2026届天津市和平区高三数学三轮复习质量检测QS01会员专享黑白可打印训练卷B1第0017套（含参考答案、逐题解析、评分细则、压轴题讲评与学生作答空间）

QS01黑白可打印训练卷B1第0017套·天津市和平区高三数学三轮复习质量检测考生姓名：____________班级：____________得分：____________2026届天津市和平区高三数学三轮复习质量检测QS01会员专享黑白可打印训练卷B1第0017套（含参考答案、逐题解析、评分细则、压轴题讲评与学生作答空间）考试时间：120分钟满分：150分适用场景：课堂限时训练、周末作业、考前自测与教师讲评注意事项：1.答题前请检查页码与题号，按题号在指定位置作答；2.选择题务必填涂或填写唯一选项，填空题只写最终结果；3.解答题须写出必要过程、关键式和结论；4.本卷按天津市和平区高三数学三轮复习质量检测备考节奏编排，采用QS01黑白可打印结构，试题区与参考答案、逐题解析、评分细则分区呈现。题型题号分值作答提示选择题1—10每题5分，共50分每题只有一个正确选项，答错、不答均不得分填空题11—16每题5分，共30分结果须化简，必要时注明取值范围解答题17—25共70分写出推理、运算与结论，按步骤给分合计1—25150分试题结束后另页给出参考答案与解析黑白可打印训练规范与卷面自查环节学生执行要求教师批改关注点开考前确认题号1—25连续，先写姓名、班级、目标分，再快速浏览解答题分值关注学生是否能按分值安排时间，避免前松后紧选择题每题只保留一个选项，难题可先标记后回看，不能在选项旁写答案暗示看错题集中在定义域、端点、参数范围还是计算填空题最终结果写在空线内，根式、分式、取值范围必须化到规范形式检查是否存在答案正确但表达不完整的扣分风险解答题每问单独起行，关键公式、代入过程、范围判断和最终结论都要呈现按步骤给分，保留正确推理链条对应分函数导数先写定义域，再求导，单调区间必须与导数符号对应重点看导数符号表、极值判断和参数端点圆锥曲线联立方程要写消元式，涉及垂直或面积时写出数量积或坐标关系关注固定点、根与系数关系、计算简洁性概率统计样本空间和事件计数要一致，开放建议必须回扣数据把数据读取、计数、概率化简分开给分压轴题先拿基础分，再处理根的个数、极值、比较证明等高阶步骤鼓励学生写出关键构造与单调性依据订正订正时写清错因、正确方法和同类题提醒，不只抄最终答案复批看错因是否精准、方法是否可迁移限时建议：前10题建议25分钟内完成，11—16题建议18分钟内完成，17—20题优先保证基础步骤分，21—25题按“读题建模、列式运算、结论检验”顺序推进。遇到暂时无法突破的题目，应留下关键条件和已得结论，返回后继续完成，避免整题空白。目标层级训练重点卷后处理基础达标确保集合、复数、三角、数列、统计等基础题不失分把错题按公式、计算、审题三类归档稳定提升解答题前两问力求完整，圆锥曲线和导数题先拿模型分重写关键步骤，补齐条件检验和结论高分突破压轴题重点训练构造、比较、分类讨论和单调性定位归纳同类构造，把根、极值、参数范围放在同一图像中理解教师复批关注学生是否能从一次错误迁移到同类题二次订正时检查关键式、文字说明和最终表达本卷适合在三轮复习后段进行整卷检测。学生完成后应先用答案速查区核对客观题，再逐题对照解析检查方法；教师可把共性问题集中在函数导数、圆锥曲线、空间向量、统计概率四个板块中讲评，最后用第25题完成综合思维提升。