2026届新高考数学最后一课 新高考数学压轴题突破策略及命题趋势预测

2026届新高考数学最后一课

新高考数学压轴题突破策略及命题趋势预测探究概率与数列的综合应用之

马尔科夫链问题（形如an=pan-1+q）

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN一、从两个课例谈起

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN真题展示

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN真题展示

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养全概率公式与数列的递推关系（构造等比数列）1.掌握全概率公式，能用全概率公式对复杂事件进行概率分解；2.掌握数列递推关系的建立方法、会求an=pan-1+q型的通项公式；3.明晰概率与数列的交叉联系，能将概率问题转化为数列的递推问题进行求解。2019年浙江卷19题、天津卷18题2020年全国I卷理19题2022年北京卷18题2023年新高考I卷21题2024年新高考I卷19题2025年新高考Ⅱ卷19题

....

★★★★数据分析数学运算逻辑推理数学建模

考点分析

概率与数列的递推问题多以投篮比赛、摸球交换、质点运动、产品抽检等马尔科夫链模型为背景，利用全概率公式对复杂事件进行概率分解，对第n次状态按第n-1次状态分类，找到递推关系，利用待定系数法求解数列的通项。其考查重点集中在基础应用、构造变形和综合迁移三个层面。既注重基础知识的考查，核心步骤的掌握，也强调概率与数列知识的融合应用，是概率与数列模块核心素养的重要题型。探究概率与数列的综合应用之

马尔科夫链问题（形如an=pan-1+q）

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN必备知识1、条件概率：2、全概率：4、等比数列的通项公式：3、数列递推关系：（待定系数法)构造等比数列⇒

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN教材溯源甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求n次传球后球在甲手中的概率.马尔科夫链问题人教A版选择性必修第三册第91页复习参考题7第10题：

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN变式练习甲、乙、丙、丁四人做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其余三个人之一.设Pn表示经过n次传递后球回到甲手中的概率.（1）求P1，P2；（2）求Pn.

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN真题挑战

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN1、找到当下状态的“前一次”的所有可能的情况；2、结合对应概率写出“前一次”所有可能中蕴含的数列递推关系；3、利用数列递推技巧求答案.破题技巧

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN针对训练

构建三张一览表：第一轮：概念、定理、法则一览表；

第二轮：题型、思路、方法一览表；

第三轮：解题策略与易错点一览表。

第一轮：讲教材、讲结构、讲双基；

第二轮：讲题型、讲思路、讲方法；第三轮：讲策略、讲道理、讲错因。如2022年全国乙卷文科第16题

回归定义，正难则反策略

运用数学思想突破思维阻碍点

面对非常规试题，学生直接套用所学套路，当解题受阻便束手无策，此时可用数学思想调整解题策略，突破思维阻碍点。

当正面解决问题有困难时，可以考虑解决反面问题或用反证法；当问题的一般情形不易解决时，可以考虑特殊情形或取特值、特例发现规律；当问题代数分析较为困难时，可以考虑画图直观化发现某些本质关系（数形结合思想）；当问题解决具有不确定性时，可考虑分多种情形逐一解决（分类讨论思想）；等等。总之，把“方法”讲死了就变成“技巧”，把“方法”讲活了就变成“思想”或“策略”。讲题——例习题讲解延时符理解题意思路探求书写表达回顾反思审什么，怎么审思什么，怎么思探什么，怎么探写什么，怎么写会用数学的眼光看题，会用数学的思维想题，

会用数学的语言写题，会用数学的思想品题。矫正思维方式偏差；矫正思维结果偏差。反思重要知识；反思方法优劣；反思数学思想；反思关键步骤；反思错误原因（思维受阻）；反思问题变式。坚持三个并重：巧算与硬算，主干与细节，重点与非重点。二、数学压轴题突破策略以“解析几何”为例；以“函数导数”为例；以“概率统计”为例；既在于算更在于法

