立体图形的直观图课件（第一课时）2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图（第一课时）学习目标1.理解“斜二测画法”的概念，掌握其“横不变、纵减半、平行性不变、z轴线段保长”的核心规则。2.能熟练运用斜二测画法画出水平放置的简单平面图形（正多边形、直角梯形等）的直观图。情景导入前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习直观图的有关知识。情景导入请你说出下面几何体分别是什么几何体？长方体五棱锥圆柱圆锥圆台四棱台这些图形就是空间几何体的直观图把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单。要把立体图形画在纸上或黑板上，实际上是把本来不完全在同一个平面内的点的集合，用同一个平面内的点来表示。这时画在纸上或黑板上的图形，已经不是普通地平面图形，而是立体图形的直观图。立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。情景导入如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。新知探究要画出空间几何体的直观图,应先学会水平放置的平面图形的的画法．例如：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．x..........yo解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系；新知探究②建立∠x’o’y’=45°的坐标系③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半.....X’.....y’O’x..........yo4.1指数

4.1.1n次方根与分数指数幂敲黑板斜二测画法画出水平放置的平面图形直观图的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴与y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，他们确定的平面表示水平面；（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.敲黑板已知图形直观图画轴，横不变，纵减半，平行重合不改变画出水平放置的正方形的直观图小试牛刀用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）相等的线段在直观图中仍然相等.（）（2）平行的线段在直观图中仍然平行.（）（3）一个角的直观图仍是一个角.（）（4）相等的角在直观图中仍然相等.（）（5）三角形的直观图还是个三角形.

（）（6）菱形的直观图还是个菱形.

（）（7）平行四边形的直观图还是平行四边形.

（

）√×√×√×√典例讲解例1

用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.【注意】(1)建系时要尽量考虑图形的对称性；(2)画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．画法：①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O．画对应的x′，y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′Oy′=45°.典例讲解②以O′为中心，在x′上取A′D′=AD，在y轴上取.以点N′为中心，画B′C′∥x′轴，并等于BC，再以M′为中心，画E′F′∥x′轴，并等于EF.【注意】水平放置的线段长不变，垂直放置的线段长变为原来的一半．典例讲解③连接

并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图不变的：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度变化的：垂直关系，角的大小，其他线段的长度简记为：【注意】斜二测画法要点剖析:在直观图中“变”的量与“不变”量横不变,纵减半,平行性不变小试牛刀用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形.yxOyxOyxOyxOACBDABCABCDABCDEy′x′O′y′x′O′y′x′O′y′x′O′A′B′C′D′A′B′C′D′A′B′C′A′B′C′D′E′敲重点通过斜二测画法我们知道，一个圆水平放置的直观图是椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.还有正方形和矩形水平放置的直观图都是平行四边形.ACBDA′B′C′D′ABCD敲重点画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画图时，常用如图椭圆模板。典例讲解例2已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。解：画法：典例讲解典例讲解典例讲解典例讲解例3已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。解：（1）画轴。如图，画x轴，y轴，z轴，使典例讲解AB（2）画下底面。以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA=OB=1cm,利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点。这个椭圆就是圆柱的下底面。（3）画上底面。在Oz上截取点，使=3cm，过点

作平行于Ox的轴。类似下底面的做法作出圆柱的上底面。典例讲解

（4）成图。连接，整理得到圆柱的直观图。敲重点圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。典例讲解例4某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图。典例讲解例5已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为典例讲解敲重点(1)直观图还原平面图形的策略还原的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为斜二测直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.(2)若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝.当堂检测×