辽宁省部分重点高中2026届高三上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省部分重点高中2026届高三上学期12月联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A选项，因为，，所以，故A不正确；对于B选项，因为，但，得，故B不正确；对于C选项，由，，则或，所以，故C正确；对于D选项，由，得，又，所以，故D不正确.故选：C.2.在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中，即，所以，，又因为，则，，其中、均为正数，且有，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故则的最小值是.故选：A.3.已知函数对任意实数均有若不等式(其中)的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设，则，故，即，即，而，故，所以，故，当时，，当，，故在上单调递减，在上单调递增，则，而当时，，时，，令，则，若，则当时，恒成立，不符题意；而，则，由，，则，由，，若，即时，，若不等式(其中)的解集中恰有两个整数，则，即，解得，又，故，符合要求；若，即时，，，则由在上单调递减，在上单调递增，故当时，不等式无解，故舍去，综上所述：实数的取值范围时.故选：D.4.若，则的最小值为（）A.1 B. C.3 D.【答案】C【解析】由得，，，所以，当且仅当时，取等号，所以.故选：C.5.若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆的方程为：，所以，解得：，所以圆的面积为；故选：B.6.已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆：的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，设，则，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，的离心率为.故选：D.7.若函数的图像关于y轴对称，，则（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】，，的图像关于y轴对称，，，当时，.故选：B.8.已知正实数满足和．则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，即，，，即，令，则在上单调递增，方程有唯一解，，．故选：A．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是（）A.离心率B.的周长为18C.直线PA与直线PB斜率乘积为定值D.若，则的面积为8【答案】ABC【解析】由，可得，，，对于A，离心率，故A正确；对于B，的周长为，故B正确.对于C，设，，故C正确；对于D，，，又因为，所以，即，解得,所以，故D错误.故选：ABC.10.若数列满足（为常数），则称数列为“调和数列”．已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（）A.若，且，则B.若，则C.若中各项均为正数，则D.若，则【答案】ACD【解析】对于A，由，所以，所以，所以是以为公差，首项为的等差数列，所以，故A正确；对于B，由数列是等差数列，所以，所以，即，故B错误；对于C，由数列是等差数列，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，当时，所以，所以，令，所以，令，解得，由，所以在单调递减，在单调递增，所以，即在恒成立，令，所以，即，所以，故D正确；故选：ACD.11.在棱长为2的正方体中，E、G为中点，F在正方形内移动（包括边界），满足，则下列说法正确的是（）A.存在点F使得平面B.三棱锥的外接球表面积为C.直线上的一点到直线的最短距离为D.异面直线与所成角的取值范围为【答案】AB【解析】选项A，在正方形内移动（包括边界），满足，在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点，当移动到点时，，平面，平面，平面，存在点F使得平面，故选项A正确；选项B，在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点，设中点为，中点为，为直角三角形，由题意可知，，为直角三角形，可得由题意可知，所以为三棱锥外接球球心，外接球半径，外接球表面积为，故选项B正确；选项C，连接，取中点，连接，，过作交于，是的中点，是中点，，，，平面，平面，，，是直线和直线的公垂线段，是直线上的一点到直线的最短距离，正方体的棱长为，，，，，又∽，则有，，，，故选项C不正确；选项D，，异面直线与所成角为，在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点，当移动到平面中心时，由题意可得，，，则有，所以是直角三角形，则，此时异面直线与所成角不在内.故选项D错误.故选：AB.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数满足，则_________.【答案】【解析】由复数满足，可得，则.故答案为：.13.数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若数列满足，则数列的前项和________.【答案】【解析】由，，，得，而，则，因此，，，所以.故答案为：.14.已知幂函数在上是减函数，则______．【答案】【解析】由题，可得，解得，，则.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知函数．（1）若，求的极值；（2）当时，在上的最小值为，求在区间上的最大值．解：（1）当时，．则，随的变化情况如表所示．3—0+0—单调递减单调递增单调递减所以的极大值为，的极小值为．（2），因为，所以；令，得，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值在处取得，最小值在端点处取得；，；而，故，所以在上的最小值为；解得，代入得，故在上的最大值为．16.如图，在中，是边上的一点，，.（1）证明：；（2）若为的中点，，，，求三角形的面积.（1）证明：依题意，.（2）解：由，得，为锐角，由（1）及为的中点，得，而，，则，解得，因此，，所以的面积.17.如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形.是边的中点，平面.（1）在直线上是否存在一点，使得直线平面？（2）若平面平面.①求证：；②求二面角的平面角的余弦值.（1）解：存在，点是的中点.理由如下：当点是的中点时，是三角形的中位线，所以，又平面，所以平面.（2）①证明：过作于，若与不重合，∵平面平面，且两平面交线为，平面，又在平面内，，平面在平面内，为平面内两条相交直线，平面，又在平面内，，矛盾.故与重合，平面在平面内，所以.②解：以为原点，过作的平行线为轴，以所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得即.设平面的法向量为，则，令，得，即.设二面角的平面角为，则，由图知二面角的平面角为钝角，所以.18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，过点作直线（不与轴重合）交椭圆于，连接交于点，连接，直线与轴交于点．（i）求的值；（ii）若点在线段上，求的取值范围．解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）（i）设，记，则直线，联立，消得，则，故，则，所以，另一方面直线，联立，消得，则，所以，由于，得，，所以；（ii）由（i）的结论可知，点为线段的中点，则，不妨设都在轴上方，进一步有，由（i）联立直线与椭圆的方程得，由韦达定理得，则，因为点在线段上，所以，所以，所以得取值范围为.19.已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运