全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第17讲导数与函数的单调性【答案】作业手册

第17讲导数与函数的单调性1.D[解析]由图象可得f(x)在[1,5]上单调递减,在(5,+∞)上单调递增,所以f'(2)<0,f'(3)<0,f'(6)>0.故选D.2.A[解析]函数f(x)=x2ex的定义域为R,f'(x)=2x-x2ex,由f'(x)>0可得0<3.B[解析]当f(x)在(a,b)上单调递减时,f'(x)<0在(a,b)上不一定恒成立,例如f(x)=-x3,显然f(x)在(-1,1)上单调递减,但f'(0)=-3×02=0;若f'(x)<0在(a,b)上恒成立,设x0∈(a,b),则f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k=f'(x0)<0,所以f(x)在(a,b)上单调递减.所以“f(x)在(a,b)上单调递减”是“f'(x)<0在(a,b)上恒成立”的必要不充分条件.故选B.4.A[解析]由题可得f'(x)=3x2+2bx+c,由题意知,-1,3是f'(x)=0的两个根,∴-1+3=-2b3,-1×3=c3,∴b=-3,c=-9,∴b+c=-125.D[解析]由题可得f'(x)=-sinx+ex,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为2>ln2>lne=12,所以f12<f(ln2)<f(2),即b<c<a.6.AD[解析]由f'(x)=3x2-3<0,解得-1<x<1,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,故A正确;当x∈[0,1)时,f'(x)<0,则f(x)在[0,1)上单调递减,当x∈(1,2]时,f'(x)>0,则f(x)在(1,2]上单调递增,又f(0)=3,f(1)=1,f(2)=5,所以当x∈[0,2]时,f(x)的取值范围为[1,5],故B错误;f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,f(x)极大值=f(-1)=5,f(x)极小值=f(1)=1,结合图象可知f(x)只有一个零点,故C错误;因为f(x)+f(-x)=x3-3x+3+(-x)3+3x+3=6,所以曲线y=f(x)关于点(0,3)对称,故D正确.故选AD.7.π6,π2[解析]由已知得f'(x)=1-2sinx,x∈0,π2,令f'(x)<0,即1-2sinx<0,可得π6<x<8.1<m≤2或m≥4[解析]由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-9x=x2-9x,由f'(x)≥0,可得x≥3,则函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞),由f'(x)≤0,可得0<x≤3,则函数f(x)的单调递减区间为(0,3].因为f(x)在区间[m-1,m+1]上单调,所以m-1>0,9.解:f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=x2-(a①当a≤0时,由f'(x)<0,得0<x<1,由f'(x)>0,得x>1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;②当a=1时,f'(x)≥0恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;③当0<a<1时,由f'(x)<0,得a<x<1,由f'(x)>0,得x>1或0<x<a,所以函数f(x)在(a,1)上单调递减,在(0,a),(1,+∞)上单调递增;④当a>1时,由f'(x)<0,得1<x<a,由f'(x)>0,得x>a或0<x<1,所以函数f(x)在(1,a)上单调递减,在(0,1),(a,+∞)上单调递增.综上,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当0<a<1时,函数f(x)在(a,1)上单调递减,在(0,a),(1,+∞)上单调递增;当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>1时,函数f(x)在(1,a)上单调递减,在(0,1),(a,+∞)上单调递增.10.A[解析]函数f(x)=ax-tanx=ax-sinxcosx,求导得f'(x)=a-1cos2x,若函数f(x)在-π4,π4上单调递增,则f'(x)≥0,即a≥1cos2x对任意x∈-π4,π4恒成立,而当x∈-π4,11.C[解析]由题设可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x<1时,函数f(x)单调递增,当x>1时,函数f(x)单调递减,则f(2026)<f(2025),故D错误;因为x1<x2,且x1+x2>2,所以x2-1>1-x1,该不等式说明x2到对称轴x=1的距离比x1到对称轴x=1的距离远,即|x2-1|>|x1-1|,又函数f(x)的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小,所以f(x1)>f(x2),故A,B错误,C正确.故选C.12.BC[解析]由题知,f'(x)=ax-ex=a-xexx,因为f(x)在(1,3)上不单调,所以函数y=a-xex在(1,3)上存在变号零点.设g(x)=a-xex,x∈(1,3),则g'(x)=-(x+1)ex<0,则g(x)在(1,3)上单调递减,所以g(1)>0,g(313.(-∞,4)[解析]因为函数f(x)=2lnx-12ax2-2x在12,4上存在单调递增区间,所以f'(x)=2x-ax-2>0在区间12,4上有解,即2x2-2x>a对x∈12,4有解.令t=1x∈14,2,则2t2-2t>a对t∈14,2有解.令h(t14.(-2,1)[解析]f(x)的定义域为R,∵函数f(x)=3x3-2x+ex-1ex,∴f(-x)=-3x3+2x+e-x-1e-x=-3x3+2x+1ex-ex,则f(-x)=-f(x),∵f'(x)=9x2-2+ex+1ex≥9x2-2+2≥0,∴函数f(x)在R上单调递增.∵f(a)+f(a∴f(a2-2)<-f(a)=f(-a),∴a2-2<-a,解得-2<a<1.故实数a的取值范围是(-2,1).15.解:(1)当a=2时,f(x)=x(lnx+1),∴f'(x)=lnx+1+1=lnx+2,∴f'(1)=2,f(1)=1,则切点为(1,1),∴所求切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=x(lnx+a-1)-12ax2xlnx+ax-x-12ax∵函数g(x)在区间[2,3]上单调递减,∴g'(x)=lnx+a-ax≤0在区间[2,3]上恒成立,∴lnx≤a(x-1)对x∈[2,3]恒成立.由x∈[2,3],得x-1∈[1,2],则a≥lnxx-1对令h(x)=lnxx-1,x∈[2,3],则a≥h(x)恒成立,a≥h(h'(x)=1-1x-lnx(x-1)2,令t(x)=1-1x-lnx,则t(2)=1-12-ln2=12-ln2<0,当x∈[2,3]时,t'(x)=1x2-1x=1-xx2<0,则t(x)在[2,3]上单调递减,故t(16.ABC[解析]因为f(x+1)=ln|x|x2,所以f(x+1)是偶函数,所以曲线y=f(x)关于直线x=1对称,则f(2-x)-f(x)=0恒成立,故A正确;由A得f(-x+1)=f(x+1),两边取导数得-f'(-x+1)=f'(x+1),所以f'(x+1)为奇函数,此时m=-1,又函数f(x)的定义域为{x|x≠1},所以存在m∈D,使得f'(x-m)为奇函数,故B正确;当x>1时,f'(x)=1-2ln(x-1)(x-1)3,由f'(x)=0,得x=1+e,当x∈(1,1+e)时,f'(x)>0,当x∈(1+e,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,1+e)上单调递增,在(1+e,+∞)上单调递减,所以f(x)max=12e<14,由曲线y=f(x)关于直线x=1对称,得∀x∈D,f(x)<14,故C正确;设f(x)=t,则f(t)=0,于是t=0或t=2,当t=0时,由f(x)=0,解得17.32,+∞[解析]不妨设x1<x2,因为f(x)=x+alnx,所以f'(x)=1