《解析几何》是高中数学教学的重要内容，也是历年高考考查的重点内容之一，它充分体现了解析几何数与形相互转化的数学思想，展示了解析几何在计算方法上的特点和技巧，表现出辩证思维的丰富内涵。这部分试题重在考查圆锥曲线中的基本知识和基本方法，同时也有一定的灵活性和综合性，一般是以圆锥曲线中有关的知识和方法为主线，结合平面几何及平面向量、函数与方程、数列、不等式、三角函数等有关知识和方法进行考查。解析几何考查特点分析解析几何考查特点分析近年全国Ⅱ卷对解析几何考查力度加强，基本位于中档题或压轴题的位置，重点考查直线与椭圆、抛物线、圆和双曲线的位置关系。考查方式：求曲线方程，几何性质（离心率，弦长问题，最值、参数的范围等）；注重知识的交汇考查。

解析几何的命题特点及教学建议（1）全国卷解析几何内容占22－26分，运算量较大。（2）直线与圆基本是渗透到小题、大题中。圆锥曲线的定义与方程、几何性质、焦点、离心率、双曲线渐近线方程、抛物线准线是重要基础，掌握好直线与圆锥曲线的位置关系，注重利用圆锥曲线的定义的应用，定点、定直线、定值、最值、范围、存在性问题等都要重视。（3）掌握直线与圆锥曲线的位置关系，常考有关图形面积或周长的最值或取值范围，用基本不等式或函数思想方法是主方向。要用好、用活数学思想方法简化运算，结合韦达定理，整体代换，设而不求，提高运算能力是关键。（4）注意向量与圆锥曲线的综合题；椭圆、双曲线的准线。（5）渗透分类讨论、数形结合的数学思想，利用“特值”定向、定位、定性，注重定点、定直线、定值和最值等的综合问题。简化解析几何运算的思想方法近几年高考试卷中的直线与圆锥曲线位置关系及定点定值定直线问题（2020年新高考Ⅰ卷第22题，2021年新高考Ⅰ卷第21题，2022年新高考Ⅱ卷第21题开放题，2023年新高考Ⅰ卷第22题和Ⅱ卷第21题，2024年新高考Ⅱ卷第19题，2025年新高考Ⅰ卷第18题），这些题都属于难度较大的题目，但若仅用代数方法求解，则运算量较大，若辅以图形特征，运用初中平几性质，用代数语言表述几何特征，则将大大简化运算。从思想方法来看，“圆锥曲线与方程”部分的编排以“几何问题，代数解决”为明线，“坐标法转化，数形结合”的思想方法指导为暗线。平面解析几何这部分的学习都贯穿数形结合思想。解析几何研究的对象是几何图形，所用的研究方法主要是代数方法。虽然解析几何问题的运算量普遍偏大，但若先分析几何图形，再根据几何特征性质、关系借助坐标法进行运算，将会实现简化运算的效果。因此，解析几何内容的学习需要培养学生数形结合思想，同时有利于培养学生数学运算、逻辑推理与数学抽象等核心素养。解析几何数学试题分析本题通过椭圆上的定点，构造以该定点为直角顶点的椭圆内接三角形，然后借助圆心和半径探寻定点和定值。创设了以数学运算和数学推理为目标的课程学习情境，是考查学生数学基础和数学素养的重要载体。试题情境本题在问题解决的过程中所需要的直线、圆以及椭圆的概念和方程等基础知识；以及阅读、作图、推理、运算和表达等基本技能；以及变化中的不变性，几何关系与数量关系的推理等基本思想；以及观察与分析、概括与抽象、归纳与演绎等基本活动经验；同时也考查学生在问题解决过程中不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。四基四能本题考查了学生理性思维、数学探索等数学学科素养；考查了学生逻辑思维、运算求解的能力；考查了学生合理的组织、调动各种相关知识的整合能力。本题通过复杂的问题情境，综合地考查了学生运用知识和思维解决问题的数学素养。四层四翼2020年新高考Ⅰ卷第22题（山东卷）运算与推理的数学基本技能；理性思维的数学学科核心素养.直线方程参数关系寻找MN定点定点定值由特殊到一般的数学思想；归纳与演绎的思维方法；三点共线的证明方法；抽象与概括的思维方法；数形结合的数学思想；逻辑思维能力；2024年新高考Ⅱ卷第19题函数和导数命题特点分析

“函数和导数”是高考数学的重要内容之一，是现行课程标准中四大主线内容之一，可以毫不夸张地说是高考数学重中之重，近年一般是三小一大27分或四小一大32分。选择填空题考点可总结为七类：一是分段函数；二是函数的性质；三是基本函数；四是函数图象；五是函数零点（方程的根）；六是函数的最值；七是导数及其应用。

