全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第2讲常用逻辑用语【答案】听课手册

第2讲常用逻辑用语●课前基础巩固【知识聚焦】1.充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.(1)全称量词∀(2)存在量词∃(3)∃x∈M,p(x)∀x∈M,p(x)【对点演练】1.充分不必要[解析]由三角形是等边三角形可得到该三角形一定是等腰三角形,但反之不成立,所以“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件.2.存在真∀x∈Q,|x|∉N[解析]命题“∃x∈Q,|x|∈N”含有存在量词,所以是存在量词命题.因为1∈Q,|1|∈N成立,所以该命题是真命题.存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词,并否定结论,所以“∃x∈Q,|x|∈N”的否定是“∀x∈Q,|x|∉N”.3.充要[解析]当a2+b2=c2时,△ABC为直角三角形,充分性成立;当△ABC为直角三角形时,因为a≤b≤c,所以a2+b2=c2,必要性也成立.故“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件.4.(3,+∞)[解析]因为“∀x>1,2x+1>λ”是假命题,所以“∃x>1,2x+1≤λ”是真命题.因为当x>1时,2x+1>3,所以实数λ的取值范围是(3,+∞).5.①a<3②a>3③a=3[解析]①因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以A⫋B,则a<3;②因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B⫋A,则a>3;③因为x∈A是x∈B的充分必要条件,所以A=B,则a=3.6.存在一个能被3整除的整数不是奇数[解析]命题“所有能被3整除的整数都是奇数”是全称量词命题,“所有的”是全称量词,由全称量词命题的否定是存在量词命题,可得命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”.7.充分不必要[解析]依题意知p⇒r,r⇒/p,r⇒s,s⇒q,所以p⇒q,q⇒/p,故p是q的充分不必要条件.●课堂考点探究例1[思路点拨](1)通过判断是否能相互推出,结合充分条件与必要条件的定义可得结果;(2)根据AC=AB+AD判断出四边形ABCD的形状,结合充分条件、必要条件的定义判断即可.(1)A(2)B[解析](1)x=0⇒sin2x=sin0=0,故“x=0”是“sin2x=0”的充分条件;当x=π时,sin2x=sin2π=0,可知sin2x=0⇒/x=0,故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件.综上可知,“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.故选A.(2)在四边形ABCD中,由AC=AB+AD,得四边形ABCD为平行四边形.若AC⊥BD,则平行四边形ABCD为菱形,但不一定为正方形;若四边形ABCD是正方形,则必有AC⊥BD,即AC⊥BD.故“AC⊥BD”是“四边形ABCD是正方形”的必要不充分条件.故选B.变式题(1)B(2)D[解析](1)在△ABC中,由cosAcosB<sinAsinB,可得cosAcosB-sinAsinB<0,即cos(A+B)<0,因此A+B是钝角,C是锐角,没有条件可判断A,B都是锐角,故不能确定△ABC为锐角三角形;若△ABC为锐角三角形,则C是锐角,A+B是钝角,所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB<0,即cosAcosB<sinAsinB成立.所以“cosAcosB<sinAsinB”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.故选B.(2)|x|>|y|等价于x2>y2,推不出x>y,排除A,B;由xy>1,可得x-yy>0,解得x>y>0或x<y<0,所以xy>1是x>y的既不充分也不必要条件,排除C;由2x-y>2,得x-y>1,即x>y+1,x>y+1可以推出x>例2[思路点拨]根据充分条件判断集合A,B的包含关系即可.D[解析]由题意得A=[0,2],因为x∈A是x∈B的充分条件,所以A⊆B,即“∀x∈[0,2],x2-ax≤0”是真命题,易知二次函数y=x2-ax=x(x-a)的图象开口向上,与x轴交于点(0,0),(a,0),所以a≥2.故选D.变式题(1)(0,3](2)[9,+∞)[解析](1)因为p是q的必要不充分条件,所以1-m≥-2,1+m<10或(2)因为p是q的充分不必要条件,所以1-m≤-2,1+m例3[思路点拨](1)根据含有一个量词的命题的否定的定义,可得结果;(2)利用特殊值代入,进而判断即可.(1)B(2)B[解析](1)“∃a∈R,函数f(x)=x3-ax2是奇函数”的否定是“∀a∈R,函数f(x)=x3-ax2不是奇函数”.故选B.(2)当x=-12时,-12+1=12<1,故p是假命题,则p是真命题;当x=1时,13=1,故q是真命题,则变式题AC[解析]对于A,该命题的否定为“∀x∈R,x2-x+14≥0”,是全称量词命题,又x2-x+14=x-122≥0,故原命题的否定为真命题,故A符合要求;对于B,该命题为全称量词命题,故其否定为存在量词命题,故B不符合要求;对于C,该命题的否定为“∀x∈R,x2+2x+2>0”,是全称量词命题,又x2+2x+2=(x+1)2+1>0,故原命题的否定为真命题,故C符合要求;对于D,存在实数x=-1,使例4[思路点拨](1)根据“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”为真命题可知,一元二次不等式对应的二次函数的图象开口向上,且与x轴有两个不同交点,利用判别式构造不等式求解即可;(2)求出函数f(x)在[2,+∞)上的最小值,可得出a+m>f(x)min,再结合恒成立可求得实数m的取值范围.(1)B(2)(2,+∞)[解析](1)由已知可得,“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”是真命题,令f(x)=x2+(a+1)x+1,x∈R,则存在x∈R,f(x)<0,所以只需Δ=(a+1)2-4>0,解得a<-3或a>1,故选B.(2)因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,当x≥2时,f(x)min=f(2)=1.因为“∃x∈[2,+∞),∀a∈[-1,1],使得f(x)<m+a”是真命题,所以a+m>f(x)min=1,则m-1>1,解得m>2.变式题A[解析]因为“∃x∈(0,+∞),2x2-ax+1<0”为假命题,所以“∀x∈(0,+∞),2x2-ax+1≥0”为真命题.由2x2