全品高考备战2027年数学一轮备用题库06第46讲空间向量及其运算和空间位置关系【答案】作业手册

第46讲空间向量及其运算和空间位置关系1.B[解析]由题知a·b=-1+2x-5=2,解得x=4.故选B.2.A[解析]因为u·a=2+0-2=0,所以u⊥a,所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内.故选A.3.B[解析]连接ON,因为N为BC的中点,所以ON=12(OB+OC),因为M在OA上,且OM=2MA,所以OM=23OA,所以MN=ON-OM=12OB+12OC-23OA=-24.C[解析]∵OC=12(a-b)=12(OA+OB+OC)-12(OA+OB-OC),∴OC与a,b不能构成空间的一个基底.5.CD[解析]取AC的中点O,连接ON,OB,由题意可知ON∥AA1,OB⊥AC,因为AA1⊥平面ABC,且AC,OB⊂平面ABC,所以AA1⊥AC,AA1⊥OB,则ON⊥AC,ON⊥OB,即ON,AC,OB两两垂直,以O为坐标原点,OA,OB,ON所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),C1(-1,0,2),M12,32,0,N(0,0,2),可得MN=-12,-32,2,CA=(2,0,0),BC1=(-1,-3,2),CB=(1,3,0).设平面令x=3,则y=-1,z=0,可得n=(3,-1,0).对于选项A,因为MN·CA=-1≠0,所以MN与AC不垂直,故A错误;对于选项B,因为-12-1=-32-3≠22,所以MN与BC1不平行,-122+-322+22=5,故C正确;对于选项D,n·MN=3×-12+(-1)×-32+0×2=0,又MN⊄平面BCC1B1,所以6.0,-12,12[解析]因为A(2,1,3),B(2,-2,6),C(3,3,6),所以AC=(1,2,3),AB=(0,-3,3),所以AC·AB=-6+9=3,所以向量AC在AB上的投影向量的坐标为AC·AB|7.12[解析]如图,因为PB=PC=1,∠APB=∠APC=90°,∠BPC=60°,所以AB·PC=(AP+PB)·PC=PB·PC=1×1×cos60°=18.D[解析]由题意知△ABC是边长为3的等边三角形,且DA=DB=DC=2,等边三角形ABC的高为3-34=32.以O为原点,过点O且平行于BC的直线为x轴,过点O且垂直于BC的直线为y轴,OD所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,-1,0),B32,12,0,C-32,12,0,D(0,0,3),且P(0,0,3λ),所以AP=(0,1,3λ),PB=32,12,-3λ,CB=(3,0,0).设m=(x,y,z)为平面PBC的法向量,则PB·m=32x+129.C[解析]∵SC+SA+2BS=SC+SA-2SB=(SC-SB)+(SA-SB)=BC+BA,SC-SA=AC=BC-BA,∴(SC+SA+2BS)·(SC-SA)=(BC+BA)·(BC-BA)=BC2-BA2=0,∴|BC|=|BA|,即BC=BA,∴△ABC是等腰三角形.故选10.D[解析]如图,取BC的中点E,AD的中点F,连接ED,EF,则|PB+PC|=|2PE|=22,所以|PE|=2,故点P的轨迹是以E为球心,以2为半径的球面.AP·PD=-(PF+FA)·(PF+FD)=-(PF+FA)·(PF-FA)=|FA|2-|PF|2=4-|PF|2.因为ED=DC2-CE2=16-4=23,EF=DE2-DF2=12-4=22,所以|PF|min=EF-2=2,|PF|max=EF+211.BC[解析]对于A,连接A1C1,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形A1ACC1为平行四边形,所以AC∥A1C1,则A,C,C1,A1四点共面,则平面ACC1即为平面A1ACC1,而直线A1B显然与该平面相交于点A1,故A错误.对于B,AC1·BD=(AB+AD+AA1)·(AD-AB)=AB·AD-AB2+AD2-AB·AD+AA1·AD-AA1·AB=-62+62+6×6×12-6×6×12=0,所以AC1⊥DB,即AC1⊥DB,AC·BD=(AB+AD)·(AD-AB)=AD2-AB2=|AD|2-|AB|2=0,所以AC⊥BD,即AC⊥BD,因为AC∩AC1=A,AC,AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥平面ACC1,故B正确.对于C,AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1,所以AC12=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AD·AA1+2AB·AA1=36+36+36+2×6×6×cos60°+2×6×6×cos60°+2×6×6×cos60°=216,所以AC1=216=66,故C正确.对于D,BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+AD,所以|BD1|2=(AD+AA1-AB)2=AD2+AA12+AB2+2AD·AA1-2AD·AB-2AA1·AB=72,所以|BD1|=62,|AC|2=(AB+AD)2=AB2+AD2+2AB·AD=108,所以|AC|=63,AC·BD1=(AD+AA1-AB12.29[解析]连接AC,BD交于点O,则O为AC,BD的中点,连接PO,则PA+PC=PB+PD=2PO.设PD=λPH,则4PE+2PG=32PF+λPH,即PE=-12PG+38PF+λ4PH,因为E,F,G,H四点共面,所以-12+38+13.12[解析]以A为坐标原点,以AB,AD,AA1的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),O12,12,0,N12,0,1.设M(0,1,a)(0≤a≤1),则AM·ON=(0,1,a)·0,-1214.证明:(1)连接BG,EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,由共面向量定理的推论知,E,F,G,H四点共面(2)∵E,H分别为AB,AD的中点,∴AE=12AB,AH=∴AH-AE=12AD-12AB,∴EH=12又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,∴BD∥平面EFGH.(3)∵EH=12BD,FG=12BD,∴EH=FG,∴四边形EFGH为平行四边形.又∵M是EG和FH的交点,∴M为EG,FH的中点,∴OM=12(OE+OG)=12OE+12OG=1212(OA15.解:(1)证明:因为DE垂直平分AB,所以DE⊥AD,DE⊥BD,即DE⊥PD,DE⊥BD,又PD∩BD=D,PD,BD⊂平面PBD,所以DE⊥平面PBD,又因为DE⊂平面BCED,所以平面PBD⊥平面BCED.(2)由(1)可知DE⊥PD,DE⊥BD,则∠PDB为二面角P-DE-B的平面角,即∠PDB=π3又因为PD=BD,所以△PDB为等边三角形.在△ABC中,AB=4,BC=2,B=π3所以AC=AB2+B则AB2=AC2+BC2,所以C=π2连接CD,因为D为AB的中点,所以△BCD为等边三角形.取BD的中点O,连接PO,OC,则PO⊥BD,OC⊥BD,又因为平面PBD⊥平面BCED,平面PBD∩平面BCED=BD,PO⊂平面PBD,所以PO⊥平面BCED,又OC⊂平面BCED,所以PO⊥OC,故以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),E-1,233,0,可得BD=(-2,0,0),DE=0,233,0,DP=(1,0,3),PE=-1,233,-3.设Q(x1,y1,z1),由PQ=λPE(0故Q-λ所以BQ=-λ设平面BDQ的法向量为m=(x,y