①整理可得切线方程为y=-4x+4.

跟踪训练3解：设切点为A(x°,x：+k).•・、'2=2X,

［2xo=l,.卜=5'

*.xo4-k=xo,,I1

［k=(

故当k=［时，直线y尸x与曲线y2=x?+k相切，

且切点坐标为七，

达标检测

1.解析：注意此题中是先求函数值再求导所以导数是0

答案：A

2.解析：由(log“x)'=-7=，可知A,B均错：由⑶)'=3>ln3可知D正确.

xlna

答案：D

3.解析：由导数的公式知,f，(x)=2x,g'(x)=3x2.

因为(x)+l=g'(x),所以2X+1=3X2,

即3x?—2x—1=0,解得x=l或x=-J.

o

答案：l或一J

4.解析：•••『(x)=77—.

Ailla

1

答案：一

e

5.解：因为y=M?,所以/=(羽)，=(我)'

J

2-11]

所以伊(8)=qX83=l，即由线在点P(8,4)处的切线的斜率为《所以所求直线的斜率为一

oo<5

3,从而所求直线方程为y-8=-3(x-4),即3x+y-20=0.

6.解：由于y=sinx,y=cosx,设这两条曲线的一•个公共点为P(xo,yj.

，两条曲线在P(x(>,yo)处的斜率分别为：ki=cosxo,k2=—sinx0.

若使两条切线互相垂直，必须cosxo•(—sinxo)=-1,

即sinxo•cosxo=l,也就是sin2x0=2,这是不可能的.

一.两条曲线不存在公共点，

使在这一点处的两条切线互相垂直.

《5.2.1基本初等函数的导数》基础同步练习

一、选择题

1.函数/(”)=lnx的导数是()

x

A.xB.-C.\nxD.e

x

2.已知/(x)=cos3(y,则f'(x)的值为()

3.若f(x)=w,则r⑴等于()

ii

A.0B.—C.3D.—

33

4.已知函数/Ct)=V,/'(外是的导函数，若/'(%)=12,则.％=()

A.2B.-2C.±2D.±72

5.(多选题)下列求导运算,误的是()

A

A.(cosx)'=sinxB.(3、)=3Iog3e

a(心)'=焉D-卜')'=-2』

6.设工(x)=sinx,£(x)=/(x),力(x)=£(x),…,嘉(x)=£(x),〃wN,则

力020(x)=()

A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx

二、填空题

7.函数丁=10823的导数为.

8.已知/(x)=21则/'(+)=.

9.曲线y=N)在/=2处的导数为12,则〃=_______.

10.已知函数/(X)=sinx,，+[(x)=£：(x)，则&020T-

三、解答题

11.求F列函数的导数：

(1)y=尿:

,冗]

(2)y=cos--X；

12.曲线)，=2J7在点(1,2)处的切线方程为.

《5.2.1基本初等函数的导数》答案解析

一、选择题

1.函数f(x)=lnx的导数是()

A.xB.-C.InxD.ex

x

【答案】B

【详解】因为=所以1(x)=L

X

2.已知J'(x)=cos30,则f'(x)的值为()

116

A.——B.一C.--D.0

222

【答案】D

【解析】•.・/(x)=cos30=等，因此，r(A)=O.

3.若f(x)=&则/⑴等于()

11

A.0B.—C.3D.—

33

【答案】D

【详解】因为〃力二加，则:(x)=L：所以/()=；.

33

4.已知函数/(x)=V,/⑴是/⑴的导函数，若/'(%)=12,则与二()

A.2B.-2C.±2[).±y/2

【答案】C

【解析】依题意故3片=12,解得工=±2.

5.(多选题)下列求导运算锁掌的是()

X

A.(cos.r)=sinxB.(3")=3log3e

C.(igx7V=-----D.(x'2)f=-2x-1

、A-In1()

【答案】C

【详解】(cosx)'=—sinx，故A不正确；(3j=3Fn3,故B不正确;

(igxY=—,故C正确：(厂2)'=一2r2-1=一2工-3,故D不正确.

xln1()')

6.设力(x)=sinx,人(x)"(x),力(x)=£(x),…,£+G)=£(x),〃wN,则

力020(x)=()

A.sinxB.—sinxC.cos.rD.r

【答案】D

【详解】vfxM=sinx,(x)=(sinx)=cosx»

f2M=fi(x)=cosx,f3(x)=f2(x)=(cosx)=-sinx,

/(x)=£(x)=(—sinx)'=-cosx,f5(x)=f4(x)=(-cosx)=sinx,

由此可知:Z>+4W=fnM,neN,r.f^i2(x)=f4(x)=-CQSx.

二、填空题

7.函数y=log2%的导数为.

【答案】工

xln2

【解析】由换底公式可知，/(x)=log,x=^,AfXx)=-L-

-ln2xln2

8.已知/(x)=2、，则.

【答案】0n2.

