江西省部分学校2026届高三上学期1月测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省部分学校2026届高三上学期1月测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，解得或，所以集合或，再由集合，可得，所以．故选：A．2.若复数z满足，且z在复平面内对应的点的坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设（a，)，由得，所以，即．故选：D．3.已知双曲线：（，)的一焦点到渐近线的距离为a，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线的焦点为，渐近线方程为，即，.取焦点，渐近线方程，由题意知，整理得.所以，所以.故选：A．4.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，即，可得，所以，则.故选：B．5.已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】以点为原点，以和所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设，，可得，则．故选C．6.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为，所以800片瓦需要的粘土量为．故选：D．7.在锐角中，角的对边分别为，是的中点，满足，，的面积为，则（）A.5 B.6 C.7 D.【答案】C【解析】在锐角中，由，得，解得，因为的面积为，可得，解得，在中，由余弦定理得，联立方程组，解得，或，当时，可得，此时，与题设矛盾，舍去；当时，可得，此时，符合题意．故选：C．8.若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为只有1个极值点，所以，，由，得，设，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，当时，，当时，，当时，直线与的图象仅在区间有1个交点，且该交点为变号零点（在单调递减），则只有1个极值点，当时，直线与的图象有3个交点，则有3个极值点，当时，直线与的图象无交点，无极值点，所以当时有唯一极值点，综上，实数的取值范围是.故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知2017—2024年中国城镇新增就业人数（单位：万人）依次为：1351，1361，1352，1186，1269，1206，1244，1256，对于这8个数据，下列结论正确的是（）A.极差是175 B.平均数不小于1300C.中位数是1256 D.60%分位数是1269【答案】AD【解析】对于A，根据极差的定义，可得数据的极差是，所以A正确；对于B，根据平均数的计算公式，可得数据的平均数为，所以B错误；对于C，把这8个数据按照从小到大顺序排列，可得中位数是第4个数1256与第5个数1269的平均数，所以C错误；对于D，由，把这8个数据按照从小到大顺序排列，60%分位数是第5个数1269，所以D正确．故选：AD．10.若，，中的2个是的相邻零点，另外1个不是的零点，则的值可能是（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】AB【解析】若，是的相邻零点，因为，，，不是的零点，，此时；若，是的相邻零点，，一定是的零点，不符；若，是的相邻零点，，，则不是的零点，此时，．故选：AB．11.若数列满足对任意正整数，及常数，总存在且，使得，则称数列为倍可积数列，则（）A.当时，是2倍可积数列B.当为等比数列时，存在k，使得是k倍可积数列C.当是公差的等差数列时，不是1倍可积数列D.当是倍可积数列，且，时，数列的前30项和为10【答案】BCD【解析】对于A，当时，，，，则，所以A错误；对于B，当是等比数列时，设其公比为q，则时，，取，因为，所以是k倍可积数列，所以B正确；对于C，设是公差的等差数列，则，假设数列是1倍可积数列，所以总存在且，使得，则存在或，两式相减得或，所以或，当时，由，可得，此时，这与矛盾；当，由，解得，，则，可得，此时不存在且，使得，所以数列不是1倍可积数列，所以C正确；对于D，因为是倍可积数列，所以存在且，使得，令，可得，又因为，可得，所以，可得，因为数列满足，所以数列是周期为3的数列，即数列的前6项依次为，可得，所以数列的前30项的和，所以D正确.故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，且，若函数是偶函数，则________．【答案】【解析】函数的定义域为.因为是偶函数，所以，即.，即，因为，所以，即，因为对任意均成立，所以，即，又，所以.故答案为：．13.抛掷一枚质地均匀的骰子4次，记X表示掷出的点数为合数的次数，则X的数学期望________．【答案】【解析】记事件A表示“掷出的点数为合数”，样本空间，事件，故.每次掷出的点数为合数的概率不变，抛掷4次相当于4次独立重复试验，，故．故答案为：.14.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是上不重合的两点，若存在，使得时，点满足，则点的轨迹方程为____________________．【答案】【解析】设，，则，因为，且，所以，，设，则，由，，所以，因为不重合，所以，设，由，可得，，所以点的轨迹方程为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2025年高中“双休”政策出台后，某地区为研究高中生周末在家自律情况与学习成绩变化的关系，认定周末每天学习不低于2小时，视为“自律”；每天学习低于2小时，视为“不自律”．该地区随机调查了800名高中生周末在家学习的情况，得到如下列联表．学习成绩变化情况自律情况合计自律不自律进步56040600退步40160200合计600200800（1）从这800名学生中随机抽取1名学生，若该学生是自律的，求该学生的学习成绩是进步的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，分析学习自律是否与学习进步有关．附：，．0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）记事件A表示“抽取1名学生，该学生是自律的”，事件B表示“抽取1名学生，该学生的学习成绩是进步的”，根据表格中的数据，可得，，则，故从这800名学生中随机抽取1名学生，若该学生是自律的，则该学生学习成绩是进步的概率为．（2）记零假设为：学习自律与学习进步无关，由表中数据，可得，故根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为学习自律与学习进步有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．16.已知等比数列满足，且是与的等差中项．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．解：（1）设等比数列的公比为q（)，因为是与的等差中项，所以，所以，因为，所以，所以的通项公式为．（2）由（1）可得，则，①，②①②得．则．17.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，平面平面．（1）证明：；（2）若，点D在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为四边形是菱形，且，所以，又因为，所以，因为，所以，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）解：由（1）知两两垂直，且，以为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，所以，，，，，则，设平面的法向量，则，取，可得，，所以．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．18.已知函数，．（1）求的图像在处的切线方程；（2）若，证明：，；（3）探究函数的零点个数．（1）解：由函数，可得，所以，且，即切线的斜率为，切点为，所以的图像在处的切线方程为，即．（2）证明：当时，函数，要证明，，即证，，设，则，问题转化为，，设，则，所以在区间上单调递减，所以，即，，即，，所以，．（3）解：由，可得或，即或，设，则或，设，可得，所以单调递增，且，所以方程有唯一的根为1，设，则，当时，，单调递增，方程有唯一的根1，只有1个零点；当时，令，得，则在区间，上单调递增，在区间上单调递减，且，，，所以，，由，，且，，所以在区间，上各有1个零点．综上得，当时，有1个零点；当时，有3个零点．19.已知直线与椭圆交于A，B两点，C的左、右顶点分别为M，N，，的面积为．（1）求C的方程；（2）直线与x轴交于点P（点P在椭圆内），与C交于点Q，R，若，求m的取值范围；（3）已知点，GM，GN与C分别交于点D，E，当变化时，判断直线DE是否过定点，若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．解：（1）因为，且的面积为，设点到直线的距离为，可得，解得，即，所以，C的方程为，设，由椭圆的对称性，可得，所以，解得，所以，解得，所以C的方程为．（2）设，，由，整理得，由，即，且，，由，可得，代入，可得，所以，显然不成立，整理得，代