江苏省南通市如皋市2026届高三上学期教学质量调研(二)数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市如皋市2026届高三上学期教学质量调研(二)数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故选：C.2.已知全集，集合，则（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】不等式，解得，即，而，所以或.故选：D.3.一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（）A.10 B.11 C.12 D.14【答案】A【解析】该组数中位数为，70百分位数为，所以，故.故选：A.4.已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】双曲线的顶点到渐近线的距离为，即，又，则，即，则离心率.故选：A.5.已知等比数列前项和为，若，，则（）A.128 B.255 C.256 D.511【答案】B【解析】设等比数列的公比为且，由，得，解得，由，得，即，而，因此，经验证符合题意，所以.故选：B.6.在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则面积为（）A.12 B.9 C.6 D.3【答案】C【解析】在中，由及余弦定理，得，整理得，因此，而，则，又，于是，，而，则，所以面积.故选：C.7.已知函数的图象关于点对称，则（）A. B.10 C.2 D.【答案】C【解析】函数，则，由函数的图象关于点对称，得恒成立，即恒成立，因此，解得，所以.故选：C.8.已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，，则，则圆锥母线，底面半径，高，圆锥内能放入的最大球即为圆锥的内切球，且其半径为，轴截面如图所示，，得，则，而，设水面高度为，则，得.故选：D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数D.当时，曲线与有4个交点【答案】ABD【解析】观察函数的图象，得，最小正周期，解得，由，得，而，则，对于A，，故A正确；对于B，由，得，则或，解得或，又，则，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象，如图，作出符合题意的图形，观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确.故选：ABD.10.在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（）A.平面B.若与平面所成角为，则点的轨迹长度为C.当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个D.当时，四面体外接球体积为【答案】AD【解析】选项A：，为中点.连接，交于点，则为中点，所以.又平面，平面，平面.故A正确.选项B：以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，正方体中，易知平面的法向量为，因为，，，，所以，则，.设与平面所成角为（），则，即，又，，，，所以，即.因为，所以点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆在平面上四边形内的部分（含与四边形的交点），其长度为.故B错误.选项C：由选项B知，点到直线的距离为1.又，所以点到平面的距离为.若点满足到直线与到平面的距离相等，则，即，此时，所以满足条件的点有1个（与点重合），故C错误.选项D：当时，，又，，，设四面体的外接球球心坐标为，半径为，则，解得.所以外接球的体积为.故D正确.故选：AD.11.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】初始时，甲盒有1黑2红，乙盒有1黑2红.选项A：一次操作后，甲盒恰有1黑球（事件）的情况：从甲取红且从乙取红，或从甲取黑且从乙取黑.甲取红的概率为，乙取红的概率为；甲取黑的概率为，乙取黑的概率为.故，A正确.选项B：表示“第二次操作后甲盒有1黑球的前提下，第一次操作后甲盒有0黑球”的概率.第一次操作后甲盒有0黑球（）：甲取黑、乙取红，概率.第二次操作后甲盒有1黑球（）的情况：若发生，甲盒0黑3红，乙盒2黑1红，此时从甲取红、乙取黑的概率为，故.若发生，甲盒1黑2红，乙盒1黑2红，此时（同）.若发生，甲盒2黑1红，乙盒0黑3红，此时（甲取黑、乙取红的概率为）.由全概率公式：.由条件概率公式：，B错误.选项C：表示“第一次操作后甲盒有0黑球，或第二次操作后甲盒有1黑球”的概率.由概率的加法公式：.其中.代入得：，C正确.选项D：递推关系：.整理为：.初始值，故.因此，即，D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）12.若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】由题，，若，则，无极值点，若，则单调递增，令得，在上，，单调递减，在上，，单调递增，则的极小值点为，无极大值点，则，得，故答案为：.13.已知随机变量，且，则的展开式中常数项为_________．【答案】60【解析】由随机变量，正态分布关于均值对称，因为，所以和关于2对称，所以，所以二项式为：，又二项展开式的通项为：，令解得：，所以二项展开式中常数项为：，故答案为：60.14.已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为_________．【答案】【解析】由题可得抛物线的焦点，准线方程为：，过作圆的切线，显然切线的斜率存在，不妨设切线方程为：,由于圆的圆心为,半径,则，解得：,根据对称性，不妨取切线斜率为，则切线方程为，联立，得：,解得：或,因为在的上方，所以点,由于过作的垂线，垂足为，则，所以,点到直线的距离,则,故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.中，．（1）求角C；（2）若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积．解：（1）在中，，得，整理得，即，而，解得，又，所以或.（2）由（1）及角C为锐角，得，在中，由正弦定理得，而，则，，因此，所以的面积为.16.已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，．（1）证明：是等差数列；（2）设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围．（1）证明：在正项数列中，，则，所以是等差数列.（2）解：由（1）知，等差数列的首项，公差，则，，，于是，而满足上式，因此，，则，，显然，且数列单调递增，，因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则，所以实数的取值范围是.17.如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，．（1）证明：；（2）求异面直线EF与BC所成角；（3）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长．（1）证明：在圆台中，由为该圆台的母线，得延长线交于一点，而平面平面，平面平面，平面平面，所以.（2）解：连接，由直线为圆台的轴，得延长线交于一点，由（1）同理得，由，得，则，而，因此，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，则，即，所以异面直线EF与BC所成角为.（3）解：由（2）得，设平面与平面的法向量分别为，则，取，得，，取，得，由二面角的余弦值为，得，解得，所以圆台的高的长为1.18.已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若函数为偶函数．①求的值；②证明：不等式恒成立．（1）解：，定义域为，，当时，，在上单调递增，无极值.当时，令，解得，所以在上单调递减，令，解得，所以在上单调递增，则有极小值，无极大值.综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.（2）①解：，因为为偶函数，则，即，化简得，此式对均成立，则，即,所以的值为.②证明：可化为，即证，令，，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以，即，当且仅当时，等号成立，则，只需证对恒成立，令，，令，，因为，，当且仅当时，等号成立，故，所以，即在上单调递增，则，则在上单调递增，则，则对恒成立，故不等式恒成立.19.已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上．（1）求双曲线的方程；（2）如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,．①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程；②