一次函数与方程（组）、不等式课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

23.3一次函数第二十三章一次函数第5课时一次函数与方程（组）、不等式学习目标1.会根据一次函数的图象解释一次函数与方程(组)、不等式的关系，体会它们之间的内在联系.2.能通过解方程(组)确定对应的一次函数图象的交点坐标；反之，会结合图象求方程(组)的解或不等式的解集，体会数形结合思想，发展几何直观和推理能力.课堂导入数数去超市买水果，苹果每斤5元.假设他买了

x

斤，总价

y

元.问：(1)如果数数付了30元，他买了几斤苹果？(2)如果数数只带了30元，他最多能买几斤苹果？(3)总价

y

与

x

的关系是什么？5x=305x≤30y=5x方程不等式函数方程、不等式、函数有什么联系呢？新知探究知识点1一次函数与一元一次方程的关系思考

如图，一次函数

y=2x-1的图象与

x

轴交点的横坐标是0.5.当自变量

x

的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x－1=0的解吗？新知探究知识点1一次函数与一元一次方程的关系分析：一次函数

y=2x-1的图象与

x轴交点的横坐标为(0.5,0)，这表明当自变量

x的值为0.5时，函数值为0.y=2x-1由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解是

x=0.5.0.50新知探究知识点1一次函数与一元一次方程的关系一次函数与一元一次方程的关系因为任何一个以

x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数

y=ax+b的函数值为0时，求自变量

x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与

x轴的交点的横坐标.新知探究知识点1一次函数与一元一次方程的关系

利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤①转化：将一元一次方程转化为

kx+b=0(k≠0)的形式.②画图象：画出一次函数

y=kx+b的图象.③找交点：找出一次函数图象与

x轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.新知探究知识点1一次函数与一元一次方程的关系一次函数与一元一次方程的关系新知探究知识点1一次函数与一元一次方程的关系拓展

如何求方程

kx+b=n

的解？新知探究知识点1一次函数与一元一次方程的关系例1

一次函数

y=kx+b的图象如图所示，则方程

kx+b=0的解为_______，方程

kx+b=2的解为_______.x=-1x=0新知探究知识点2一次函数与一元一次不等式的关系分析：当图象上点的纵坐标大于0时,点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是

x>0.5；当图象上点的纵坐标小于0时,点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是

x<0.5.思考

如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1＞0与2x-1＜0的解集吗？∴不等式2x-1>0的解集是

x>0.5,不等式2x-1<0的解集是

x

<

0.5.新知探究知识点2一次函数与一元一次不等式的关系一次函数与一元一次不等式的关系

对于可化为

ax+b>0或

ax+b<0(a≠0)的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量

x

的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线

y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.新知探究知识点2一次函数与一元一次不等式的关系一次函数与一元一次不等式的关系新知探究知识点2一次函数与一元一次不等式的关系例2

如图，一次函数

y=kx+b

的图象过点(2，-1)，则关于

x的不等式

kx+b>-1的解集为()A.x<2B.x>2C.x<-1D.x>-1A解析：由函数图象可知，当x<2时，一次函数y=kx+b的图象在直线y=-1的上方，即kx+b>-1,所以不等式kx+b>-1的解集为x<2.新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系思考如何用一次函数的图象解释二元一次方程？以方程2x-y=1为例.分析：方程2x-y=1可以转化为y=2x-1，它们有相同的解.y=2x-1对应一次函数y=2x-1，它的图象是一条直线.这条直线上每个点的坐标(x,y)都是方程2x-y=1的解，以方程2x-y=1的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上.新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系一次函数与二元一次方程的关系

由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上.新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系一次函数与二元一次方程的关系注意：虽然一次函数与二元一次方程可以相互转化，但是一次函数≠二元一次方程.一次函数y=kx+b二元一次方程y-kx=b一次函数y=x+b图象上点的坐标二元一次方程y-kx=b的解一一对应相互转化新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系辨析一次函数与二元一次方程的区别二元一次方程一次函数字母表示的意义不同表示未知数表示变量表示方法不同只能用等式解析式、表格和图象新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系

