江苏省南京市四校2026届高三上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市四校2026届高三上学期12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，则，又，则.故选：C.2.若（为虚数单位），则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，其虚部为，故选：B.3.设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A､B､C三点不共线,∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2•>0与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件.故选：C.4.已知等比数列满足，，记为其前项和，则（）A. B. C.7 D.14【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，；将，，代入中，得，化简得；所以.故选：B.5.已知实数满足，则最大值为（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】解法（1）：由，令，即，，，即最大值为2；解法（2）：当且仅当，即时取等号，，即最大值为2，故选：A.6.若函数及其导函数满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，因为，所以，解得，所以，令，可得，解得.故选：D.7.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】椭圆的焦点在轴上，，直线，与椭圆都相切，，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角，

点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：，又，；椭圆离心率，，.故选：B.8.函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，又因为，且，则，若在上单调递增，所以，所以，因为对任意的实数，在上不单调，所以的周期，所以，所以．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（）A.若，则为等腰三角形B.若，则为锐角三角形C.在锐角三角形中，不等式恒成立D.若，，且该三角形有两解，则b的范围是【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以由正弦定理得，又A，B为的内角，，则，即，故A正确；对于B，由余弦定理可得，则角为锐角，不能得到为锐角三角形，故B错误；对于C，因为是锐角三角形，所以，所以，又，所以，又因为在单调递增，所以，C正确；对于D，因为，，且该三角形有两解，所以，即，故D正确．故选：ACD.10.已知定义在上的函数不是奇函数，且，，则（）A.B.，C.的解析式可以是D.若的解析式是，则实数的最小值为【答案】BD【解析】对于A，因为函数不是奇函数，且，所以无法判断是否成立，例如：设，显然不是奇函数，且存在，但，故A错误；对于B，因为函数不是奇函数，所以，故B正确；对于C，若，令，即，即，当时，方程化为，解得（舍去）；当时，方程化为，无实数解；当时，方程化为，解得（舍去）.综上，不存在，故C错误；对于D，函数显然不是奇函数，若，，当时，，则，得，当时，，则，得，当时，则，得，综上，，故实数的最小值为，故D正确.故选：BD.11.在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点M在线段上运动（不含端点），则（）A.存在点使得B.四棱锥外接球的表面积为12πC.直线与直线所成角为D.当动点到直线的距离最小时，过点A，D，M作截面交于点N，则四棱锥的体积是1【答案】BCD【解析】如图1，取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，则．又因为，所以，又，，平面，所以平面．因为平面，平面，所以不成立，A错误．

因为为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面作为底面一部分，补成棱长为的正方体．如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确．如图2，直线与直线所成角即为直线与直线所成角，而是正三角形，故该夹角为，C正确．如图1，因为平面，当动点到直线的距离最小时，由上推导知，，，，，，，因此为的中点，如图3，由为的中点，即为中点，平面即平面与的交点也即为与的交点，可知为的中点，故，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则__________．【答案】【解析】由且，得，则．故答案为：.13.已知圆O的半径为2，点A，B在圆O上，点C在圆O内，且，则的最小值为______.【答案】【解析】因为，所以，又，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故答案为：.14.已知数列中，，正项数列的前n项和为，且，若，则的最大整数值为_____.【答案】88【解析】已知，递推关系，即，移项可得：，设，即，所以是首项为，公比为2的等比数列，.因此，.又因为，则，又因为是正项数列，故.数列的前项和，由于放缩法：且，证明如下：因为，所以，则，由于，所以，则，即.综上，不等式成立；同理可证得.所以当时，，因此；当时，，故.当时：，当时，.所以，因此，满足的最大整数为88.故答案为：88.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，．（1）求；（2）若，的面积为，点在边上且，求线段的长．解：（1）在中，由正弦定理得：，可得，又，所以，所以，即．因为，所以，所以，可得．（2）因为的面积为，，由（1）知，所以，得，所以，可得，所以，所以．在直角中，，可得.16.已知数列的前项和，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，求数列的前n项和.（1）证明：由题意可知，当时，，因为，解得，当时，，化简得，因为，所以，则，即，可知数列是以1为首项，1为公差的等差数列.（2）解：由（1）可知，，则，则，则，可得，解得.17.如图，在三棱柱中，为等腰直角三角形，，，，为棱的中点，为棱上的一点.（1）求证：平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.（1）证明：因为，所以侧面为矩形，故，又，即，且，平面，所以平面，而平面，故，又，，故为等边三角形，所以，因为是线段的中点，故，且，平面，故平面，因为平面，故，又，所以平面.（2）解：由（1）知，平面，又平面，故平面平面，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，过点C在平面内作垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由（1）知为等边三角形，故为等边三角形，且轴，所以，，，，，，设，，，则，解得，故，易得平面的一个法向量为，设平面的法向量，则，令，则.记平面与平面夹角为，故，整理得，解得或（舍去），所以.18.已知椭圆：，短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.设椭圆E的左右顶点为A，B，直线交椭圆E于M，N两点（不与A，B重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，且.（1）求椭圆方程；（2）求证：直线过定点；（3）弦的中点为，直线与椭圆交于P，Q两点，求四边形面积S的取值范围.（1）解：由题意可得，则，，则，所以椭圆的标准方程为；（2）证明：连接，设，，而，，因为，所以，则，因为，所以，设直线的方程为，则，得，，，，则，化简可得，所以，因为，所以，解得，所以直线的方程为，故恒过定点；（3）解：因为，所以，设直线的方程为，即，则，得，故，则到的距离为，到的距离为，且与异号，故，所以，由（2）可知，所以，所以且，所以的取值范围为.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若对于任意的，恒成立，