广东省揭阳市2025～2026学年高二数学上学期期终教学质量测试【含答案】

一、单选题1．直线x-y-2=0的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．双曲线的顶点坐标为（

）A．， B．， C．， D．，3．已知，，且，则（

）A． B． C．6 D．4．抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（

）A．2 B．5 C．3 D．85．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．13 B．14 C．15 D．166．过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为（

）A． B． C． D．7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（

）

A． B．C． D．8．圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（

）A．面积的最大值为6 B．的最小值为C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8二、多选题9．以下四个命题表述正确的是（

）A．直线恒过定点B．若直线与互相垂直，则实数C．已知直线与平行，则或D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或10．已知数列的前项和为，，且，则（

）A． B． C． D．11．如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是（

）A．曲线的方程为B．的最大值为C．若直线与曲线有2个交点，则的取值范围为D．曲线上的点到直线的距离的最小值是三、填空题12．已知是平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为.四、未知13．已知椭圆的左右焦点分别为，若点为椭圆上的动点，则的取值范围为．五、填空题14．设数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，若，则．六、解答题15．已知的三个顶点分别为，，，求：(1)边所在直线的方程；(2)求的面积.16．已知椭圆，点为椭圆内一点，过点的直线与椭圆交于、两点，(1)若直线的斜率为1，求线段的长度.(2)若为线段的中点，求直线的方程.17．已知数列为等差数列，且，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若点在棱上，且平面，求线段的长.19．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：．(1)分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围．(2)已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线．（i）求曲线的方程；（ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积．

参考答案1．C【详解】该直线斜率，设直线的倾斜角为，由，可得.故选：C2．B【详解】由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，.故选：B.3．A【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故选：A4．B【详解】由焦半径公式可得：，又，所以，故选：B5．B【详解】方法1：由等差数列前项和的性质可知：在等差数列中，，，，仍成等差数列，所以，，成等差数列，即，又，，所以，解得.方法2：设等差数列首项为，公差为，由等差数列前项和公式可知：，，联立解得，，所以.故选：B.6．A【详解】设，设圆心为,由于在圆上，所以,所以切线的斜率为，由点斜式可得切线方程为，即，故选：A7．C【详解】由.故选：C8．C【详解】A：根据题意可知直线如果存在斜率，斜率一定不为零，由椭圆，设直线的方程为，于是有，，设，，，令，，对钩函数在上单调递增，所以当时，对钩函数单调递增，于是由，所以，即，所以当，面积有最大值为3，因此本选项不正确；B：因为，所以，即，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为，所以本选项不正确；C：因为过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，所以，因为，所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为，所以本选项正确；D：由上可知：，所以，因为A，B两点是椭圆上非长轴上顶点，所以由椭圆的性质可知：，所以没有最小值，故本选项不正确，故选：C

9．BCD【详解】对A，直线恒过定点，所以A错误；对B，若，则，解得，所以B正确；对C，若，则有，即，解得或，当时，，，所以符合题意，当时，，所以符合题意，所以C正确；对D，当直线过原点时，方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为：，又因为过点，所以，解得，所以直线方程为，所以D正确.故选：BCD10．CD【详解】已知，则，所以A错误；由，可得，可得，即，当时，，即数列自第二项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即，所以B错误；，所以C正确，当时，，符合条件，当时，，所以D正确；故选：CD.11．ACD【详解】由可变形为，则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆.对于选项A：曲线的焦点为，解得，，，则曲线的方程为，故A正确；对于选项B：设椭圆的上焦点，则，当点位于的下顶点时，即，则，故B错误；对于选项C：联立方程，消去可得，令，解得（舍去）或，取直线和直线；若点到直线，即的距离，解得或（舍去），若点到直线，即的距离，解得或（舍去），取直线和直线；以直线为临界，结合图形可知：若直线与曲线有2个交点，则或，所以的取值范围为，故C正确；对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，且两平行线间距离为，所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确；故选：ACD.12．/【详解】因为，所以点到平面的距离为：.故答案为：13．【详解】，，焦点坐标设，P点在椭圆上，所以，且，化简可得：，又，，即的取值范围为故答案为：14．【详解】因为数列，均为等差数列，所以，则，故答案为：.15．(1)；(2).【详解】（1）由题设及直线的两点式有，可得，所以；（2）由到的距离，且，所以.16．(1)(2)【详解】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即.联立直线与椭圆方程组得，解得.所以.所以.（2）设，则满足，两式相减得，因为是线段的中点，所以，所以，则有，所以直线的方程为，即，即.17．(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得.所以.由数列满足，得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；（2）由（1），得，则，则，两式作差，得所以.18．(1)见解析；(2)；(3).【详解】（1）平面平面,且平面平面,又,且平面，平面，平面，.在中，，，，，且平面，平面.（2）由（1）知两两互相垂直，所以,建立空间直角坐标系,如图所示：所以.易知平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为,则,即,令,则.则,即平面与平面夹角的余弦值为.（3）因为点在棱,所以.因为.所以.又因为平面为平面的一个法向量,所以,即,所以.所以,所以.19．(1)；(2)（i）；（ii）【详解】（1）因为，所以，表示点到原点的距离，表示点到直线的距离．若曲线表示椭圆，则，解得，即的取值范围为；若曲线表示双曲线，则，解得，即的取值范围为．（2）（i）因为曲线的离