全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第7讲函数的单调性【答案】听课手册

第7讲函数的单调性●课前基础巩固【知识聚焦】1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的2.单调性单调区间3.f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M纵坐标纵坐标【对点演练】1.(2,3][-3,2][解析]由函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的图象可得f(x)的单调递增区间是(2,3],单调递减区间是[-3,2].2.>[解析]因为对任意的x1,x2∈R,都有x1-x2f(x1)-f3.(-∞,2][解析]函数f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是[a,+∞),当f(x)在[2,+∞)上单调递增时,[2,+∞)⊆[a,+∞),所以a≤2,故实数a的取值范围是(-∞,2].4.225[解析]函数f(x)=2x-1在[2,6]上单调递减,所以f(x)在x=2处取到最大值2,在5.[3,+∞)[解析]由x2-2x-3≥0得x≤-1或x≥3,故f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).由函数y=x2-2x-3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,结合复合函数的单调性得f(x)的单调递增区间为[3,+∞).6.-∞,138[解析]由题知a-2<0,(a-27.(1)(-∞,-3](2)-3[解析](1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由题意得1-a≥4,解得a≤-3,故实数a的取值范围是(-∞,-3].(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由题意得1-a=4,解得a=-3.●课堂考点探究例1[思路点拨]通过图象法、函数单调性的性质、复合函数的单调性以及导数等判断函数的单调性.BD[解析]对于A,画出函数y=|x2-2x|的图象,如图所示,易知函数y=|x2-2x|在其定义域内不是增函数,故A错误;对于B,因为函数y=ex是R上的增函数,y=e-x是R上的减函数,所以y=ex-e-x是R上的增函数,故B正确;对于C,函数y=log0.5x在其定义域上是减函数,而y=x+1在其定义域上为增函数,所以函数y=log0.5(x+1)在定义域(-1,+∞)上为减函数,故C错误;对于D,y=x+cosx的定义域为R,y'=1-sinx≥0在R上恒成立,故y=x+cosx是R上的增函数,故D正确.故选BD.例2[思路点拨]思路一:利用定义证明函数的单调性即可;思路二:利用导数判断.解:方法一:任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,易知f(x)=a(x-1+1则f(x1)-f(x2)=a1+1x1-1-又x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增.方法二:因为f'(x)=-a(x-1)2,所以当a>0时,f'(x)<0在(-1,1)上恒成立,所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f'(例3[思路点拨](1)作出函数f(x)=x2-4|x|+3的图象,根据图象即可得解;(2)对函数求导,利用导数的符号确定函数的单调区间.(1)B(2)A[解析](1)函数f(x)=x2-4|x|+3=x2-4x+3,x≥0,x2+4x+3,x<0(2)由题得f'(x)=1+lnx,令f'(x)=0,解得x=1e,当0<x<1e时,f'(x)<0,当x>1e时,f'(x)>0,故f(x)在0,1e上单调递减,在1e,+变式题(1)C(2)(π,2π)(3)[0,2)[解析](1)由x2-2x>0,解得x<0或x>2,所以函数y=ln(x2-2x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).令u=x2-2x,则函数u=x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,而函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数,故由复合函数的单调性可得y=ln(x2-2x)的单调递减区间为(-∞,0).故选C.(2)由y=sinx-xcosx(0<x<2π),得y'=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx,令y'<0,得π<x<2π,所以函数y=sinx-xcosx(0<x<2π)的单调递减区间为(π,2π).(3)由题意知g(x)=x2f(x-1)=x2,x>2,0,x=2,-x例4[思路点拨](1)利用换元法和复合函数的单调性进行判断,由内层函数t=ax+2单调递减并且在区间(1,2)上大于零恒成立联立求解即可;(2)根据分段函数在R上的单调性求解即可.(1)[-1,0)(2)B[解析](1)令t=ax+2,则y=lnt,因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,且y=lnt在定义域内单调递增,所以a<0,2a(2)因为f(x)在R上单调递增,所以--2a-2≥0,且-a≤e0变式题(1)D(2)[2,3][解析](1)因为y=2u在R上是增函数,所以根据复合函数的单调性可得u=x(x-a)=x-a22-a24(2)因为函数f(x)满足对任意实数x1,x2,且x1≠x2,都有f(x2)-f(x1)x2-例5[思路点拨]利用导数判断函数的单调性,再利用单调性比较大小.A[解析]易知函数f(x)=sinx+cosx-2x的定义域为R,可得f'(x)=cosx-sinx-2=2cosx+π4-2≤2-2<0,所以函数f(x)在R上单调递减.又-π<0<ln2<1<2e,所以f(-π)>f(ln2)>f(2e),即a>c>例6[思路点拨](1)先判断函数f(x)的单调性,再根据单调性解不等式即可.(2)利用已知等式结合赋值法可得f(1)=1,再利用函数f(x)的单调性求解.(1)(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)D[解析](1)由函数f(x)=ln(x+1),x≥0,-2x2,x<0,可得当x≥0时,f(x)单调递增,当x<0时,f(x)单调递增,且ln(0+1)=0=-2×02,故函数f(x)在R上单调递增,故不等式f(x+2)<f(x2+2x)等价于x+2<x2(2)在f(xy)=f(x)+f(y)-1中,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)-1,可得f(1)=1,所以f(log2x-1)>1即为f(log2x-1)>f(1).因为函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,所以log2x-【应用演练】1.A[解析]由题可知,f(x)=x|x|=x2,x≥0,-x2,x<0,故f(x)在R上单调递增.由f(2x)>f(1-2.C[解析]因为f(x)是定义在R上的增函数,所以若f(x)>x,则f[f(x)]>f(x)>x,即充分性成立;若f[f(x)]>x,假设存在x0满足f(x0)≤x0,则f[f(x0)]≤f(x0)≤x0,这与f[f(x)]>x相矛盾,所以假设不成立,所以f(x)>x,即必要性成立.综上所述,“f(x)>x”是“f[f(x)]>x”的充要条件.故选C.3.A[解析]构造函数f(x)=2x-3-x,易知f(x)为R上的增函数.由2x-2y<3-x-3-y得2x-3-x<2y-3-y,∴f(x)<f(y),∴x<y,∴y-x+1>1,∴ln(y-x+1)>0,故A正确,B错误.|x-y|与1的大小关系不确定