卷面要求：计算题中出现等价变形时应保持符号方向一致，涉及平方、开方、取对数、分母不为零等步骤时要写明必要条件；证明题中每一个结论都应能回到题干条件或已证明结论，不能只凭直观判断。时间分配建议可根据个人强弱微调，但必须保证最后8分钟用于检查选择题填涂、填空题单位与主观题结论。本卷所有作答空间均按黑白打印保留，课堂批改时可直接在空格与表格内标注得分点。建议学生在订正栏写明下一次同类题的检查顺序，形成可执行的个人得分方案，做到精准提分。一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）答题栏：题号12345678910答案1.（5分）设集合A={x∈Z｜-2≤x<3}，B={x｜x²-3x-4<0}，则A∩B=（）。A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1,2}D.{1,2,3}2.（5分）复数z=(1+2i)/(1-i)，则z的虚部为（）。A.-1/2B.1/2C.3/2D.-3/23.（5分）在闭区间[0，2π]上，方程2sinxcosx=sinx的解的个数为（）。A.2B.3C.4D.54.（5分）二项式(x²-1/x)⁶展开式中的常数项为（）。A.-15B.15C.20D.-205.（5分）已知向量a=(1，2)，b=(m，-1)，若a⊥b，则m=（）。A.-2B.2C.1/2D.-1/26.（5分）从3名女生、2名男生中任取2人参加板演，恰有1名女生的概率为（）。A.1/5B.2/5C.3/5D.4/57.（5分）函数f(x)=ln(x+1)-x/(x+1)的单调性正确的是（）。A.在(-1，0)上递增，在(0，+∞)上递减B.在(-1，0)上递减，在(0，+∞)上递增C.在(-1，+∞)上递增D.在(-1，+∞)上递减8.（5分）圆C：x²+y²-4x+2y+1=0，从原点O向圆C作切线，则切线长为（）。A.1B.√2C.2D.√59.（5分）正项等比数列{aₙ}中，a₁=2，a₃=8，则a₅=（）。A.16B.24C.32D.6410.（5分）函数f(x)=x³-3ax在[-1，1]上单调递增，则实数a的取值范围为（）。A.a≤0B.0≤a≤1C.a≥1D.a≤1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）请将答案填写在对应空线处。11.（5分）方程log₂(x-1)+log₂(x+3)=3的解为__________。作答空间：12.（5分）若tanα=2，且α∈(0，π/2)，则sin2α=__________。作答空间：13.（5分）(1+x)⁵展开式中x²项的系数为__________。作答空间：14.（5分）抛物线y²=4x的焦点为F，点P(4，4)，则|PF|=__________。作答空间：15.（5分）数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=aₙ+2n，则a₁₀=__________。作答空间：16.（5分）若直线y=kx与圆(x-2)²+(y+1)²=5相切，则k=__________。作答空间：三、解答题（本大题共9小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。每题下方留有学生作答空间，教师讲评时可结合答案区评分细则进行批改。17.（7分）已知函数f(x)=√3sinx+cosx。

