江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.设，则集合中元素的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】因为集合，所以，有6个元素.故选：D.2.已知复数满足，则等于（）.A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.3.若为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（）A.4 B.5 C. D.6【答案】B【解析】为抛物线上一点，则，即，且抛物线的准线为，则点到其焦点的距离为.故选：B.4.已知函数为奇函数，则的值为（）A.0 B. C.2 D.1【答案】C【解析】因为函数为奇函数，当时，，则，所以，又，则，即.故选：C.5.已知第一组数据的平均数为，方差为，第二组数据的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可得，，第二组数据，所以，当且仅当，即第一组数据中所有数据相等时取等号，故选：A.6.函数在区间上的零点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】由题意可知函数在区间上的零点个数，即为函数在上的图象的交点个数；作出函数的图象如图：其中，当时，,由图象可知的图象在上有4个交点，即函数在区间上的零点个数为4，故选：B.7.在无穷正项等差数列中，记为数列的前项和，则“”是“数列是等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设正项等差数列的公差为，若，则，解得，所以，所以，所以数列是公差为的等差数列，故“”是“数列是等差数列”的充分条件；若数列是等差数列，设，（为常数），则，又因为等差数列中，所以，解得，所以，“”是“数列是等差数列”的必要条件；综上“”是“数列是等差数列”的充要条件，故选：C.8.已知双曲线的左、右焦点为，为双曲线的右支上一点，直线与左支交于点，且，的平分线与轴交于点，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的平分线与轴交于点且可得，因为双曲线中，解得，，又因为，所以，结合解得，，所以，即是等边三角形，，所以中由余弦定理可得，即，解得，所以双曲线的离心率，故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（）A. B.C.与的夹角为 D.存在，使得【答案】ABD【解析】对于，，故正确；对于，，，所以，故正确；对于，设与的夹角为，，则，所以，故错误；对于，假设存在，使得，则，因为是单位向量，所以，所以假设成立，故正确.故选：.10.已知直线与圆相交于两点，则下列结论正确的有（）A.直线过一定点B.直线与圆相切C.点到的最大距离为D.的面积恒小于8【答案】BC【解析】对于选项A：将直线方程变形为

