大学线性代数典型例题解析

大学线性代数典型例题解析

一•行列式计算的典型例题分析：

1.利用降阶法。

例1计算

3510

2145

D—

1742

-3511

摩将第三列乘以-3和-5分别加到第一列、第二列,然后按第一行展开,得

再将第三列典以6加到第一列：按第三行展开，得

20-195

20-19

。=1-132=(-1产=-241.

1-13

001

由以上演算过程可知,对于任意n阶行列式D,皆可用行列式性质变为等第的n-1价行

列式.

2.利用化三角形法计算。

a-b-c2a2a

计算O=2bb-c-a2h

2c2cc-a-b

擘：将第二仃与第三仃都加到第一仃上，冉提出公因子(a+b+c),得

a+8+ca+b+ca+b+c

D=2hh-c-a2b

2c2cc-a-b

I11

=(a+8+c)2bb-c-alb

2c2cc-a-b

再将第一行乘以(-2b)和(-2c)分别加到第二行与第三行,得

111

O=(a+b+c)0-(a+b+c)0=(a+%+c)\

00-方+c)

3.利用升阶法。

4

z

解将D加边升阶得

1000(111111

X4a\-qZ-G]000

=

D=-a2azaa0A—a-,00

222-a2

一%%%a%一%00z-0j0

.

_4444X_4000九一叫

第2列丁巴一倍、第3列:失一倍、第4列倍、第5列丁人一倍加到第一列上

Z-0,Z,—%4—44一明

A-Qi

z000

得D二0000

000z-Qj0

0000z-

=f](〃q)0+£3)u这里设%"(i=L2,3,4)

/=r力-%

这个结论可以推广到n阶行列式的情况，即

Aqq…q

%Aa,…Q-,

%%1…%=n(…)崂息)

j=i

4.利用范德蒙公式。

Ix

248

例10掣方程

1-39-27

1525125

煨将行列式转置便知它是一人4阶范德蒙行列式e即

x1

25

-325

5125

=(2-x)(-3-x)(5-x)(-3-2)(5-2)(5+3)=0

(方程的例为工=2,.t=-3,x=5)e

.矩阵

0111

件5已知A—求力一二

0011

0001

解法I・・・同=1工0用伴随矩阵法

111

Au=011=1,Al2=Al3==0

001

11111111

4=0I1=-lAn=011=1AyaX=-001=0=0

00100100

111

=111=0力34=°

001

0001

学法(2)初等仃变换法

1111:100010001-100

0111:0100-一勺010001-10

0011；00100010001-1

0001；000100010001

的法(4)分次法

11

01

且1阕=：；=IHO,A可逆，由三角块求

A—.............

00

00

逆法e

卜一//

H—

L°短」

「1TT「1

其"4=01，4=o

oo

-1o

1-1

oo01

(501、(800)

例7:求X使XA=B，这里力31-3-28=-；530

1260,

1-521,

分析：根据矩阵奏法规则,X应为3阶方阵.若A可逆,则XA=B两侧同乘/Tl即可得

X=BA-1.

解法一：先求

li01100、

(4/)—>-3-2010

21001;

1-3一2:016(\-3-2:010^|

022:101-^->015:758

lo2

0-13-9:05ly2:101J

113、

100:----

fi-3010、48

511

->o1758—►010:—一

48

lo0-13-10-15,13515,

(001:

4TJ

23)

191011

8

1-13-10-15>

00、23'fl2

则X=8/T309101145

60;1-13-10-15,<78

注京:这里因为A乘X右治因此X=8「而不是川上实际上相当于加B等武

两边同时右奏也

解法二：=可以看成一些初等览阵之积，它力右乘B,相当刊通

行列变换.而这些初等宪阵右乘A,BP将I,班对A和B幽f同样的列初等变机把A变为I

时押把B变为1=弘）

(/

航

㈤

(5011100100

1-3-29-3-110-31

⑷」T21

-9210-322

列文探、列文决rJ

㈤!--800-808-808

-5-30-5-35-14-317

।

<-2-60/<-2-62>k-20-626>

<100、(\00、

010010

fl23、

-328001

列交交、歹茂臭・,.X=456

-8824123

J89,

-141748456

1789)

K-202672;

<30O'’36';

例8:设/1=；O1-I5=11i，求X使AX=2X-B.