（1）求f(x)的最小正周期与最大值；

（2）在△ABC中，若f(A)=2，且b=4，c=5，求边a的长。作答空间：18.（7分）已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1。

（1）求数列{aₙ}的通项公式；

（2）记Sₙ=a₁+a₂+…+aₙ，若Sₙ=57，求n的值。作答空间：19.（8分）某班抽取10名学生的阶段检测成绩如下：66，72，75，78，82，84，86，88，92，95。

（1）求这10人成绩的平均数与中位数；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选2人，求所选2人中至少1人成绩不低于90分的概率；

（3）结合数据给出一条面向三轮复习的查漏补缺建议。作答空间：20.（7分）如图形描述：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=2，AA₁=3。以A为坐标原点，AB、AD、AA₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴正方向。

（1）证明AC⊥B₁D₁；

（2）求点C到平面AB₁D₁的距离。作答空间：21.（8分）已知椭圆E：x²/4+y²=1，O为坐标原点。直线l：y=kx+1与椭圆E交于A、B两点。

（1）求椭圆E的焦距与离心率；

（2）若OA⊥OB，求k的值；

（3）当k=1/2时，求△OAB的面积。作答空间：22.（8分）已知函数g(x)=x³-3x²+1。

（1）求g(x)的单调区间；

（2）求g(x)的极大值与极小值；

（3）若直线y=m与曲线y=g(x)有三个不同交点，求m的取值范围。作答空间：23.（8分）设aₖ=1/[k(k+1)]，Tₙ=a₁+a₂+…+aₙ。

（1）求Tₙ的表达式；

（2）求使Tₙ>0.95成立的最小正整数n；

（3）若用Tₙ近似1，要求误差不超过0.02，求n的取值条件。作答空间：24.（7分）已知二次函数F(x)=x²-2tx+2，x∈[0，3]。

（1）用含t的式子表示F(x)在[0，3]上的最小值m(t)；

（2）若m(t)≤-1，求实数t的取值范围。作答空间：25.（10分）已知函数φₐ(x)=x-lnx-a，定义域为(0，+∞)。

（1）当a=1时，求φ₁(x)的单调区间与最小值；

（2）讨论方程φₐ(x)=0的实根个数；

（3）当a>1时，设方程φₐ(x)=0的两个根为x₁、x₂，且0<x₁<1<x₂，证明x₁x₂<1。作答空间：

解答题续写与草稿区（可用于第21—25题补充推理、图形标注和订正草算）续写空间：

学生自查与订正栏（答案解析前完成）订正记录：

参考答案、逐题解析、评分细则与压轴题讲评本区按1—25题顺序给出参考答案、关键解析与步骤得分点。主观题评分采用分步给分，等价方法在结论正确、逻辑完整、书写规范时可参照给分。答案速查题号12345678910答案CCDBBCBACA题号111213141516答案-1+2√34/5105912三轮复习逐题诊断清单题号核心考查常见失分点订正要点1集合、整数解与不等式端点取舍不清，整数集合列举不全先化区间，再列整数，最后取交集2复数四则运算把虚部误写成含i的项，分母有虚数未处理用共轭复数化简，区分复数与虚部3三角方程与区间端点漏掉0、2π等端点，分式化简中误除sinx因式分解后分类讨论全部解4二项式定理常数项通项指数列错，符号判断混乱写出一般项，令指数为0再求系数5平面向量垂直把垂直条件写成坐标对应成比例数量积为0是判定垂直的直接条件6古典概型分母分子样本空间不一致，把有序与无序混用先确定所有取法，再计算有利取法7导数与单调性定义域遗漏，导数符号与区间对应不准先定定义域，再解导数符号8圆与切线长配方半径算错，切线长当成圆心距由圆心、半径构造直角三角形9等比数列未利用正项条件导致公比符号不定由a₃/a₁求q²，再结合正项定q10函数单调与参数只检验端点，不看导数最小位置导数非负需在整个区间成立11对数方程先合并对数却忘记定义域先列x>1，解方程后回代筛根12同角三角函数sin2α公式使用不熟，计算化简失误用tan表达sin2α可减少求sin、cos步骤13组合数与展开式项数位置与指数位置混淆确定x²项对应的组合数14抛物线定义焦点坐标误写，距离公式计算出错先由标准式确定焦点，再算两点距离15递推求通项只会逐项算，不能写出一般式