平面的基本性质课件2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第13章

立体几何初步13.2.1平面的基本性质苏教版必修第二册【课标要求】1.掌握平面的表示方法,点、直线、平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实和三个推论.3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.要点深化·核心知识提炼知识点一

平面的有关概念1.和点、直线一样,平面是从现实世界中抽象出来的几何概念,是无限延伸的.2.平面的画法画法图示平面通常用平行四边形来表示,当平面水平放置的时候,一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图,即通常把平行四边形的锐角画成45°,且横边长为邻边长的2倍一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用虚线画出来3.平面的表示方法平面通常用希腊字母α,β,γ,…表示,也可以用平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母表示,如图中的平面α,平面ABCD,平面AC等.知识点二

点、直线、平面的位置关系空间中点、直线和平面的位置关系,可以借用集合中的符号来表示.例如,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点、直线、平面的位置关系用符号表示如下表所示.位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C不在直线AB上C∉AB点M在平面AC内M∈平面AC点A1不在平面AC内A1∉平面AC直线AB与直线BC交于点BAB∩BC=B直线AB在平面AC内AB⊂平面AC直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面AC知识点三

平面的基本性质1.与平面有关的三个基本事实基本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实1过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α(1)确定平面;(2)证明点线共面问题;(3)判断两个平面重合的依据基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内⇒AB⊂α(1)判定直线在平面内;(2)证明点在平面内基本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线⇒α∩β=l,且P∈l(1)判断两个平面是否相交;(2)判断点是否在直线上;(3)证明点共线问题2.基本事实的三个推论

推论内容图形符号语言作用推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面A∉l⇒点A和直线l确定一个平面α(1)确定一个平面的依据;(2)证明平面重合;(3)证明点线共面推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面a∩b=A⇒直线a,b确定一个平面α,且平面唯一推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面a∥b⇒直线a,b确定一个平面α,且平面唯一自主诊断判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)不共面的四点中,其中任意三点不共线.(

)(2)若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面.(

)(3)若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面.(

)(4)依次首尾相接的四条线段必共面.(

)√×××题型分析·能力素养提升【题型一】图形语言、符号语言、文字语言例

1

[链接教材练习,T2]用符号语言表示下列语句,并画出图形:(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;解

符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示如下图.(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.解

符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.图形表示如下图.规律方法

三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线,且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言叙述,再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1(1)(多选题)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理正确的是(

)A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.假设α,β为不重合的两个平面,M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.假设α,β为不重合的两个平面,A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合ABD解析

由题意可知,直线a上有两个点A,B都在β内,由基本事实2可知,a⊂β,故A正确;M∈α,M∈β,N∈α,N∈β,由基本事实3可知,α∩β=MN,故B正确;A∈α,A∈β,可知α∩β=过A点的一条直线,故C错误;A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线,由基本事实1可知,α,β重合,故D正确.故选ABD.(2)根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形.①A∈α,B∉α;②l⊂α,m∩α=A,A∉l;③P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.解

①点A在平面α内,点B不在平面α内,如图所示:②直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图所示:③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图所示:【题型二】证明点、线共面例2

[链接教材例1]证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.证明

方法一(纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α,∴直线l1,l2,l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β,∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内,∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.题后反思

1.证明点线共面的主要依据(1)如果一条直线上的两个点都在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内;(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.2.证明点线共面的常用方法注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.跟踪训练2(1)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,点O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点不在同一个平面上的是(

)A.A,C,O1,D1

B.D,E,G,FC.A,E,F,D1

D.G,E,O1,O2B解析

选项A中,因为O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内;选项B中,因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F四点不共面;选项C中,由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1四点共面;选项D中,连接GO2并延长,交A1D1于点H(图略),则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面.(2)如果把本例中的“不过同一点”删掉,那么这三条直线是否共面?解

不一定共面.①若三条直线两两相交,且过同一个点,有两种情况:这三条直线在同一个平面内相交,如图1;这三条直线不共面,如图2.图1图2②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由例2可知,这三条直线共面.【题型三】证明点共线与线共点例3

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是B1C1和C1D1的中点.(1)对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.(2)证明:BE,DF,CC1三线共点.证明

(1)如图1,∵AA1∥CC1,∴A,A1,C,C1确定一个平面AA1C1C.又O∈A1C,A1C⊂平面AA1C1C,∴O∈平面AA1C1C.∵对角线A1C与平面BDC1交于点O,∴O∈平面BDC1,∴O在平面AA1C1C与平面BDC1的交线上,∵AC∩BD=M,∴M∈平面AA1C1C,且M∈平面BDC1,∴平面AA1C1C∩平面BDC1=C1M,∴O∈C1M,即点C1,O,M共线.图1(2)如图2,延长DF,BE交于点G.∵DF⊂平面DCC1D1,G∈DF,∴G∈平面DCC1D1,又∵BE⊂平面BCC1B1,G∈BE,∴G∈平面BCC1B1,∴G在平面DCC1D1与平面BCC1B1的交线上.∵平面DCC1D1∩平面BCC1B1=CC1,∴G∈CC1,∴BE,DF,CC1三线共点.图2规律方法

1.证明三点共线的常用方法(1)(方法1)先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据基本事实3知,这些点都在交线上.(2)(方法2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在其上.2.证明三线共点的常用方法证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3,证明该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.跟踪训练3(1)已知E,F