特殊四边形的综合题 教学教学课件2026年浙江省中考数学二轮复习难点突破

特殊四边形的综合题【命题解读】此题型是浙江近三年的常考题型，考查形式为解答题，题位为24题，分值为12－14分，常结合特殊四边形的性质、锐角三角函数、勾股定理、轴对称的性质等知识点考查，常考类型有：类型一

与平行四边形有关的问题；类型二

与菱形有关的问题(浙江2025.24)；类型三

与矩形有关的问题；类型四

与正方形有关的问题．类型一典例精析例1与平行四边形有关的问题

(2025·上海)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，连接AE，EF，AF．①

②

③(1)若E是BC的中点．①如图①，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC；答图①【解答】如答图①，延长FE，AB相交于点H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EBH＝∠ECF，∠EHB＝∠EFC．∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴△BEH≌△CEF(AAS)，∴EH＝EF．∵AE＝EF，∴AE＝EH，∴∠EHB＝∠BAE，∴∠BAE＝∠EFC．思路点拨延长FE，AB相交于点H，证明△BEH≌△CEF，利用全等三角形的性质，结合等边对等角即可证明．②如图②，若CF＝DF，连接BF交AE于点G，求S△BEG∶S△AEF的值．

②

思路点拨

答图②

答图②

(2)如图③，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长．③思路点拨延长AD，EF相交于点M，由平行四边形的性质等可证得△AEF∽△MEA，△AEF∽△ECF，再证明△ECF∽△MDF，结合相似三角形的性质即可求解．答图③

【解答】如答图③，延长AD，EF相交于M.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝3，∴∠AEB＝∠EAD.∵∠AEB＝∠AFE，∴∠EFA＝∠EAM.又∵∠AEF＝∠MEA，∴△AEF∽△MEA.

答图③

答图③

对点训练1．(2025·绍兴嵊州模拟)如图①，在平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，且AE＝AD，F是AE上一点，满足∠DFE＝∠BAD．(1)求证：AF＝EB．①

①

(2)如图②，连接DE，过点F作FG∥AD交DE于点G，连接CG．①求证：四边形FECG为菱形；②证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，AB＝DC.∵AE＝AD，∴AE＝BC，∴AF＋EF＝BE＋EC.由(1)知AF＝EB，∴EF＝EC.∵∠DFE＝∠BAD，∴∠DFE＝∠BCD.

②

②答图

答图

答图

类型二典例精析例2与菱形有关的问题(浙江2025.24)(2025·浙江24题12分)在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．(1)如图①，求sin∠BAC的值．①答图①

思路点拨(2)如图②，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．①当EF⊥AC时，求AE的长．②思路点拨连接BD交AC于点O，由菱形的性质和勾股定理求出OB的长，进而可得到BD的长；证明EF∥BD，得到∠DBE＝∠FEB，结合轴对称的性质、等角对等边即可求解．

答图②②求PA－PB的最小值．②思路点拨

答图②

答图②对点训练2．已知在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E为BC延长线上的一个动点，连接EA，ED．(1)如图①，若ED⊥AD，求EA的长．①

①

(2)如图②，F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，求证：AF·AE＝4．②

(3)如图③，在(2)的条件下，连接BF．①∠AFB的大小是否为定值?如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．③

③

答图

答图

(2025·南充)在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处．类型三典例精析例3与矩形有关的问题①(1)如图①，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP＝FC；思路点拨连接EF，由矩形的性质及折叠的性质，得∠EPF＝90°＝∠C，证明Rt△EPF≌Rt△ECF，即可求证．

答图①(2)如图②，点M在线段CD上，CM＝4．点E在移动过程中，求PM长的最小值；②思路点拨根据题意得点P在以点A为圆心，10为半径的圆上，连接AM交☉A于点P'，当点P与点P'重合时，PM的长最小，最小值为P'M的长．根据勾股定理求出AM的长，再利用线段的和差即可求解．

答图②(3)如图②，点N在线段AD上，AN＝4．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长．②思路点拨过点P作PH⊥AD于点H，延长HP交BC于点G，证明△PHN∽△DHP，利用相似三角形的性质和勾股定理求解即可．答图③

【解答】过点P作PH⊥AD于点H，延长HP交BC于点G，连接PD，NP，如答图③，则∠PHN＝∠PHD＝90°.∵∠NPD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∵∠PHN＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝∠2.又∵∠PHN＝∠DHP，

答图③

易证四边形ABGH是矩形，∴∠PGE＝90°，HG＝AB＝10，BG＝AH＝8，∴PG＝HG－HP＝4.由折叠的性质，得PE＝BE.设BE＝m，则PE＝m，EG＝8－m.在Rt△PGE中，由勾股定理，得PE2＝EG2＋PG2，∴m2＝(8－m)2＋42，解得m＝5，∴BE的长为5.答图③

对点训练3．(2025·丽水莲都区模拟)如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为F，延长AF交BC于点G，交DC的延长线于点H，连接FC．(1)若BE＝CH，求证：FG＝CG．

(2)当AB＝5，BC＝6时．①连接BD，若EF∥BD，求CE的长；答图①

答图①

答图①

②当∠ECF＝∠EAF时，连接EH，求△ECH的面积．答图②

解：如答图②，过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，连接BF交AE于点P.由折叠的性质，得∠BAE＝∠EAF，AF＝AB＝5，BE＝EF，AE垂直平分BF，∴∠BPE＝90°，∴∠PBE＋∠BEP＝90°.∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠BEP＝90°，∴∠PBE＝∠BAE.

答图②

答图②

类型四典例精析例4与正方形有关的问题(2025·舟山模拟)已知四边形ABCD是正方形，E，F分别是边AB，BC上的点(点E，F均不与正方形的顶点重合)，且满足AE＝BF，连接AF，DE相交于点G．①(1)如图①，求证：∠AGD＝90°．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°．又∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF(SAS)，∴∠ADE＝∠BAF．∵∠DAG＋∠BAF＝90°，∴∠DAG＋∠ADE＝90°，∴∠AGD＝180°－(∠DAG＋∠ADE)＝90°．思路点拨证明△DAE≌△ABF，得出∠ADE＝∠BAF，由三角形内角和即可得证．①(2)如图②，连接AC交DE于点P，作∠DGF的平分线GM交AC于点M．①当AE＝AP，AG＝2时，求AM2的值；②备用图思路点拨利用正方形的性质、等角对等边等求出GM＝AG＝2．过点M作MH⊥AF

于点H，由等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可．

②

答图①②试猜想AG，GM，DG之间的数量关系，并证明．②思路点拨

答图②

答图②

答图②

对点训练