把差分累加成等差求和16直线与圆相切点到直线距离公式符号处理错误圆心到直线距离等于半径17三角恒等变形与余弦定理化一角不到位，A的范围判断不清把函数最值条件转为角A，再用余弦定理18递推数列与求和构造新数列不自然，求和公式指数偏移平移后转化为等比数列19统计量与概率平均数、中位数位置不准，事件补集不清先整理数据分组，再用补集求概率20空间向量坐标建立不统一，法向量与距离公式错配向量数量积证垂直，法向量求点面距21椭圆与直线交点联立方程漏固定点，数量积条件写错利用一个固定交点，另一个交点由根结构给出22导数与三次函数图像极值与单调区间顺序混乱，三交点范围写成闭区间水平线位于极小值与极大值之间23裂项求和与误差裂项符号反向，误差目标与求和目标混淆先求Tₙ，再分别处理阈值与误差24含参二次函数顶点不在区间内仍套顶点值按t相对区间[0,3]的位置分段25导数压轴与根比较只会根个数讨论，不会比较两个根构造1/x₁并利用单调性比较x₂使用方式：学生先在试题区独立完成，再用本清单定位薄弱点；教师讲评时可按“基础计算、模型识别、参数分类、规范表达”四条线归纳。每名学生订正时至少写出一个错因、一个关键式和一个最终结论，避免只改答案不改过程。一、选择题解析与评分细则1.答案：C解析：B中不等式x²-3x-4<0化为(x-4)(x+1)<0，得-1<x<4。A={-2，-1，0，1，2}，所以A∩B={0，1，2}。评分细则：选对得5分；选错、多选或不选得0分。易错提醒：整数集合A先列举，再与开区间相交，端点-1不属于B。2.答案：C解析：z=(1+2i)/(1-i)=((1+2i)(1+i))/2=(-1+3i)/2，所以虚部为3/2。评分细则：选对得5分；把虚部写成3i/2或只化到复数形式未选出正确选项不得分。易错提醒：复数的虚部是实数系数，不含i。3.答案：D解析：由2sinxcosx=sinx得sinx(2cosx-1)=0。在[0，2π]上，sinx=0给x=0，π，2π；cosx=1/2给x=π/3，5π/3，共5个解。评分细则：选对得5分；漏掉端点0或2π导致个数错误不得分。易错提醒：闭区间端点必须计入。4.答案：B解析：通项为C(6,k)(x²)⁶⁻ᵏ(-x⁻¹)ᵏ=C(6,k)(-1)ᵏx¹²⁻³ᵏ。令12-3k=0，得k=4，常数项为C(6,4)=15。评分细则：选对得5分；符号或指数判断错误不得分。易错提醒：常数项指数为0，k从0到6。5.答案：B解析：a⊥b等价于a·b=0，即1·m+2·(-1)=0，解得m=2。评分细则：选对得5分；把垂直误判为平行不得分。6.答案：C解析：所有取法为C(5,2)=10；恰有1名女生的取法为C(3,1)C(2,1)=6，概率为6/10=3/5。评分细则：选对得5分；分母样本空间不统一不得分。易错提醒：随机选2人不区分先后。7.答案：B解析：f′(x)=1/(x+1)-1/(x+1)²=x/(x+1)²。定义域为(-1，+∞)，导数在(-1，0)为负，在(0，+∞)为正。评分细则：选对得5分；未关注定义域导致区间错误不得分。易错提醒：x=-1不在定义域内。8.答案：A解析：圆可化为(x-2)²+(y+1)²=4，圆心C(2，-1)，半径r=2。OC=√5，切线长为√(OC²-r²)=√(5-4)=1。评分细则：选对得5分；半径计算错误不得分。易错提醒：切线长公式来自直角三角形。9.答案：C解析：正项等比数列中a₃=a₁q²，故8=2q²，q²=4。因数列为正项，q=2，所以a₅=a₁q⁴=2×16=32。评分细则：选对得5分；忽视正项条件而产生符号歧义不得分。10.答案：A解析：f′(x)=3x²-3a。要在[-1，1]上单调递增，应有f′(x)≥0恒成立。x²在该区间最小值为0，故-3a≥0，a≤0。评分细则：选对得5分；只检查端点而未检查x=0不得分。易错提醒：导数非负需要在整个区间成立。二、填空题解析与评分细则11.答案：-1+2√3解析：由对数定义域得x>1。原方程化为log₂[(x-1)(x+3)]=3，故(x-1)(x+3)=8，即x²+2x-11=0。解得x=-1±2√3，结合x>1，取x=-1+2√3。评分细则：结果正确得5分；未检验定义域但最终答案正确得4分；两个根都写得3分；方程变形错误不得分。易错提醒：对数方程必须先看定义域。12.答案：4/5解析：利用sin2α=2tanα/(1+tan²α)，代入tanα=2，得sin2α=4/(1+4)=4/5。评分细则：答案正确得5分；公式正确但计算失误酌情给2—3分。