涉及到的数学思想方法也相当丰富，如分段函数问题常与分类讨论思想相结合，有关方程根的情况判断常涉及函数与方程思想和等价转化思想，研究函数的图象问题和基本函数的性质时常利用数形结合思想等。

函数和导数命题特点分析

解答题主要是利用导数处理函数、方程和不等式等问题，有一定的难度，往往是解答题最后两道题之一。试题考查丰富的数学思想，如函数与方程思想常应用解决函数与方程的相关问题，等价转化思想常应用于不等式恒成立问题和不等式证明问题，分类讨论思想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题。同时要求考生有较强的计算能力和综合问题的分析能力。纵观近年全国卷高考“函数和导数”题，常见考点可分为六个方面：（1）变量的取值范围问题；（2）证明不等式的问题；（3）函数零点（方程的根）问题；（4）函数的最值与极值问题；（5）导数的几何意义问题；（6）存在性问题。

通过对近十年全国卷中的函数综合题进行分析，发现其考查的形式非常全面，常见的有：（1）构造新函数――转化成最值问题；（2）分离参数后构造新函数――转化成最值问题；（3）先证明必要性，后证明充分性；（4）端点效应；（5）利用经典的不等式放缩求解参数范围；（6）主、次元互换；（7）（高等数学背景）凹凸性；（8）（高等数学背景）拉格朗日中值定理；（9）（高等数学背景）洛必达法则；（10）（高等数学背景）泰勒展开式转化计算。函数和导数综合题的解决策略

学生解决这类问题思维受阻、无法突破，主要集中在四个方面：（1）没有建构体系化的思维框架，“不见森林全貌只见树木”，处处迷失方向，不明白进行每个步骤的原因；（2）解题入口混乱，无法选择；（3）在解题过程中，由于单调性考点的综合嵌入引起思维的混乱；（4）运算能力不足引起的解题“卡壳”与运算错误。

大部分学生不关心体系化的思维框架，他们在乎的是思维入口，到底怎么入手解题呢？我们从思维入口出发，将学生混乱的解法思路梳理如下：（1）直接构造函数――大部分题目都是转移到同一边，注意部分题目中要对函数进行化简、变形，找出真正有效的不等式，这里没有技巧，需要的是数学素养；（2）分离参数后再来构造函数――拉格朗日中值定理或洛必达法则等发挥作用；（3）分离成两个函数，利用函数的凹凸性来分析这两个函数的图象；（4）利用泰勒展开式转化计算。

以上四种方法基本可以解决全国卷中出现的函数综合题。但笔者认为，很多方法其实不是一种思维体系，比如洛必达法则，它仅是求解一类特殊极限的工具而已。实际教学中，很多教师只是给出一堆方法，其自身的思路就是混乱的。事实上，基于命题核心立意的通性通法，才是解决函数问题的“金钥匙”。函数的单调性是函数的重要性质，它是函数映射关系的抽象表达，而图象则是函数映射关系的形象表达，所以通过函数单调性可以明白函数的趋势走向，利用极限思想就可以比较准确地勾勒出函数图象。很多条件不等式成立问题，可以转化为函数问题，然后对函数的趋势走向进行分析，这样就可以清楚地分析哪里成立、哪里不成立，从而解决问题。

综上所述，

1.从求‘不等式恒成立’的必要条件入手，求得参数范围，再证明其为充分条件；

2.找好分界点，并关注‘端点效应’和‘连锁反应’在研究函数中的拓展应用；

3.注意零点分布和运用极值点满足关系式的‘虚设零点’策略。

以上这三个策略可以帮助我们成功回避复杂的运算，突破解题过程中的一些技术难点，对于求解比较复杂的含参函数的综合问题具有很好的应用价值。（1）7分+（2）6分+（3）4分平均分：2.27（去0得分3.14）满分：87人

