平面与平面所成的角 重难点挑战 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

平面与平面所成的角一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）如图，在直三棱柱中，，若点在棱上，二面角的大小为，则的长为(

)A.

B.

C.

D.如图，在四棱锥中，平面平面，且底面是矩形，若，，则二面角的余弦值是

A. B. C. D.如图所示，是棱长为的正方体，，分别是棱，上的动点，且当，，，四点共面时，平面与平面所成夹角的余弦值为(

)A.

B.

C.

D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）正方形沿对角线折成直二面角，下列结论正确的有(

)A.与所成的角为

B.与所成的角为

C.与面所成角的正弦值为

D.平面与平面的夹角的正切值是在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(

)A.

B.异面直线与所成角的余弦值为

C.平面的一个法向量为

D.二面角的余弦值为三、填空题（本大题共1小题，共5.0分）如图，在长方体中，，，点在棱上，若二面角的大小为，则

．四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分

如图，在中，，，分别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图，连结，．

求证：平面平面；

线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．本小题分如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．

证明：直线平面：

点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值

本小题分四面体中，，是上一动点，、分别是、的中点．当是中点，时，求证：；，当四面体体积最大时，求二面角的平面角的正弦值．本小题分

如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为．

Ⅰ求证：平面；

Ⅱ求二面角的余弦值．

答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】本题考查二面角及空间距离，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题，

以为轴建立坐标系，则，从而可得平面的法向量、平面的法向量，根据二面角的大小为，即可求得的长．【解答】解：以为轴建立坐标系，

则，

平面的法向量为，

设平面的法向量为

即

，得

令，得平面的法向量为，

则，

．

故选A．

2.【答案】

【解析】【分析】本题考查了利用空间向量求二面角的大小，属于中档题．

在平面内作，垂足为，可得平面，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．【解答】解：在平面内作，垂足为，

可得平面，

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系．

由已知可得，，，，

所以，，，．

设是平面的法向量，

则

即

取，得

设是平面的法向量，

则即

取，得，

则，，

知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为．

故选B．

3.【答案】

【解析】【分析】本题考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．

建立空间直角坐标系，由题意知：当，时，，，、共面，由此利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．【解答】解：以为原点，，，

所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

由题意知：当，时，，，、

共面，

设平面的法向量为，

，，，

，，

则，取，得，

设平面的一个法向量为，

，，

则，取，得，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

故选B．

4.【答案】

【解析】【分析】本题考查空间角的计算，一般根据几何体的特征合理建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量、平面的法向量的夹角来计算空间角的大小，本题属于中档题．

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各选项中的直线的方向向量、平面的法向量后可得向量的夹角的余弦值，从而得到相应的空间角的三角函数值．【解答】解：取的中点，连接，则，正方形沿对角线折成直二面角，故平面平面，而平面平面，平面，故平面．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，．，因为，故，异面直线与所成的角为，故A错误；，，故B正确；设平面的法向量为，则

取，得，，设与面所成角为，则，故C错误；易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则取得，，设两个平面的夹角为为锐角，则，故，故．平面与平面的夹角的正切值是，故D正确．故选：．

5.【答案】

【解析】【分析】本题考查空间向量的应用，涉及异面直线所成角，二面角，平面的法向量．

由题意标出各点坐标，由向量的坐标表示可判断；由异面直线所成角的向量表示可判断；由平面的法向量可判断；求得平面

的一个法向量和平面

的法向量，由向量的夹角公式可判断．【解答】解：由题意可得，

，

，

，

，

，

，，

选项A所以

，则A正确；

选项B

，

，

所以

，

所以异面直线与所成角的余弦值为

，则不正确；

选项C：设平面

的一个法向量为

，

由，

，

则

，所以

，

取

，得

，则C正确；

选项D：由上可得平面

的一个法向量为

，

又平面

的法向量为，

则

，

又二面角

为锐二面角，

所以二面角

的余弦值为

，则D正确．

故选：．

6.【答案】

【解析】【分析】本题考查利用空间向量求二面角，属于中档题．

建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式进行求解即可．【解答】解：以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设．

则，，，，．

，

，

，

设平面的法向量为，

可得，，

即，

令，则，，

，

平面，

可取作为平面的法向量，

由题意可得，即，解得．

其中不符合题意，应舍去，．

．故答案为．

7.【答案】证明：因为，分别为，中点，

所以，

因为，

所以，

所以，

因为，

所以，

又因为，，平面，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面；

解：因为，，，所以，，两两互相垂直，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意由，，，，

假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为，

设，，

则，

即，

所以，

，，

易得平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量，

则有

令，则，

若二面角的余弦值为，

则有

，

由，解得．

故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且．

【解析】本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法求二面角的余弦值解决探索性问题，属于拔高题．

推导出，，则可得，，从而平面，由此能证明平面平面；

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且．

8.【答案】解：证明：取的中点，连接，，

因为是的中点，

所以，，

又，，

，

，

四边形是平行四边形，

可得，

又平面，平面，

直线平面；

如图所示，取中点，连接，，

由于为正三角形，则，

因为侧面底面，平面平面，侧面，

所以平面，

又平面，

所以．

因为，且，

所以四边形是矩形，

所以，

以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

不妨设，则，．

又因为为直角三角形，，

所以．

作，垂足为，连接，

因为，所以，

又平面，所以平面，

所以即为直线与平面所成的角，即．

设，因为，

所以，．

因为，所以，

即，解得，

所以，，

所以，，，，

则，，．

设平面的法向量为，

则，即

可取，则，

又平面的法向量可令，

所以．

因为二面角是锐二面角，

所以其余弦值为．

【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间向量求二面角夹角，考查空间想象能力以及计算能力，属于拔高题．

取的中点，连接，，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．

取中点，连接，，作，垂足为，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，即可求出二面角的余弦值．

9.【答案】解：取的中点，连接，，，连接，过作

的平行线交

于点，

，，

此三棱锥是正四面体，为的中心，平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，可知，

，，，，

，，，，，，，

，

，

，；如图，取的中点，连接，，，

，

，

均为等边三角形，，，，平面，平面，，设

，则

，，，，当

，即

时，四面体体积有最大值，此时，

，，为等腰直角三角形，即，如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，

，，，设平面的法向量为

，由

，得，

，取，设平面的法向量为

，由

，得，取，

设二面角的平面角为，

，

，故二面角的平面角的正弦值是．

【解析】本题考查了利用空间向量判定线线的垂直和求二面角，属于难题．

当时，四面体是正四面体，通过正四面体的性质建立空间直角坐标系，通过计算得，从而得证．取的中点，连接，，，易证明，设，利用勾股定理计算得到，利用体积公式，进行求解即可．

10.【答案】Ⅰ证明：因为平面，平面，

所以，在正方形中，，

因为

所以平面；

Ⅱ解：因为，，两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示，

因为与平面所成角