新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系

新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系一次函数与二元一次方程组的关系一般地，由含有未知数

x

和

y

的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系

图象法求二元一次方程组的解的一般步骤①变函数：把方程组中的方程化为一次函数的形式.②画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象.③找交点：由图象确定两直线交点的坐标④写结果：依据点的坐标写出方程组的解.注意：用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解.新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系思考

两直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的情况的关系？两直线的位置关系对应的二元一次方程组解的情况相交有唯一解平行无解重合有无数组解新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系例3同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min.(1)分别写出表示两个气球所在位置的高度

y(单位：m)关于上升时间

x(单位：s)的函数解析式.解：(1)气球上升时间

x满足0≤

x

≤60.对于1号气球，y关于

x

的函数解析式为

y=x+5.对于2号气球，y关于x的函数解析式为

y=0.5x+15.新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？解：(2)两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于

x(0≤

x≤60)的某个值，函数

y=x+5和

y=0.5x+15有相同的值

y.由此可以列二元一次方程组

解得这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.

y=x+5,y=0.5x+15,x=20.y=25.新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系也可以画一次函数的图象解答此问题.如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函

数

y=x+5与y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为(20，25)，这说明当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系也可以画一次函数的图象解答此问题.如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函

数

y=x+5与y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为(20，25)，这说明当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.新知探究知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系

1.如图3，已知一次函数y=kx-3的图象经过点M（-2，1）.（1）求该一次函数的解析式；（2）根据该一次函数的图象，求关于x的不等式kx-3>0的解集.图3

随堂练习2.如果不等式kx+b>0的解集为x<-1，那么直线y=kx+b（k<0）一定会经过一个定点，这个定点的坐标为

.

3.如图4，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（-1，3），

B（4，-2），且与x轴交于点C.（1）求一次函数的解析式及点C的坐标；图4（-1，0）

随堂练习（2）结合函数图象，直接写出当-1<x<4时，y的取值范围；（3）求△AOB的面积.图4

随堂练习4.已知一次函数y=kx+b的图象如图5所示，则关于x的不等式kx+2b>0的解集为

.

图5x>4随堂练习4图4-6<x<-3随堂练习6.如图2，直线y1=kx+b与直线y2=mx-n相交于点P（1，a），则关于x的不等式mx-n>kx+b的解集是（

）A.x>0 B.x<0C.x>1D.x<1图2C随堂练习7.如图5，直线l1：y=kx+b与x轴相交于点A（-5，0），与y轴相交于点B（0，5），直线l2：y=-2x-4与y轴相交于点C，且l1，l2相交于点D，连接AC.（1）求直线l1的解析式和点D的坐标；图5

随堂练习（2）观察图象，关于x的不等式kx+b<-2x-4的解集是

；（3）求△ACD的面积.图5x<-3

随堂练习8.（2025绥化节选）某科技公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶.如图6，y甲（单位：km），y乙（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（单位：h）之间的函数关系.请根据图象信息解答下列问题：①甲车的速度是

km/h.

②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值为

.

图6801.5或4.5或6.5随堂练习9．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往某地进行研学活动．大巴车出发1h后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发2h后追上大巴车，此时两车与学校相距150km.如图5，OA，BA分别表示大巴车、轿车离开学校的路程s（单位：km）与大巴车行驶的时间t（单位：h）之间的函数关系．（1）分别求OA，BA所在直线的函数解析式；图5随堂练习解：（1）由题意，得A（3，150）.设OA所在直线的函数解析式为s＝kt（k≠0）.将A（3，150）代入上式，得150＝3k.解得k＝50.∴OA所在直线的函数解析式为s＝50t.设BA所在直线的函数解析式为s＝at＋b（a≠0）.将A（3，150），B（1，0）代入，∴AB所在直线的函数解析式为s＝75t－75.随堂练习（2）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴车首次相距5km.解：（2）由题意，得50t－（75t－75）＝5.解得t＝2.8.∵轿车比大巴车晚出发1小时，∴2.8－1＝1.8.答：轿车出发1.8h后，轿车与大巴车首次相距5km.随堂练习10．如图8，直线l：y＝－2x＋b与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是（0，4）.（1）求直线l的函数解析式．图8解：（1）将