《高考数学备考指南》教学课件-07数列

数列第七章第1讲数列的概念及简单表示法高考要求考情分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数数列的递推公式常在解答题中考查，考查逻辑推理的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．数列的概念(1)数列的定义：按照______________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的______．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为___________的函数an＝f(n)．当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．一定顺序项定义域2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数______无穷数列项数______按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1____an其中n∈N*递减数列an＋1____an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限>

<

3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与_________之间的关系可以用一个式子__________来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．序号n

an＝f(n)

2．(2020年郑州模拟)下列说法正确的是(

)A．数列1，－2,3，－4，…是一个摆动数列B．数列－2,3,6,8可以表示为{－2,3,6,8}C．{an}和an是相同的概念D．每一个数列的通项公式都是唯一确定的【答案】A

【解析】根据摆动数列的概念，A正确；数列－2,3,6,8不能表示为集合{－2,3,6,8}，数列和元素顺序有关，集合和元素顺序无关，故B错误；{an}表示数列的全部的项，而an表示数列的第n项，不是同一概念，故C错；数列的通项公式可以有多个，D错误．故选A．3．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．【答案】(－3，＋∞)

【答案】5n－41．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(

)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(

)(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(

)(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(

)(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)(6)在数列{an}中，对于任意正整数m，am＋1＝am＋1，若a1＝1，则a2＝2.(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√

(6)√重难突破能力提升2由数列的前几项求数列的通项公式【规律方法】根据所给数列的前几项求其通项时，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．需抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征．【答案】(1)C

(2)(－1)n(6n－5)【解析】(1)注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式含有因式(－1)n.观察各项的绝对值构成公差为6的等差数列，故通项公式可为(－1)n(6n－5)．由Sn与an的关系求an

(1)(2019年化州模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________．(2)(2019年广州测试)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝__________.【规律方法】已知Sn求an的3个步骤：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．由递推关系求数列的通项公式数列的性质【规律方法】(1)在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性．(2)①研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值．②数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用比差或比商法进行判断．【跟踪训练】3．(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2020＝________.(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是________．【答案】(1)0

(2)(－3，＋∞)【解析】(1)因为a1＝1，an＋1＝a－2an＋1＝(an－1)2，所以a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，所以a2020＝a2＝0.(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又通项公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n.又n∈N*，所以k>－3.追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】数列的函数特性．【考查目的】考查创新意识和应用意识，体现数学抽象的核心素养．【思路导引】根据木锤前几天的剩余量，得到数列{an}满足的关系，由此即可解决问题．【真题链接】

1．(2016年浙江)数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝______，S5＝______.【答案】1

121

3．(2018年新课标Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.【答案】－63

数列第七章第2讲等差数列及其前n项和高考要求考情分析1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系等差数列常与等比数列、函数、方程、不等式结合在一起考查，有选择、填空、解答题，考查数学运算和数学抽象以及逻辑推理的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．等差数列的概念(1)如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________．公差通常用字母d表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝________.2

同一个常数公差a1＋(n－1)d

(n－m)d

3．等差数列的有关性质已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和．(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq.(2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是______数列；当d＜0时，{an}是________数列；当d＝0时，{an}是________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．递增递减常数列md

大小1．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于(

)A．14

B．21

C．28

D．35【答案】C

2．(2020年广州一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＝15－a5，则S9等于(

)A．18

B．36

C．45

D．60【答案】C

4．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．5．(一题两空)已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的公差为________，前7项的和为________．【答案】－3

281．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(

)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(

)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(

)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×重难突破能力提升2等差数列基本量的运算

(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(

)A．－6

B．－4

C．－2

D．2(2)(2019年云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(

)A．9

B．10

C．11

D．15【答案】(1)A

(2)B

【跟踪训练】1．(2019年山东五校联考)已知等差数列{an}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.等差数列的判定与证明【规律方法】等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．等差数列的性质及应用【考向分析】等差数列的性质及其应用是高考的必考内容，以中、低档题目为主，难度不大．常见的考向：(1)等差数列的性质；(2)等差数列和的性质；(3)等差数列前n项和的最值．【答案】B

