复数进阶练习题及答案解析

复数进阶练习题及答案解析

一、选择题（每题5分，共30分）1.已知复数\(z=(1+i)(2-i)\)，则\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)为（）A.\(3+i\)B.\(3-i\)C.\(1+3i\)D.\(1-3i\)2.若\(\frac{z}{1-i}=2+i\)，则复数\(z\)的模\(\vertz\vert\)为（）A.\(\sqrt{10}\)B.\(10\)C.\(\sqrt{5}\)D.\(5\)3.复数\(z=\frac{2i}{1-i}\)在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知\(z=1+i\)，则\(z^2+\frac{2}{z}\)的值为（）A.\(1+i\)B.\(1-i\)C.\(-1+i\)D.\(-1-i\)5.若复数\(z\)满足\((1+i)z=1-i\)，则\(z\)的实部为（）A.\(0\)B.\(-1\)C.\(1\)D.\(2\)6.设\(z=\frac{1+i}{1-i}\)，则\(z^{2020}\)的值为（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(i\)D.\(-i\)二、填空题（每题5分，共20分）1.已知复数\(z=3-4i\)，则\(\vertz\vert^2=\)______。2.若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），且\(\frac{z}{1+i}=1-i\)，则\(a+b=\)______。3.复数\(z=\frac{1+2i}{2-i}\)的虚部为______。4.已知\(z\)满足\(z\cdot(1+2i)=4+3i\)，则\(z=\)______。三、解答题（每题15分，共30分）1.已知复数\(z_1=2+i\)，\(z_2=1-2i\)，求\(\frac{z_1}{z__{2}}\)的值，并指出其在复平面内对应的点所在象限。2.已知复数\(z\)满足\(\vertz\vert=1\)，且\(z^2+2z+\frac{1}{z}<0\)，求复数\(z\)。答案与解析：一、选择题1.答案：B解析：\(z=(1+i)(2-i)=2-i+2i-i^2=3+i\)，共轭复数\(\overline{z}=3-i\)，选B。2.答案：A解析：由\(\frac{z}{1-i}=2+i\)得\(z=(2+i)(1-i)=2-2i+i-i^2=3-i\)，则\(\vertz\vert=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}\)，选A。3.答案：B解析：\(z=\frac{2i}{1-i}=\frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i+2i^2}{2}=-1+i\)，对应点为\((-1,1)\)在第二象限，选B。4.答案：C解析：\(z=1+i\)，\(z^2=(1+i)^2=2i\)，\(\frac{2}{z}=\frac{2}{1+i}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=1-i\)，则\(z^2+\frac{2}{z}=2i+1-i=-1+i\)，选C。5.答案：A解析：由\((1+i)z=1-i\)得\(z=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=-i\)，实部为\(0\)，选A。6.答案：A解析：\(z=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=i\)，\(z^{2020}=i^{2020}=(i^4)^{505}=1\)，选A。二、填空题1.答案：25解析：\(\vertz\vert=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\)，则\(\vertz\vert^2=25\)。2.答案：4解析：由\(\frac{z}{1+i}=1-i\)得\(z=(1-i)(1+i)=2\)，即\(a=2,b=0\)，所以\(a+b=2\)。3.答案：1解析：\(z=\frac{1+2i}{2-i}=\frac{(1+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{2+i+4i+2i^2}{5}=i\)，虚部为\(1\)。4.答案：2-i解析：\(z=\frac{4+3i}{1+2i}=\frac{(4+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{4-8i+3i-6i^2}{5}=2-i\)。三、解答题1.解：\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+i}{1-2i}=\frac{(2+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{2+4i+i+2i^2}{5}=i\)。其在复平面内对应的点为\((0,1)\)，在\(y\)轴正半轴上，不属于任何象限。2.解：设\(z=x+yi\)（\(x,y\inR\)），因为\(\vertz\vert=1\)，所以\(x^2+y^2=1\)。\(z^2+2z+\frac{1}{z}=(x+yi)^2+2(x+yi)+\frac{1}{x+yi}\)\(=(x^2-y^2+2xyi)+2x+2yi+\frac{x-yi}{(x+yi)(x-yi)}\)\(=(x^2-y^2+2xyi)+2x+2yi+\frac{x-yi}{x^2+y^2}\)\(=(x^2-y^2+2xyi)+2x+2yi+x-yi\)\(=(x^2-y^2+3x)+(2xy+y)i\)因为\(z^2+2z+\frac{1}{z}<0\)，所以\(\begin{cases}2xy+y=0\\x^2-y^2+3x<0\end{cases}\)由\(2xy+y=0\)得\(y(2x+1)=0\)，若\(y=0\)，则\(x^2=1\)，代入\(x^2-y^2+3x<0\)得\(1+3x<0\)，解得\(x<-\frac{1}{3}\)，所以\(x=-1\)，此时\(z=-1\)。若\(2x+1=0\)，即\(x=-\frac{1}{2}\)，代入\(x^2+y^2=1\)得\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)，当\(y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)时，\(x^2-y^2+3x=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}-\frac{3}{2}<0\)，当\(y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)