5声波运动方程具有伽利略变换的不变性

声波运动方程具有伽利略变换的不变性摘要：简单地验证了声波的波动方程具有伽利略变换下的形式不变性.关键词：声波;运动学方程;波动方程;伽利略变换不变性中图分类号：O313.1文献标识码：A1.国内研究现状波动方程是波的动力学方程，给出了介质内体元的运动和受力的关系，反映了波动传播的机制，波的运动学方程是波动方程的解.由于波动方程在推导过程中利用了牛顿第二定律，因此应当满足伽利略变换.声波波动方程是否具有伽利略变换下的形式不变性，即声波的波动方程是否满足力学相对性原理的问题，文献[1]说：“其实不协变的定律很多，例如：对于均匀各向同性介质，如果介质是静止的，则声波方程是▽2这里U为波动量，为声速.容易验证此定律不具有伽利略变换下的形式不变性”由于声波的运动动方程由牛顿第二定律得出，如果波动方程不满足伽利略变换，说明经典力学存在着严重的问题，因此研究这个问题意义比较重大2.声波方程满足伽利略变换下面我们假定媒质空气静止，声源静止，证明声波的运动学方程和波动方程经伽利略变换形式不变，望力学界的专家学者批评指正.为简单起见，设介质在惯性系S中静止，波函数用ψ表示，同时假定单频平面声波沿x轴正方向传播，波速为v，频率为f，声源静止，观测者S′向声源右方运动，速度为u，则声波的运动学方程为在S系ψ（x，t）=Acos2πf（）（）在S坐标系，波动方程为（）S、S′两坐标系坐标变换关系为x=x′+utt=t′将式（）式代入式（）式，可以得出在S′坐标系声波的运动学方程为ψ′（x′，t′）=Acos2πf（）Acos2πf［］cos2πf（）假如观察者接近波源S是沿着他与波源的连线方向由A向B，则相对运动速度为，周期是，所以，此时接收频率增加；假如观察者靠近波源S是沿着他与波源连线的方向由B向A，则相对运动速度为，周期是，所以，此时接收频率减小；令f′=f，v′=v-u，则有ψ′（x′，t′）=Acos2πf′（）（）将式（与式（比较，说明声波的运动学方程经伽利略变换后形式不变，由这两个式子我们便得到，比较式（、，说明波动方程经伽利略变换下的形式不变性根据多普勒效应可以得出声波运动方程具有伽利略变换的不变性，反之根据声波运动方程的伽利略变换不变性也可以得出多普勒效应，多普勒效应是坐标变换的结果，二者是等价的当观察患者静止，波源运动或者观察者和波源同时运动分析类似，本文不再分析，有兴趣的读者自行分析由于机械波必须在媒质中传播，而波相对于媒质的速度是恒量，所以在多普勒效应中起作用的是波源及观察者相对于媒质的速度，而不是波源与观察者之间的相对速度[2]，所以在这里声速不是不变量但是在本题中由于我们假定波源相对于媒质不变，因此观察者相对于波源的速度等价于观察者相对于媒质的速度在S′系我们只对波的运动学方程和波动方程进行坐标变换，不用管介质的问题，如果按照运动介质处理就错了，牛顿力学适用于绝对时空，介质不变.文献[3]得出与本文一致的结论.研究多普勒效应对于非均匀介质，还需要考虑折射率的变化，限于篇幅本文不再讨论.英国哲学家斯宾塞所言：“一个从未从事过科学研究的人，永远难以了解日常他所生活的环境里，处处存在着奇情丽景，宛如诗般的节奏和韵律.”说明：1.多普勒效应为了纪念奥地利物理学家及数学家克里斯琴.约翰.多普勒，这一理论是由他首先发现的.多普勒效应中提出频率由波源和观测者的相对运动而产生变化的问题：在运动的波源前面时，变为压缩波，频率变高；在运动的波源后面时，变为伸张波，频率变低；其效果跟运动速度成正比例关系;波源的运动速度的估算就可以以此来进行.多普勒效应是坐标变换的结果[4～20]，f′=f，此即为波源静止，观察者远离波源方向运动时的多普勒效应；波源静止而观察者向着波源方向运动、观察者静止而波源远离观察者方向运动、观察者静止而波源向着观察者方向运动时的多普勒效应公式参见文献[8]，根据本文的分析方法考察声波运动学方程和波动方程得出的结果一致——声波运动学方程和波动方程具有伽利略变换下的形式不变性，本文不再分析.2.在S系我们只对波的运动学方程和波动方程进行坐标变换，不用管介质的问题，如果按照运动介质处理就错了，此时声波的运动学方程（4）的伽利略变换式是文献[1]的（8）式的结果部分，在一维情况下简化为（6′）此式与（4）式明显不是同一形式！