，假设直线

过定点

，则

对任意

恒成立，当

时，得

，解得

；当

时，得

，将

代入方程，得

，即

，此式不恒成立，故假设不成立，直线

不过定点，A说法错误；当，时，直线为，当，时，直线为，因为没有交点，所以直线不过定点，A说法错误；对于选项B：圆，即，圆心为，半径，该圆圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，B说法正确；对于选项C：圆的圆心为，半径，圆到直线的距离，所以，即点到的最大距离为，C说法正确；对于选项D：因为，的面积，令，由C选项可得，因为函数在单调递增，在单调递减，所以，所以，所以的面积不恒小于，D说法错误；故选：BC.11.对于等式，如果将视为自变量x，b视为常数，记为，那么为幂函数；如果将视为常数，视为自变量x，c记为，那么为指数函数；如果将a、b视为自变量x，c记为，那么称为幂指函数.关于函数，下列结论中正确的有（）A.函数在上单调递增B.函数有最小值C.当时，方程无实根D.当时，函数有两个极值点【答案】BCD【解析】对于AB，令，则，由，得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，因为可看作由复合而成，且在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，则，由此可知A错误，B正确；对于C，由可得，则，所以，即，而，故当时，无解，即方程无实根，C正确；对于D，当时，，则，令，则，在上单调递增，，当时，，即有且仅有一个零点，设为，则，且，故时，；时，；则在上单调递减，在上单调递增，所以，由，得，令，则，则在上单调递增，而，故，，而，又当时，，故，当时，，变化的幅度远大于变化的幅度，故，则的图象如图示：即有两个变号零点，则函数有两个极值点，D正确，故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知等比数列的前项和为，且.若，则___________.【答案】4【解析】设等比数列的公比为q，由，得，则，则，由得，解得，故答案为：4.13.已知函数在上单调递减，则整数的可能取值为___________.（答案不唯一，只需写出满足条件的一个值）【答案】（答案不唯一，满足的一个整数即可）【解析】因为函数在上单调递减，所以对恒成立，所以解得，所以整数的取值集合为.故答案为：（答案不唯一，满足的一个整数即可）.14.圆柱的轴截面为，为下底面圆的直径，.点为下底面圆周上的一点，平面与上底面的交线为，若四边形为正方形，则四棱锥的体积为___________.【答案】【解析】因为为下底面圆的直径，点为下底面圆周上的一点，所以，因为是圆柱的轴截面，所以平面，因为平面，所以，因为，四边形为正方形，，则由解得，以分别为轴，过点垂直于平面为轴建立如图所示坐标系，则，，，，所以，，，因为，所以，，设平面的法向量，则，解得平面的一个法向量，所以点到平面的距离，所以四棱锥的体积，故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求；（2）若，求AB边上的高.解：（1）因为，所以由余弦定理得，所以，所以因为，所以，又因为，所以，所以；（2）设AB边上的高，由三角形面积公式得，因为，所以，因为为的内角，所以，因为，由正弦定理得，所以.16.在平面直角坐标系中，已知，平面内一动点满足,成等差数列，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于A，B两点.①若点的坐标为，求线段AB的长；②若的面积是面积的3倍，求直线的方程.解：（1）设动点，已知：，，且,,成等差数列，由等差数列性质得：,易得：,所以，根据椭圆定义：，，中心在原点，焦点在轴上，故曲线方程为：.（2）①直线过点,，故直线方程为：，联立：，代入消元并通分得：，解得：，，所以点,,故线段.②当斜率不存在时，即，此时四点共线，不构成三角形，不符合题意.当斜率存在时，设直线为：，，.联立：，展开通分得：，三角形和三角形是同底的，要使三角形的面积是三角形的3倍，即，，，观察发现：，即同号，不妨设：，代入和与积：，，代入得：，化简得：，故方程为：.综上：（1）曲线方程：.（2）①线段.②直线方程：.17.如图，已知多面体中，平面，底面为正方形.（1）求证：平面平面；（2）若，且平面与平面所成角的余弦值为.①求线段的长；②线段上是否存在点，使得平面平面，且满足平面.若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.（1）证明：在正方形中，，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：①以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，得，易得平面的一个法向量为，因为平面与平面所成角的余弦值为，所以，解得，即；②由题意，若存在点，使得平面平面，且满足平面，而平面，平面，则，因为平面，平面，所以平面，设，由①可知，，设平面的一个法向量为，则，取，得，由平面，得，解得，则存在点，使得平面平面，且满足平面，且.18.某地文旅部门为了解天气状况对某景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在该景点共调查了200位游客，调查结果如下表.满意不满意合计晴天80阴雨天40合计140200（1）完善上述表格，并判断能否有的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响；（2）从这200位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们对该景点均满意的概率；（3）当地天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息：若第1天为晴天，则第2天为晴天的概率为，为阴雨天的概率为；若第1天为阴雨天，则第2天为阴雨天的概率为，为晴天的概率为.已知第1天是晴天，求第天仍是晴天的概率，并求前天晴天的天数的期望.附录：.0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1）列联表如下：满意不满意合计晴天8020100阴雨天6040100合计14060200，故有99%的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响；（2）记事件A为两人调查当天的天气状况一致，事件B为他们对该景点均满意，所以（3）由题意知，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以某一天要么是晴天，要么是阴雨天，符合两点分布，记第i天为，所以所以．19.已知函数，直线与曲线相切.（1）求的值；（2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值；（3）若，求证：对任意，有.（1）解：设直线与曲线相切于点处，因为，所以①，又因为②，①②联立解得，.（2）解：由