全国卷概率统计考查的基本特点：1.选取学生熟悉、真实的生活情境，贴近考生生活实例。2.试题结构稳定：一般为一小一大，共计22分左右。小题一般主要考查几何概型和古典概型、抽样（特别是分层抽样）、排列组合、二项式定理、几个重要的分布(正态分布、二项分布、超几何分布)等；大题多以概率与统计综合考查的形式出现。3.难度相对稳定：客观题属于容易题或中档题；主观题属于较难题。4.解答题中如出现古典概型和分布列期望以及统计中的线性相关和卡方检验，难度不大，但概率统计解答题如与函数、递推数列相结合，则难度较大。高中教材统计与概率教学的重点内容有“等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、n次独立重复试验中恰好（或至少、或至多）发生k次的概率以及常见概率的计算；离散型随机变量的分布列（两点分布、二项分布和超几何分布）、期望、方差、标准差的计算；正态分布、抽样方法、频率分布直方图，线性回归模型、列联表与独立性检验；概率“四兄弟”：条件概率、积事件概率、全概率、贝叶斯概率等。传统意义下概率题是随机变量及其分布列为主，是高考的重要基础，但今天概率统计解答题常与函数、递推数列等内容相结合，难度较大。全国卷统计与概率的试题常以生产、生活实际背景来设计命题。注重学生统计与概率的基本思想、读表、识图、作图以及样本分析和处理数据的能力的考查，对材料阅读理解、数据信息的提炼有较高的要求。重概率统计思想同时也重视运算。概率统计内容考查特点分析概率统计重点考查的知识点及思想方法：1.频率估计概率，样本均值估计总体均值；2.古典概型中概率的计算；3.随机变量的分布列；随机变量的期望；4.加法公式，乘法公式；5.风险决策（统计与概率的应用）；6.跨学科命题；7.新知识：如百分位数、全概率公式、超几何分布等；8.考查函数方程思想、递推转化思想、数形结合思想。（1）4分+（2）3分+（3）10分平均分：2.26（去0得分4.56）满分：117人错因：结果没有化简和因式分解导致第二问方程解不出来；2025年全国高考Ⅱ卷第19题

庄敬自强

挺拔坚韧ZHUANGJINGZIQIANGTINGBAJIANREN2021年新高考Ⅱ卷第21题：三、近年新高考数学试卷启示2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷）数学多维细目表题型题号考查知识点分值难度能力要求单选题1平均数的计算5分容易理解平均数的概念，掌握计算方法单选题2复数的运算5分容易理解复数的基本概念，掌握复数的四则运算单选题3集合的交集运算、解方程5分容易理解集合的概念及交集运算，会解简单方程单选题4分式不等式的解法5分中等掌握分式不等式的解法，能正确进行变形和求解单选题5余弦定理的应用5分中等理解余弦定理，能运用其解决三角形中的角度问题单选题6抛物线的定义与性质、直线方程5分中等掌握抛物线的定义、焦点、准线等性质，能结合直线方程求解问题单选题7等差数列的前n项和公式5分中等理解等差数列的前n项和公式，能运用方程组求解相关问题单选题8三角函数的二倍角公式、两角差的正弦公式5分中等掌握三角函数的相关公式，能进行灵活变形和计算多选题9等比数列的通项公式、前n项和公式6分中等理解等比数列的概念，掌握通项公式和前n项和公式，能进行综合运用多选题10函数的奇偶性、导数的应用、函数的极值6分较难理解函数奇偶性的定义，能利用导数研究函数的单调性和极值多选题11双曲线的性质、圆与渐近线的交点、离心率6分较难掌握双曲线的基本性质，能结合几何图形和三角函数求解问题填空题12平面向量垂直的条件、向量的模5分中等理解向量垂直的条件，能运用其求解参数，进而计算向量的模填空题13函数的极值点、导数的应用5分中等知道极值点处导数为零，能利用这一条件求解参数，进而计算函数值填空题14圆柱与球的几何关系、空间想象能力5分较难结合圆柱和球的几何特征，通过空间想象和几何计算求球的半径最大值解答题15三角函数的求值、函数的化简与性质13分中等掌握三角函数的相关公式，能化简函数并求其值域和单调区间解答题16椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、三角形面积15分中等理解椭圆的基本性质，能联立直线与椭圆方程，结合面积条件求解弦长解答题17线面平行的证明、二面角的求解15分较难掌握线面平行的判定定理，能通过空间向量法求解二面角的正弦值解答题18函数的极值点、零点、导数的应用17分较难利用导数研究函数的单调性，证明极值点和零点的存在性，分析函数的性质解答题19概率的计算、独立事件、数列的单调性证明17分较难理解独立事件的概率，能计算相关概率，通过数列知识证明单调性知识板块2021年2022年2023年2024年2025年函数与导数3222273128三