所以，声波方程不具有伽利略变换下的形式不变性！但是如文献[1](8)式所示，它属于以介质平动速度u为参数的声波运动规律最小协变集，一维情况下为:声波方程为(7′)}在单向波的特殊情况下成立于是，（6′）式才能化为（6）式.这是对于伽利略变换的错误理解.类似的，研究机械能守恒定律满足伽利略变换时，场的坐标与质点的坐标不一样，不能混为一谈，重力、弹簧弹力和万有引力都是稳定场，不是显含时间的力场.研究多普勒效应对于非均匀介质，还需要考虑折射率的变化，限于篇幅本文不再讨论本文在此从略，有兴趣的的读者可以自己研究这个问题.文献[10]得出与本文一致的结论.声波运动方程满足伽利略变换，电磁波的麦克斯韦方程组满足洛伦兹变换，关于这个问题的证明的文献很多，文献[11～20]是其中一部分.3.狭义相对论中的多普勒效应爱因斯坦利用其狭义相对论得到的洛伦兹变换推导出的纵向多普勒效应除了有一阶效应外，还有二阶效应（），此外爱因斯坦还得到了横向多普勒效应.相对论性多普勒效应的一般公式为：（9）其中：，为光源相对于观测者的速度，为观测到的频率；为光源静止时的频率；为光源运动方向与观测方向的夹角.纵向多普勒效应公式为，k为整数时的情况：（10）横向多普勒效应公式为的情况：（11）（11）式的展开式为：（12）在的情况下，（11）式可以近似地写为：（13）一般认为其中，是经典项，表示未受影响的原始频率；是时间膨胀项，反映了相对运动导致的时间膨胀效应.狭义相对论中的横向多普勒效应是指当光源和观察者在垂直于光源运动方向上相对运动时，观察者接收到的光的频率与光源发出的光的频率之间的关系.这个公式表明，当光源和观察者在垂直于光源运动方向上相对运动时，观察者接收到的光的频率会比光源发出的光的频率低，且这种频率的降低与光源相对于观察者的速度有关.当趋近于时，趋近于0，即观察者几乎接收不到光.当时，，即观察者接收到的光的频率与光源静止时发出的光的频率相同.参考文献1.朱如曾.相对性原理及其对自然界定律的协变性要求——机械能守恒定律协变性疑难的解答.大学物理.2000（2）：15～19，26.2.姜廷玺.机械波的多普勒效应浅析.工科物理（现名：物理与工程），1992（01）：16～17.3.王长龙，何向前.平面弹性谐波的伽利略变换.湖北民族学院学报（自然科学版），1998（6）：26～28.4.郭福臣，王澜涛.用坐标变换推得多普勒效应.石家庄铁道学院学报，1991（09）：82～84.5.路峻岭，汪荣宝.多普勒效应公式的简便推导.大学物理，2005（08）：25～28.6.李清玉，吴文良.多普勒效应与相对性原理.昭通师专学报，1998（5）：144～146.7.李清玉，吴文良.多普勒效应与相对性原理.云南教育学院学报，1999（4）：59～60，64.8.黄海铭，杨俊涛.基于运动学基础知识的多普勒效应公式.物理通报，2015（06）：16～17.9.李云梅，余太会，蔡武德.匀速和变速运动时多普勒效应公式的推导.物理通报，2016（12）：82～84.10.王长龙，何向前.平面弹性谐波的伽利略变换.湖北民族学院学报（自然科学版），1998（6）：26～28.11.金东星，杨达中.麦克斯韦方程组的协变性.华东工学院学报，1991（1）：77～90.12.黄亦斌，聂义友.均匀磁场中的转动道题和麦克斯韦方程组的协变性.大学物理，2009（7）：20～22.13.邵继红，吴正中，唐旭东.麦克斯韦方程组的协变性与对称性.安徽师范学院学报（自然科学版），2001（11）：49～51.14.金东星.三维矢量形式的麦克斯韦方程组的协变性.南京理工大学学报，2003年12月：724～727.15.臧永丽，周强.麦克斯韦方程组不变性的验证.青岛大学学报，2000年7月：27～30.16.左秋霞.麦克斯韦方程组不变性的验证.淄博学院学报（自然科学与工程版），2001年3月：39～41.17.戴结林.麦克斯韦方程组的协变性的另一种证明方法.安徽教育学院学报，2002年5月：19～21.18.秦继民.时空变换与多普勒效应.广西师范大学学报（自然科学版），199