全品高考备战2027年数学一轮学生用书08第46讲空间角【正文】作业手册

第46讲空间角(时间:45分钟)1.若直线l的一个方向向量为u=(0,1,-3),平面α的一个法向量为n=(2,0,1),则l与α所成的角为 ()A.π6 B.C.π3 D.2.已知两平面的法向量分别为m=(0,-1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为 ()A.45° B.135°C.45°或135° D.90°3.如图,在正四面体A-BCD中,点E,F,G分别为棱BC,CD,AC的中点,则异面直线AE,FG所成角的余弦值为 ()A.33 B.-C.-63 D.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中点,则CE与平面A1BE所成角的正弦值为 ()A.10515 B.C.715 D.5.[2026·福建漳州调研]如图,在三棱锥A-BCD中,AB=BC=AC=DB=DC,且平面ABC与平面BCD垂直,E为BC中点,若EF=DA,则平面ADB与平面ABF的夹角的余弦值为 ()A.55 B.C.63 D.6.(多选题)在三棱台ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2A1B1=4,C1M=13C1C.以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,A.B1B.AM⊥B1CC.异面直线BB1与A1C所成角的余弦值为10D.点B到直线A1C的距离为267.如图是电商平台售卖的一种木制“升斗”,底部封闭,上部开口,把该升斗看作一个正四棱台,尺寸如图所示,则该四棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为.

8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AD=AA1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则直线AC1与BB1所成角的余弦值为.

9.如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,底面ABCD是等腰梯形,且BC∥AD,AD=2DC=2CB,∠ADC=60°,PC=2BC,M为AD中点.(1)求证:PM⊥平面ABCD;(2)求直线AB与PD所成角的余弦值;(3)求平面BPC与平面PCD的夹角的正弦值.10.[2023·全国乙卷]已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C-AB-D的平面角为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为 ()A.15 B.C.35 D.11.(多选题)如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,测得从D,C到水库底面与水坝斜面的交线AB的距离分别为DA=12m,CB=12m.又测得AB的长为10m,CD的长为105m,则 ()A.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为-1B.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为-7C.直线CD与水库底面所成角的正弦值为55D.直线CD与水库底面所成角的正弦值为412.[2026·浙江宁波九校期末]如图,P是正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线AC1(含端点)上的动点,M为棱DD1(含端点)上的动点,则下列说法正确的是 ()A.异面直线B1P与A1D所成角的最小值为πB.异面直线B1P与A1D所成角的最大值为πC.对于任意给定的P,存在点M,使得AM⊥B1PD.对于任意给定的M,存在点P,使得B1P⊥AM13.(多选题)[2025·山东德州三模]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=1,E,F,G分别为棱AB,AD,PC的中点,则 ()A.AG⊥PDB.异面直线FG和AC所成的角为πC.平面EFG与平面ABCD所成角的正弦值为6D.过点E,F,G的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面图形为五边形14.[2026·四川眉山质检]在空间直角坐标系O-xyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.已知平面α的方程为x+y+4z-3=0,直线l是平面β:x+2y-3=0与平面γ:2y+z+1=0的交线,则l与α所成角的大小为.

15.如图,圆锥SO的顶点为S,点A,B,C,D在底面圆O的圆周上,且AC,BD的交点为圆心O,AB=22,AC=4,SO=2,则平面SAB与平面SCD的夹角的余弦值为;若P是母线SC上一点,且CP=14CS,Q是平面SBD内一点,则△CPQ的周长的最小值为16.[2023·新课标Ⅰ卷]如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2∥A2D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.17.[2025·河北保定三模]如图,圆台O1O2的下底面的内接正方形ADBC的边长为4,P是上