江苏省泰州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省泰州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则直线的方程为（）A B.C. D.【答案】A【解析】由题设，则，可得.故选：A.2.已知函数，则（）A. B. C.0 D.6【答案】D【解析】由题设，对函数求导得，则.故选：D.3.若数列满足，（），则（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】由，，，，，所以是周期为3的数列，则.故选：B.4.已知直线，若，则的值为（）A. B.3 C.-1 D.3或-1【答案】A【解析】当或时两直线不平行，当且时，因为，所以，故选:A．5.若椭圆上存在四个点与椭圆的两个焦点构成一个正六边形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，若为正六边形，为焦点，连接，所以，则，，由，可得.故选：D.6.已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若的公比为，此时、均是常数数列且为0，但不是等比数列，B、D错，若的公比为，此时是常数数列且为0，不是等比数列，A错，若的公比为，，且，则是首项为，公比为的等比数列，C对.故选：C.7.已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】因为，所以在圆内，设的中点为，连接，则，设，因为，则，所以，则，设圆心到直线的距离为，所以在中，即，在中，即，解得，则，故选：D.8.已知函数，若存在，使得，且的最大值为1，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数在上单调递增，在上单调递减，由存在，使，得，则，，因此，令函数，求导得，当时，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则，而的最大值为，于是，解得，此时，符合题意，所以的值为.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（）A.原点到直线的距离为B.任意，点在直线上C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积为D.原点与点关于直线对称【答案】ABC【解析】A：由题设，原点到直线的距离为，对，B：由，所以任意，点在直线上，对，C：令，则，令，则，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，对，D：由原点与点所成直线的斜率为，而直线的斜率为，显然其不与直线垂直，所以原点与点不关于直线对称，错.故选：ABC.10.已知函数，则（）A.当时，在区间上的最大值为2B.当时，2是极大值点C.若在区间上单调递减，则D.若的图象关于点中心对称，则【答案】ACD【解析】对于选项AB：当时，则，，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，可知2是的极小值点，故B错误；且，，所以在区间上的最大值为2，故A正确；对于选项C：由题意可知：，若在区间上单调递减，则在区间上恒成立，因为为开口向上的二次函数，且，则，解得，故C正确；对于选项D：因为，若的图象关于点中心对称，则，即，整理可得，因为不恒成立，则，所以，故D正确；故选：ACD.11.已知为等比数列，，则（）A.若，则数列是递增数列 B.若，则数列是递增数列C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】令的公比为，而，A：若，则，故，则数列是递减数列，错，B：若，则，整理得，可得，则数列递增数列，对，C：若，当时，，构造且，所以，则时，时，故在上单调递减，在上单调递增，所以，显然在上无解，当时，，构造且，所以，故在上单调递增，而时，，时，，显然在上存在一个零点，即在上有一个解，所以，对，D：若，令是的前n项和，则，若，则，且，所以，故，与题设矛盾，若，则，，可得，与题设矛盾，若，则，，可得，构造且，则，则在上单调递增，所以，即在上无解，综上，且，而，所以，则能成立，令且，所以，则时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以，而，所以且，，当时，必有，矛盾，所以，则，D对.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设等差数列的前项和为.若，则______.【答案】【解析】.故答案为：.13.已知点，，动点满足：.若动点的轨迹为曲线，直线过点，写出一个满足“与曲线恰有一个公共点”的直线的方程______.【答案】(填也可)【解析】设，因为点，，且动点满足，所以，整理得，所以曲线方程为，是以为圆心，半径的圆；直线过点且与曲线恰有一个公共点，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即，所以，解得，所以直线的方程为，即或.故答案为：（填也可）14.已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点.若对任意的直线，存在定圆（圆心为定点，半径为定值）内切于以为直径的圆，则定圆的圆心坐标为______.【答案】【解析】由题设，令，联立椭圆得，所以，其中，则，，所以，则，而，所以以为直径的圆的圆心轨迹为，圆的半径，且，所以，设定圆的圆心为，半径为，且圆内切于圆，所以，即，所以，则，整理得，结合圆心轨迹为，则，且，所以，可得，则，所以，可得或（舍），故，则，综上，定圆的圆心，且半径为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点P在抛物线上.（1）若点P的横坐标为2，求点P到抛物线焦点的距离；（2）若点P到抛物线焦点的距离为4，求点P的坐标．解：（1）抛物线得准线方程为，根据抛物线得定义可得：点P到抛物线焦点的距离为；（2）解：设点，根据抛物线得定义可得：点P到抛物线焦点的距离为，所以，则，所以，所以点P的坐标为.16.设为数列的前项和.从下面三个条件中选择一个，使得数列满足，①；②；③.（1）求数列的通项公式；（2）设，若对任意，都有，求实数的取值范围.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.解：（1）选①：时，，则，又，则是首项、公比均为2的等比数列，则；选②：时，，显然也满足，则；选③：时，，与题设矛盾；（2）由（1），则，所以时，时，则，所以上，要使恒成立，只需.17.已知函数，，为实数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若，证明：当时，.（3）当时，讨论在区间上的单调性.解：（1）由题设，则，，所以在点处的切线方程为，所以；（2）当时，且，其中，，所以，，所以恒成立，当时，由且，且，所以，在上恒成立，则在上单调递增，所以，综上，时，得证；（3）由，则，故，当时，恒成立，当且仅当时取等号，所以在上单调递增，当时，令，则，令，则，即上单调递增，，所以使，所以在上，在上，即在上单调递减，在上单调递增，而端点值符号为，即在上恒成立，所以在上单调递减，综上，在上单调递减，在上单调递增.18.在平面直角坐标系中，双曲线：的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，点，与点均不重合.（1）已知直线：，讨论直线与双曲线的公共点的个数；（2）记直线与直线的斜率分别是，.（ⅰ）求证：为定值；（ⅱ）若点是的外接圆的圆心，判断直线的斜率是否存在最值，若存在，求出最值；若不存在，请说明理由.（1）解：由的渐近线为，则与平行或重合，当时，直线与双曲线的公共点有0个，当时，直线与双曲线的公共点有1个；（2）（i）证明：由题设，且可设直线，联立，所以，则，，若，则，，且，所以为定值，得证；（ii）解：设，结合（i）有，且，所以，，联立，则，整理得，所以，则（舍），故，所以，同理，可得，设圆的方程为，所以，又，即，所以，所以，则，所以，得，同理，而，则，令，则，则，即，令，则，故，可得，所以，即的最小值、最大值分别为.19.已知圆：.定义第1次操作为：作半径为（单位：米）的圆与圆关于直线对称.定义第（，，）次操作为：作半径为（单位：米）的圆，使圆与轴相切，且圆与圆、圆均外切.（1）求圆的标准方程；（2）求（用含有的式子表示）；（3）当，时，求证：.（1）解：由题设，则圆心，半径，由圆与圆关