高一数学期末复习专题讲义 第四讲 对称性奇偶性及周期性（学生版）

第四讲对称性，奇偶性及周期性【知识梳理】一、函数的周期性1．周期函数对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．2．函数周期性的常用结论设函数，.①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；③若，则函数的周期为二、函数自身的对称性（1）函数的图像关于点对称的充要条件是：，即；（2）函数的图像关于直线对称的充要条件是：，即。题型01函数周期性的简单应用【解题思路】（1）周期的常用结论：①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；③若，则函数的周期为；（2）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上【例1】已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（

）A． B． C．2 D．【例2】已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A． B． C． D．【变式1-1】定义在上的奇函数满足，且，则．【变式1-2】定义在R上的函数满足，且当，则＝．【变式1-3】（多选）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（

）A． B．C． D．题型02对称轴的应用【解题思路】（1）函数的图像关于直线对称的充要条件是：，即。（2）关于对称可得关于对称【例3】若存在非零的实数，使得对定义域上任意的恒成立，则函数可能是（

）A． B．C． D．【例4】已知函数，满足，若与图象的交点为，则（

）A． B．0 C．4 D．8【变式2-1】已知函数，若，则.【变式2-2】（多选）设的定义域为R，给出下列四个命题其中正确的是（

）A．若，则的图像关于点对称B．若为偶函数，则的图象关于直线对称；C．若，则的图象关于直线对称；D．若，则的图象关于直线对称.【变式2-3】（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（

）A． B．C． D．题型03对称中心的应用【解题思路】（1）函数的图像关于点对称的充要条件是：，即；（2）关于对称可得关于对称【例5】已知函数为奇函数，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于点对称 D．关于点对称【例6】（多选）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（

）A．的图像关于对称 B．必成立C．必成立 D．的图像关于原点对称【变式3-1】若函数对于都有，则.【变式3-2】已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则．【变式3-3】我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的图像的对称中心为．题型04比较大小【例7】函数关于直线对称，且在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．【例8】已知定义域为R的函数满足，且在区间上是增函数，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式4-1】已知定义在上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，．则的大小关系是（

）A． B．C． D．【变式4-2】（多选）已知函数对，都有，且任取，，以下结论中正确的是（

）A． B．C． D．若，则【变式4-3】（多选）已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（

）A． B．周期C．在单调递减 D．满足题型05求函数值之和【例9】已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A．3 B．0 C． D．【例10】若的定义域为R，且满足为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数是（

）①的一个周期为4

②③图象的一条对称轴为

④A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-1】已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（

）A． B．2 C．0 D．2023【变式5-2】已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则.【变式5-3】已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为.题型06解不等式【例11】已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【例12】定义在上的函数的图象关于对称，且满足：对任意的，，且（）都有，且，则关于的不等式的解集是（

）A． B．C． D．【变式6-1】已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为．【变式6-2】已知函数定义域为区间，且图像关于点中心对称.当时，，则满足的的取值范围是.【变式6-3】已知函数的定义域为恒成立.当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【课后练习】一、单选题1．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（

）A．在区间上是增函数，且有最小值为B．在区间上是减函数，且有最大值为C．在区间上是增函数，且有最大值为D．在区间上是减函数，且有最小值为2．已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，若，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．3．已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．4．设定义在的函数，其图象关于直线对称，且当时，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．5．已知定义在上的函数，满足，，若，则（

）A．2 B． C． D．6．已知函数．若为偶函数，，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题7．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的图象关于直线成轴对称C．在区间上，为减函数D．8．已知定义在上的函数满足为奇函数，的图象关于点对称，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于对称B．函数的图象关于点对称C．函数的一个周期为4D．9．已知，的定义域均为，函数满足，，且，图象的交点分别是，，，，…，，则可能值为（

）A．2 B．4 C．6 D．