【解析】由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，所以a7＋a8＋a9＝45.追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年合肥一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S4＝4S2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求m的值．【考查角度】等差数列的通项公式、项数m的求法【考查目的】考查运算求解能力，体现数学抽象和数学运算的核心素养．【思路导引】(1)由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，解得d＝2a1.从而a1＝1，d＝2，由此能求出an.(2)am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化为10am＋45d＝20m＋80＝180，由此能求出m.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1.又因为a1＝1，所以d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．(2)因为an＝2n－1，所以am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化为10am＋45d＝20m＋80＝180，解得m＝5.【拓展延伸】1．利用等差数列的性质巧妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2．方程思想和函数思想(1)等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.(2)等差数列{an}中，an＝an＋b(a，b为常数)，Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．3．等差数列的判断方法(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法；(4)前n项和公式法．【真题链接】

2．(2019年北京)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．【答案】0－10

3．(2019年新课标Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.【答案】100

4．(2019年江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．【答案】16

5．(2019年新课标Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．数列第七章第3讲等比数列及其前n项和高考要求考情分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3．了解等比数列与指数函数的关系等比数列的性质常以选择题、填空题形式出现．等比数列的判断和等比数列的综合问题则以解答题形式出现，而且有一定难度．考查数学运算和数学抽象以及逻辑推理的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏12

同一个公比q

等比中项a1qn－1

3．等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝_______.(2)等比数列{an}的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是____数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是____数列；当q＝1时，数列{an}是________．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，其公比为____．(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为____．am·an

递增递减常数列qm

qn

2．(2020年郑州模拟)已知正项等比数列{an}满足：a2a8＝16a5，a3＋a5＝20，则S4＝(

)A．16

B．－16

C．15

D．－15【答案】C

5．(教材习题改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．【答案】27,811．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如，当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×

(6)×重难突破能力提升2等比数列的基本运算【考向分析】等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中、低档题．常见的考向：(1)求首项a1，公比q或项数n；(2)求通项公式或特定项；(3)求前n项和．等比数列的判定与证明

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【规律方法】等比数列的4种常用判定方法[提醒](1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．等比数列的性质及应用【规律方法】(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk(Sk≠0)．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】等比数列的通项公式以及等比数列的性质的应用．【考查目的】考查学生的应用意识和推理论证能力，考查逻辑推理和数学运算的核心素养．【思路导引】(1)根据题意，分析可得：当n≥2时，Sn－1＝1＋λan－1，an＝1＋λan－1－λan－1＝λan－λan－1，即(λ－1)an＝λan－1，进而分析可得结论；【拓展延伸】1．应用等比数列的公比应注意的问题(1)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在应用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1和q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情况而导致错误．【真题链接】

1．(2019年新课标Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(

)A．16

B．8

C．4

D．2【答案】C

3．(2017年新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2，a3＋b3＝5，可得－1＋d＋q＝2，－1＋2d＋q2＝5，解得d＝1，q＝2或d＝3，q＝0(舍去)，则{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.(2)由b1＝1，T3＝21，可得1＋q＋q2＝21，解得q＝4或－5.当q＝4时，b2＝4，a2＝2－4＝－2，d＝－2－(－1)＝－1，S3＝－1－2－3＝－6；当q＝－5时，b2＝－5，a2＝2－(－5)＝7，d＝7－(－1)＝8，S3＝－1＋7＋15＝21.数列第七章第4讲数列求和、数列的综合应用高考要求考情分析1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法数列求和及其应用，一般以解答题的形式出现，考查数学运算和逻辑推理的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．求数列前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式：Sn＝________＝________＋________.②等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝______；当q≠1时，Sn＝________＝________.na1

na1

(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝(

)A．9

B．8

C．17

D．16【答案】A4．(2020年广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋3a2＋…＋3n－1an＝n，则S4＝________.5．(2020年安阳月考)已知正项等比数列{an}满足a2＝4，a4＋a6＝80.记bn＝log2an，则数列{bn}的前50项和为________．【答案】1275

1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如qn，qn＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．重难突破能力提升2公式法求和【规律方法】数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求解．【跟踪训练】1．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1＝1，a2是a1与a5的等比中项．(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn.分组转化法求和

(2019年吉林调研)已知数列{an}是等比数列，a1＝1，a4＝8，{bn}是等差数列，b1＝3，b4＝12.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{