13.答案：10解析：(1+x)⁵展开式中x²项系数为C(5,2)=10。评分细则：答案正确得5分；写成C(5,2)但未算出数值给4分。14.答案：5解析：抛物线y²=4x中2p=4，p=2，焦点F(1，0)。P(4，4)，故|PF|=√[(4-1)²+4²]=5。评分细则：答案正确得5分；焦点坐标正确但距离算错给2分。易错提醒：y²=2px时焦点为(p/2，0)。15.答案：91解析：由aₙ₊₁-aₙ=2n，得aₙ=1+2(1+2+…+n-1)=1+n(n-1)。故a₁₀=1+10×9=91。评分细则：答案正确得5分；通项正确但代入失误给4分；只递推到局部正确酌情给2—3分。16.答案：2解析：直线y=kx写成kx-y=0。圆心为(2，-1)，半径为√5。相切条件为|2k+1|/√(k²+1)=√5，平方得(2k+1)²=5(k²+1)，化简为(k-2)²=0，所以k=2。评分细则：答案正确得5分；距离公式正确但化简失误给3分。易错提醒：相切就是圆心到直线的距离等于半径。三、解答题参考答案、逐题解析与评分细则第17题参考答案与解析参考答案：（1）最小正周期2π，最大值2；（2）a=√21。（1）f(x)=√3sinx+cosx=2sin(x+π/6)，因此最小正周期为2π，最大值为2。（2）f(A)=2即2sin(A+π/6)=2。因0<A<π，得A+π/6=π/2，故A=π/3。由余弦定理，a²=b²+c²-2bc·cosA=4²+5²-2×4×5×1/2=21，所以a=√21。评分细则与步骤得分点：·化为2sin(x+π/6)并写出周期、最大值，共3分。·由f(A)=2得到A=π/3，给2分。·正确使用余弦定理并求得a=√21，给2分。讲评要点：三角函数化一角是本题核心，第二问必须把三角函数条件转化为三角形内角。第18题参考答案与解析参考答案：（1）aₙ=2ⁿ-1；（2）n=5。令bₙ=aₙ+1，则bₙ₊₁=aₙ₊₁+1=2aₙ+2=2(aₙ+1)=2bₙ，且b₁=2。所以bₙ=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ，进而aₙ=2ⁿ-1。Sₙ=∑(2ᵏ-1)=2ⁿ⁺¹-2-n。令Sₙ=57，得2ⁿ⁺¹-2-n=57，即2ⁿ⁺¹=59+n。检验正整数n，n=5时64=64，故n=5。评分细则与步骤得分点：·构造bₙ=aₙ+1并证明其为等比数列，给3分。·写出aₙ=2ⁿ-1，给2分。·求和式正确给1分，求出n=5给1分。讲评要点：递推式含常数项时，平移构造等比数列比反复迭代更稳。第19题参考答案与解析参考答案：平均数81.8，中位数83；概率3/5；建议围绕80分上下学生的基础错点与90分段提升题进行分层订正。（1）总分为818，平均数为818/10=81.8。数据已按从小到大排列，中位数为第5、6个数的平均，即(82+84)/2=83。（2）成绩不低于80分的有82，84，86，88，92，95共6人，其中不低于90分的有2人。随机选2人，至少1人不低于90分的概率为1-C(4,2)/C(6,2)=1-6/15=3/5。（3）建议可写为：80分附近学生重点整理计算、函数图像和统计概率基础题；90分以上学生重点突破圆锥曲线、导数压轴与规范表达。只要建议与数据特征对应即可。评分细则与步骤得分点：·平均数计算2分，中位数计算2分。·样本空间与事件计数正确给3分，概率化简正确给1分。·建议能回扣数据分布和三轮复习目标，给1分；空泛表述不给分。讲评要点：统计题的开放建议不是作文，应紧扣数据的低中高分段。第20题参考答案与解析参考答案：（1）AC⊥B₁D₁；（2）点C到平面AB₁D₁的距离为6√22/11。建立坐标系：A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，B₁(2，0，3)，D₁(0，2，3)。（1）向量AC=(2，2，0)，向量B₁D₁=D₁-B₁=(-2，2，0)。两向量数量积为2×(-2)+2×2+0×0=0，故AC⊥B₁D₁。（2）平面AB₁D₁过A，取AB₁=(2，0，3)，AD₁=(0，2，3)。法向量可取n=AB₁×AD₁=(-6，-6，4)，等价取(3，3，-2)。平面方程为3x+3y-2z=0。点C(2，2，0)到该平面的距离d=|3×2+3×2|/√(3²+3²+(-2)²)=12/√22=6√22/11。评分细则与步骤得分点：·正确建立坐标并写出关键点坐标，给2分。