1014J、2-3;

触法一：AX=2X+B,则（A-21）X=B

若A-21可逆，则*=（4-2/广8

/I001/.■P|的逆。

先求（4-2/广，因为八2/=0-I-1为准对角矩阵，则只需求C=；

lOI2）*

（说明:对二阶方阵用伴随陈求逆也很方便）

00)

(4-2/广；0-2-1

I。11J

00，36/36、

x=；°-2-111-41

1011,12-13-2J

/二：X=（N-2/）・8,因为（4-2/）T相当于一些初等阵之；，.三们右乘B,相当于

对B进行行初等变换a因此

(A-2/,B)g,等警>(/,X)e

(\0036、fl0036、pOO36、

0-1-111->'011-I-1fO10-41

()

0122-3lo013-2,10013Z

(36、

..x=；-41.

I32,

例10设A为n阶可逆方阵,试证：①(-盯=(-1严②(-N尸=-/

证：①设4=(%)其中支的代数余子式为4

则卜小卜%卜(_1冲J且_%的代数余子式为(-尸A-，于是

(-/)*=((-1广⑷7=(-『(％)=(-1)2N*

②证法1：由定义，(-&・(-*)

故(-/)•=-/・、

证法2:由公式,

(-4尸

3当A可逆时,『二同'4”

|小|川「二|小同.1(*)

故(心)*二(|肌)，=A-A'1

HI

2

=|jr_L.j=|jr-.j

11I“11

说明：这里儿个等试证明中用到了以下结论：

(1)|£・叫=£“・忸|

⑵(hBY'=『B-'

⑶|歹|卜同一，

③也可有如下解法：

X4*=pp设a=尻则8*8=|叫/

由44*=|J|/,有|4|力*|=||J|-/|=\A\n

n-1

・・・A可逆，・・.|/•0,・・.1=即冏=\A\HO

即BB=l^f1B*=\A^'-B_,

而B-'="广=6(・•・AA*=⑷/,・••向4・4・=1)

-PT加+、

三.向软和线性方程组

初改14=睐)圾，/俱％=(2训人

(1)并加蒯出两肉船球？

(2)凯姗瞰g赠性缺楙碱期必M雌胎

*魏邮理5M6M

.加+他+勺％=0

当4%研祖制肥外哦酰为孰我群宿聃&向饯性

联理

仲+33+2&=0

^,-)12+3^=0

1

3勺+2k2+ak3=0

系数行列式

132132

。二2-132-13=-7("5)

3?n00。一5

(1)当1)=-7(。~5)=0时,方程纽只有零％因此当。*5时，?,4,%线性无关,

(2)当口=-7(4七)=0时,方程组有非零孥，因此当。=5时，a”出,见线性相关.

设a3=k\ax+k'2a2

则(3,2,5)=(科+3心，2£；-心，3e+2―)

匕+3色=3

即：423-匕=2

3k\+2k\=5

可解出^'|=y,£'2=；，于是23+；小2

%=(1,0231,%=(1,135)1%=(1，T，a+2,l)r,4=(1,2,4,。+8)『,

例8

夕=(",33,5)7问

(1)a,b为何位时,夕不能表示成a”%,%，%的线性组合:

(2)%b为何值时，夕可以由火,々2,13，々4线性表示，且表示法唯一・

修：如例6分析，上述问题等价于夕=刈%+k2a2+k3a3+g是否有解,即

11

01

是否有解,因为

23

35

-11

0121

232b+1

135a+52

其中也表示矩阵第i行乘以k加到第j行.

因此,当a=T.b=O时,方程纽有无穷多解.夕可以表示成a%的线性经合.

当a=・l,b=O时，方程空有无穷多取此时夕可以表示成%,%,%，4的线性纣合,

但表示法不唯一.