【解析】因为/(力=2,所以/'(x)=21n2,所以｛七)=/'(陛20)

=25n2=eln2.

9.曲线y=f(〃£N)在工=2处的导数为12，则〃=.

【答案】〃=3

【解析】由)，=/，得)/=/『'又曲线y=x”在汇=2处的导数为12,

所以〃・2"T=12,〃=3.

/\

10.已知函数/(X)=sinx,0+1(x)=£：(x),则力.20~7=____.

-W

恪案】当

【解析】工(％)=sinx,/；+1(八)=/；'(1)，故£(x)=cosx,/；(x)=-sinx,74(x)=-cosx,

f5(x)=sinx,周期为4,故%2o(x)=fx5os(x)=-cosx,

『6一⑴16；2

三、解答题

11.求下列函数的导数：

⑴y=■/?:

(71]

(2)y=cos--x：

12)

⑶产⑼.

【解析】(1)y'=([)'=之户

x?

(2)Vy=cos~~x=sirx,，y'=(sinx)'=cosx.

1Zz

(3)/=〔(6)']'=(>/3;MlnV3=i(V3)'ln3.

12.曲线)，=24在点(1,2)处的切线方程为.

【详解】设)，=/("=2«,

贝|J/'(K)=\，

所以r(i)=i,

所以切线方程为即y=x+l.

《5.2.1基本初等函数的导数》提高同步练习

一、选择题

i.已知/(x)=2",则，'(力=(

A.2XB.x・2i[).2A-ln2

C.-8D.-16

3.已知函数/(x)=«,则/'(4)=()

A.-----B.-C.1D.3

44

4.记函数)，=/⑵⑴表示对函数)，=/(A)连续两次求导,即先对y=f(x)求导得

y=f'(x)，再对y=f\x)求导得y=/⑵(x)，下列函数中满足/⑵(x)=f(x)的是()

A./(x)=xB./(x)=sinxa/(x)=e

D./(A)=lnx

5.(多选题)下列求导过程正确的选项是()

da]

A.(―)=A-B.(4x)=--[=C.(X)=ax~D.(logrtA)'=

Xr2yJXX

6.原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产

生碎片形成，这些不稳定的元素在放出a、B、丫等射线后，会转变成稳定的原子，这种

过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展，放射

性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设在放射

性同位素针234的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关

系NQ)=N°2诒，其中No为，=。时处234的含量•已知f二24时，处234含量的瞬时变化

率为-81n2,则N(l20)=()

A.12贝克B.12ln2贝克C.6贝克D.6ln2贝克

二、填空题

7.已知函数〃1)=108“/(〃>0且4。1),/'(M为/(X)的导函数，且满足了'(1)=1,

则。=

8.能说明“若/'(对为偶函数，则/(X)为奇函数”为假命题的一个函数是.

9.若正三角形内切圆的半径为r,则该正三角形的周氏C(r)=6r,面积S(r)=3J，r2,

发现S'(r)=C(r).相应地，若正四面体内切球的半径为r,则该正四面体的表面枳S(r)=

24J3r2.请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积V(r)=(写出关于r的表达

式).

__1_-

(1A2019

10.已知函数/。)=不叫则/［前J=

三、解答题

11.求下列函数的导数.

\X2

(1)y=y：⑵y=丁;(3)y=igx：

/\

T不

(4)y=5；(5)y=cos--x.

I-z

12.已知函数与砌=正■，修j喻=城w.安,，倭e%若曲线9=胤喻与曲线/=式喻相

交，且在交点处有相同的切线，求知的值及该切线的方程.

《5.2.1基本初等函数的导数》答案解析

一、选择题

1.已知/(幻=2)则/'*)=()

2X

A.2XB.x-2x-'C.——I）.2*In2

In2

【答案】D

r详解J由求导公式（〃'）'=/Ina可知r（x）=2'•In2.

2.已知函数/■(.,)=-V，则r

）

X

A.

4

C.—8D.—16

【答案】D

［解析】=3=—,=因此，/(j)=_fiT=T6

xxI2J

3.已知函数/(z)=«,则((4)=()

A.--13.—C.1I).3

44

【答案】B

【详解】•・..="=/,..・小)［，=册"(4)=赤：

4.记函数y=/⑵⑴表示对函数y=/(x)连续两次求导，即先对y=/(x)求导得

y=f\x)，再对y=f\x)求导得y=/(2)(x),下列函数中满足/⑵(灯=/(%)的是()

A./(x)=xB./(x)=sinxC.f(j)=ex

I),/(x)=Inx

【答案】C

【解析】A/⑴=1,Z(2)(X)=00/(x)；8JO)=cosxJ⑶(x)=-sinx^/(x)；

C,/'(x)=e\f{2}(X)=，=/(X)：D,/'(.v)=-J⑶(x)="；w〃%),

.1X

综上可知，只有C满足，2)(x)=/(x),故选c.

5.(多选题)下列求导过程正确的