·用数量积为0证明垂直，给2分。·求得平面法向量与方程给2分；距离公式与结果正确给1分。讲评要点：空间几何压成向量坐标后，证垂直看数量积，求距离看法向量。第21题参考答案与解析参考答案：（1）焦距2√3，离心率√3/2；（2）k=±1/2；（3）面积为1。椭圆x²/4+y²=1中a=2，b=1，c=√(a²-b²)=√3，所以焦距为2c=2√3，离心率e=c/a=√3/2。把y=kx+1代入椭圆得x²/4+(kx+1)²=1，即(k²+1/4)x²+2kx=0。故一个交点为A(0，1)，另一个交点B的横坐标为x=-2k/(k²+1/4)。若OA⊥OB，则OA=(0，1)，OB=(x，kx+1)，数量积为kx+1，故kx+1=0。结合x=-2k/(k²+1/4)，得-2k²/(k²+1/4)+1=0，解得k²=1/4，即k=±1/2。当k=1/2时，另一个交点为B(-2，0)，A(0，1)，所以△OAB面积为1/2×2×1=1。评分细则与步骤得分点：·求c、焦距、离心率，共2分。·联立方程并找出两交点结构，给2分。·由OA⊥OB建立数量积条件并求k，给3分。·k=1/2时求面积正确，给1分。讲评要点：过椭圆上端点的动直线往往能得到一个固定交点，另一个交点用根的结构处理。补充解析：本题第（2）问的关键不是把交点坐标全部求得很复杂，而是利用直线l恒过椭圆上端点A(0，1)。联立后方程(k²+1/4)x²+2kx=0，一根x=0对应A，另一根由根与系数关系直接得到。这样可以减少消元计算量，也能避免在代入纵坐标时出现符号混乱。规范步骤补充：由OA⊥OB可写为向量OA·OB=0。由于OA=(0，1)，OB=(xB，kxB+1)，所以条件化为kxB+1=0。再把xB=-2k/(k²+1/4)代入，得到1-2k²/(k²+1/4)=0，移项后为k²+1/4=2k²，故k²=1/4。答案必须写成k=1/2或k=-1/2，不能只写正值。评分细化：第（1）问中写出a=2、b=1得1分，写出c=√3并求焦距、离心率得1分；第（2）问中联立方程得2分，利用垂直建立数量积条件得2分，解出两个k值得1分；第（3）问只在k=1/2条件下求面积，坐标与面积各1分。等价使用斜率乘积为-1时，也必须说明OA斜率不存在而应转化为向量或坐标关系，否则酌情扣分。常见失分点：一是把椭圆的焦距误写为c而不是2c；二是代入直线后漏掉x=0这个已知交点，导致另一个交点坐标求错；三是垂直条件只写“斜率乘积为-1”，没有处理OA为竖直方向的特殊性；四是第（3）问把k=-1/2时的图形误带入，或面积少乘1/2。二次订正指导：订正时在题旁标出“四步链”：定点A、求另一交点B、数量积为0、底高法求面积。对于圆锥曲线中含参直线题，先问自己直线是否经过定点，再决定是完整求根还是使用根与系数关系。第22题参考答案与解析参考答案：单调增区间(-∞，0)与(2，+∞)，单调减区间(0，2)；极大值1，极小值-3；-3<m<1。g′(x)=3x²-6x=3x(x-2)。当x<0或x>2时，g′(x)>0；当0<x<2时，g′(x)<0。因此g(x)在(-∞，0)上递增，在(0，2)上递减，在(2，+∞)上递增。g(0)=1为极大值，g(2)=8-12+1=-3为极小值。直线y=m与曲线有三个不同交点，需要水平线位于极小值与极大值之间，故-3<m<1。评分细则与步骤得分点：·求导正确给2分。·导数符号表或单调区间正确给3分。·极值点与极值正确给2分。·由三交点写出m范围给1分。讲评要点：三次函数三交点问题，关键是水平线穿过极大值和极小值之间的高度带。补充解析：导数g′(x)=3x(x-2)把数轴分成(-∞，0)、(0，2)、(2，+∞)三个区间。判断符号时可取-1、1、3代入，也可直接看两因子同号或异号。单调性写完后要立刻计算g(0)与g(2)，因为这两个值决定水平线y=m与曲线交点个数的临界高度。规范步骤补充：当m=1时，水平线经过极大值点，图像在该处相切，只能得到两个不同交点；当m=-3时，水平线经过极小值点，同样不能形成三个不同交点。因此第（3）问的范围必须写成-3<m<1，端点不能取。若只写-3≤m≤1，说明没有区分“交点个数”和“交点重数”。评分细化：求导式正确给2分；用导数符号表或文字准确写出三个单调区间给3分；由左增右减判定x=0为极大值点、由左减右增判定x=2为极小值点，并算出极值，给2分；最后结合图像或单调性说明m的开区间范围给1分。若极值点正确但极值数值算错，后续范围随之错误，按前面步骤保留相应过程分。