当a工-1时,《可以唯一电表示成

c2ba+/?+1

夕=-不明'------------a、

Q+1

例10设

■11257

123710

A—

134913

1451!

求A的秩

分析,一般求矩阵的秩可以通过两个方法来求.

方法1.直接用行列式求矩阵的秩，即找出矩阵中最高不为零子式的阶数.

方法2.利用初等变爽来求矩阵的秩.

采用方法1与方法2一段根据矩阵阶数来定,对于较高矩阵利用初等变换较为方便.

壁方法一：A有一个二阶子式。=],二1工0,而所有包含D的三阶子式为

12I15

D=123=0,D2=127=0,建；lo.

451391313

112115117

D4=123=0.D5=127=0,D,=1210=0.

因此秩A=2

方法2

25711257

2371001123

A=

34913/=2,3,402246

45111603369

257

(-2)xA+r01I23

3=B

(-3)xG+900000

00000

从而r(B)=2,因此r(A)=2

例5,判断力=(1,23),4=(3,2,1),a3=(1,3,1)是否线性相关.

分析:研究向量经外,〃2,…，丸的线性相关的向轨由定义可知,就是考察是否存在ID

个不全为零的数占，然，…，勺，便线性组合.

-4+——心=0

…=0

即；「I222加2M(3)

•・••••••••••

。热+4A=0

因此，向量组小,外,…，a听是否线性相关,等价于齐次线性方程经⑶是否有非早解.

若方程纽⑶有非零颦，则外,处,…，氏，线性相关，若方程经⑶只有零解，则

4。2・・以勇线性无关.为此研究向5间是否线性相关问题.实质上就是研究齐次线性方程

纽⑶看没有零解问题.

解法一设存在一组数K,*2内，使“1%+%2a2+/。3=0，

即尢(1,2,3)+^(3,2,1)+々(1,3,1)=(0,0,0),

亦即化+3卜+。月，

2+2*2+3*3,3*I+*2+M=(°A0)

占+3&+*3=°

♦2勺+2£、+3生=0

131[+&=0

-13r

系数矩阵223=.4,可以通过初等行变换求得r(A)=3,则比齐次线性方程经

311

只有零解,故线性无关.

IJI

■由帆。必删螂腕22J=IM

3II

触的靖瞅

肘雌-躺-雌娜二俯附然鼾能雄酬才t哪

to'cn隔

试将夕表示为由,%，%加%的线性组合.

分析：研究某一向曾夕能否用向量生。2,…，%的线性表示考察是否有m个教

人人/此使得夕4aM的2皿成立.

因此：向过夕能否用向量组%4,…a段性表巩等价于非齐次线性方程纽4）是

否有鼠若方程经⑷有唯一税则夕能用生叫…。加一的线性表示,若方程经⑷有无

另多曜，好夕能用/色…%线性表示,但表示法不睢「若方程组⑷无解，则

夕能用/&皿用性表示

解设夕二人生+&&+人％+仙,即

（1,2浦）=5儿1）+丛1」"-1）+4L-1，T）+加-1,川）

W夕=_%+一%一%—-%«)

四.特征值与特征向量

保1.求矩阵的特征少和特征向量

3D-4

A2B4-78

16-77

x-21110

解(一)：\/J-A\=-2X=x-2z=(z-2)(z-l)1/1

-2101011

10

A-lI,

=(z-2Xz-l)1z-11=(z-2)(z-l)]t=(z-2)-(x-l)

011

,•.4的特征值为（）

2,Z3=1,对于乙.2=2,方程组21一AX=0,即为

oI16\(xAo

-22-10即：001x,•I

O/\Xjlo04

解为川一•.占1伙尸0）是属于2的特征向量・

0,2

仅

对于石=],方程组（[-彳）'=0,即二。

lo;

0-1

00

vO,0

0）是属于％=1的特征向量

pl

・•.A的特征值为2,2,1,A的属于2的特征向量为左1（勺H0）,

I。）

4的属于1的特征向曼为以国工0）