常见失分点：把g′(x)因式分解成3x(x-3)；导数符号表中0与2的左右区间写反；把极大值、极小值与最大值、最小值混为一谈；第（3）问只凭画图写范围，没有说明为什么端点不取。二次订正指导：三轮复习中遇到“函数与直线交点个数”题，应固定使用“求导—单调—极值—画水平线—判端点”的流程。订正本题时，学生应补画一条简图，在图上标出(0，1)、(2，-3)和水平线y=m的位置。第23题参考答案与解析参考答案：（1）Tₙ=n/(n+1)；（2）最小n为20；（3）n≥49。因为1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1)，所以Tₙ=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1)=n/(n+1)。Tₙ>0.95等价于n/(n+1)>19/20，即20n>19n+19，得n>19，因此最小正整数n=20。用Tₙ近似1的误差为1-Tₙ=1/(n+1)。要求误差不超过0.02=1/50，则1/(n+1)≤1/50，故n+1≥50，n≥49。评分细则与步骤得分点：·裂项变形正确给3分。·写出Tₙ=n/(n+1)给2分。·解Tₙ>0.95得n=20给2分。·误差条件n≥49给1分。讲评要点：本题考查从公式到误差控制的连续表达，结论不能只停留在求和。补充解析：裂项相消题必须先把一般项拆成相邻两项的差。因为1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1)，所以从k=1加到n时，中间的1/2、1/3、……、1/n全部抵消，只剩首项1和末项-1/(n+1)。写出这一行相消过程，是本题获得过程分的核心。规范步骤补充：第（2）问中0.95要化为19/20，避免小数运算造成不等号方向或临界值判断错误。n/(n+1)>19/20等价于20n>19n+19，得n>19，因n为正整数，所以最小n为20。第（3）问中的误差是|1-Tn|，本题Tn<1，因此误差为1/(n+1)，要求不超过0.02即小于等于1/50，故n≥49。评分细化：能写出裂项公式得3分；能完整写出Tn=1-1/(n+1)=n/(n+1)得2分；第（2）问把0.95转成分数并解出n>19得1分，写出最小正整数20得1分；第（3）问明确误差为1/(n+1)得1分，写出n≥49得1分。若只直接代数试算，可给结论分，但过程分不宜给满。常见失分点：把1/[k(k+1)]拆成1/k+1/(k+1)；相消后末项写成-1/n；把Tn>0.95误解为n≥19；把“不超过0.02”写成严格小于0.02；没有说明n为正整数，导致临界值处理不规范。二次订正指导：订正时写下“裂项、相消、阈值、误差”四个关键词。若本题失分，说明对数列求和与极限估计之间的联系不够熟，应再选两道裂项求和题进行限时复做，重点检查末项和不等号。第24题参考答案与解析参考答案：m(t)=2（t<0），2-t²（0≤t≤3），11-6t（t>3）；t≥√3。F(x)=x²-2tx+2=(x-t)²+2-t²，开口向上，顶点横坐标为x=t。当t<0时，顶点在区间左侧，最小值在x=0处取得，m(t)=2。当0≤t≤3时，顶点在区间内，m(t)=2-t²。当t>3时，顶点在区间右侧，最小值在x=3处取得，m(t)=9-6t+2=11-6t。令m(t)≤-1。t<0时不成立；0≤t≤3时，2-t²≤-1，得t≥√3；t>3时，11-6t≤-1自动成立于t>3。合并得t≥√3。评分细则与步骤得分点：·配方并指出顶点横坐标给2分。·分三种位置写出m(t)，每段1分，共3分。·分段解不等式并合并为t≥√3，给2分。讲评要点：含参最值先判顶点相对区间的位置，不要直接把顶点值套用到所有t。补充解析：二次函数F(x)=(x-t)²+2-t²的顶点横坐标为t，但题目限定x∈[0，3]。因此最小值不一定总在顶点处取得，而要看t与区间[0，3]的相对位置。t<0时，整个区间在顶点右侧，函数在[0，3]上递增，最小值在x=0；0≤t≤3时，顶点落在区间内，最小值为顶点值；t>3时，整个区间在顶点左侧，函数在[0，3]上递减，最小值在x=3。规范步骤补充：分段函数m(t)应写成三段，并注意0和3可以归入中间段。t=0时左段值2与中间段值2一致，t=3时中间段值-7与右段值-7一致，所以分段在端点处自洽。解m(t)≤-1时，要分别代入三段求解，再合并。第一段2≤-1无解；中间段2-t²≤-1得t≥√3，同时满足0≤t≤3；右段11-6t≤-1得t≥2，而右段已要求t>3，因此右段全部满足。合并为t≥√3。评分细化：配方并指出顶点位置得2分；写出三种位置下最小值各1分，共3分；分段解不等式时，中间段给1分，右段与合并给1分。若只写m(t)=2-t²，则最多给顶点值相关过程分，不能给完整分段分。常见失分点：没有写定义域x∈[0，3]，直接使用顶点值；把t<0与t>3两段最小值端点弄反；解2-t²≤-1时写成t≤-√3或遗漏t≥√3；合并时把t>3另写成独立答案而未与中间段连成t≥√3。二次订正指导：含参区间最值题要先画一条数轴，把0、3和顶点t标在同一直线上。订正本题时，学生应在草稿区补出“顶点在左、在内、在右”三幅小图，并标明每段最小值取在哪个端点或顶点。第25题参考答案与解析参考答案：（1）φ₁(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，最小值0；（2）a<1无根，a=1一个根，a>1两个根；（3）见证明。（1）φ₁′(x)=1-1/x=(x-1)/x。因x>0，所以在(0，1)上φ₁′(x)<0，在(1，+∞)上φ₁′(x)>0。故φ₁(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，最小值为φ₁(1)=0。（2）一般地，φₐ′(x)=(x-1)/x，最小值在x=1处取得，且φₐ(1)=1-a。又当x→0⁺时，x-lnx-a→+∞；当x→+∞时，x-lnx-a→+∞。所以a<1时最小值大于0，无实根；a=1时最小值为0，有一个实根x=1；a>1时最小值小于0，两端趋于正无穷，有两个实根。（3）当a>1时，两个根满足0<x₁<1<x₂，且x₁-lnx₁=x₂-lnx₂=a。只需证明x₂<1/x₁。令0<t<1，比较函数值：h(x)=x-lnx，则h(1/t)-h(t)=1/t+lnt-t+lnt=1/t-t+2lnt。设Q(t)=1/t-t+2lnt，则Q′(t)=-1/t²-1+2/t=-(t-1)²/t²≤0，且Q(1)=0。于是0<t<1时Q(t)>0。取t=x₁，得h(1/x₁)>h(x₁)=a。由于h(x)在(1，+∞)上递增，且h(x₂)=a，所以x₂<1/x₁，即x₁x₂<1。评分细则与步骤得分点：·求导并判断φ₁单调性，给3分。·指出最小值φ₁(1)=0，给1分。·结合最小值与两端趋势完成根个数讨论，给3分。·第三问能构造h(1/x₁)与h(x₁)比较，给1分；证明Q(t)>0给1分；推出x₁x₂<1给1分。讲评要点：压轴题不在复杂计算，而在把两个根放到同一单调区间比较。第三问的关键是构造1/x₁，并证明其函数值高于x₁对应函数值，从而借助(1，+∞)上的单调性夹出x₂。补充解析：第（1）问是整题的入口。φ₁′(x)=(x-1)/x，因定义域是x>0，所以导数符号只由x-1决定。x=1左侧导数为负，右侧导数为正，函数先减后增，最小值为0。这一步不仅给出a=1时的结论，也为第（2）问讨论参数a提供模型。第（2）问应把φa(x)=x-lnx-a看成h(x)-a，其中h(x)=x-lnx。h(x)在(0，1)递减，在(1，+∞)递增，最小值h(1)=1。方程h(x)=a相当于水平线y=a与函数h(x)的交点个数。当a<1时，水平线低于最小值，无根；a=1时与最低点相切，一个根；a>1时，左右两支各有一个交点，共两个根。这里还要说明两端趋势：x→0⁺时-lnx→+∞，x→+∞时x-lnx→+∞，所以左右两支都能向上延伸。第（3）问的比较思想：已知0<x1<1<x2且h(x1)=h(x2)=a。若能证明h(1/x1)>h(x1)，由于1/x1>1，而h在(1，+∞)上递增，那么达到高度a的右侧根x2必定位于1与1/x1之间，即x2<1/x1，从而x1x2<1。这个思路把“两个根的乘积”转化为“右侧根的位置比较”，比直接求根更适合本题。关键不等式补充：令0<t<1，Q(t)=h(1/t)-h(t)=1/t-t+2lnt。求导得Q′(t)=-(t-1)²/t²≤0，所以Q(t)在(0，1]上单调不增。又Q(1)=0，因此当0<t<1时，Q(t)>0。把t换成x1，得h(1/x1)>h(x1)。这里“不增且终点为0”推出左侧值大于0，是很多学生容易漏写的逻辑点。评分细化：第（1）问求导1分，导数符号与单调区间2分，最小值1分；第（2）问能说明h的最小值为1得1分，能说明两端趋于正无穷得1分，三种a的根个数分类完整得1分；第（3）问写出两个根