全品高考备战2027年数学一轮备用题库05增分微练5构造法在解决函数、导数问题中的应用【答案】作业手册

增分微练5构造法在解决函数、导数问题中的应用1.B[解析]设f(x)=lnxx(x>0),则f'(x)=1-lnxx2,当0<x<e时,f'(x)>0,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.原不等式可化为lnxx>ln22,即f(x)>f(2),结合f(2)=f(4),2.B[解析]由f(x)ex>e,f(1)=1,可得f(x)ex>ef(1),令g(x)=f(x)ex,则g'(x)=ex[f'(x)+f(x)],又f(x)+f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.原不等式等价于g(x)>g(1),所以x>1,则原不等式的解集为(1,+∞).3.D[解析]因为2024m=2025,所以m=log20242025>1.构造函数f(x)=xm-x-1,x∈[1,2025],则f'(x)=mxm-1-1.令g(x)=f'(x)=mxm-1-1,x∈[1,2025],则g'(x)=m(m-1)xm-2>0,则g(x)=f'(x)在[1,2025]上单调递增,得f'(x)≥f'(1)=m-1>0,则f(x)在[1,2025]上单调递增.又f(2024)=0,f(2023)=x,f(2025)=y,所以x<0<y.故选D.4.A[解析]构造函数f(x)=xex,则f'(x)=1-xex,当x=1时,f'(1)=0,当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)=xex在[1,+∞)上单调递减.因为a=1e=f(1),b=ln33=ln3eln3=f(ln3),c=e-2+ln2=2e2=f(2),且5.D[解析]设g(x)=[f(x)]2-2cosx,则g'(x)=2f(x)·f'(x)+2sinx>0,故y=g(x)在定义域R上是增函数,所以gπ2>g-π2,即fπ22>f6.D[解析]由xx-1≥lnx+ax(x>0),得xx≥xlnx+a,所以exlnx-xlnx≥a对任意x>0恒成立.令f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1在(0,+∞)上单调递增,令f'(x)=0,得x=1e,当0<x<1e时,f'(x)<0,当x>1e时,f'(x)>0,所以f(x)在0,1e上单调递减,在1e,+∞上单调递增,所以f(x)≥f1e=-1e,即xlnx≥-1e.令t=xlnx,g(t)=et-tt≥-1e,则g'(t)=et-1在-1e,+∞上单调递增,令g'(t)=0,得t=0,所以当-1e≤t<0时,g'(t)<0,当t>0时,g'(t)>0,所以g(t)在-1e,0上单调递减7.ACD[解析]设f(x)=ex-x(x>0),则f'(x)=ex-1>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又x>y>0,所以f(x)>f(y),即ex-x>ey-y,即ex-ey>x-y,A正确;令x=e,y=1,则lnx-lny=1,而x-y=e-1>1,所以lnx-lny<x-y,B不正确;设h(x)=lnx-1+1x(x>0),则h'(x)=1x-1x2=x-1x2,当0<x<1时,h'(x)=x-1x2<0,函数h(x)单调递减,当x>1时,h'(x)=x-1x2>0,函数h(x)单调递增,则h(x)=lnx-1+1x在x=1处取得最小值,最小值为h(1)=ln1-1+11=0,所以lnx≥1-1x,C正确;设g(x)=x·ex(x>0),则g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)=x·ex在(0,+∞)上单调递增,又x>y>0,所以g(x)>g(y),8.AC[解析]对于A,F(x)=exf(x),则F(-x)=e-xf(-x),由f(-x)+e2xf(x)=0可得e-xf(-x)+exf(x)=0,所以F(x)+F(-x)=0,又F(x)的定义域为R,所以F(x)=exf(x)为奇函数,A正确;对于B,因为[e2xf(x)-e2x]'=2e2xf(x)+e2xf'(x)-2e2x=e2x[2f(x)+f'(x)-2]=0,所以e2xf(x)-e2x=c,c为常数,则f(x)=e2x+ce2x,又在f(-x)+e2xf(x)=0中,令x=0,得f(0)=0,故f(0)=e0+ce0=0,故c=-1,所以f(x)=e2x-1e2x,由exf(x)-3ex<0可得e2xf(x)-3<0,又f(x)=e2x-1e2x,所以e2x-4<0,则x<ln2,B错误;对于C,f(x)=e2x-1e2x=1-1e2x在R上为增函数,而y=(x-a)2为图象开口向上,且对称轴方程为x=a的二次函数,由题知x1,x2是f(x)与y=(x-a)2的图象的两个交点的横坐标,不妨令x1<a<x2,设直线y=f(x1)与y=(x-a)2的图象的两个交点的横坐标为x1,x'2,则x1+x'2=2a,且x1<a<x'2<x2,所以x1+x2>2a,C正确;对于D,由2f(x)+f'(x)=9.(-∞,-1)∪(1,+∞)[解析]当x>0时,因为xf'(x)+f(x)>0,所以[xf(x)]'>0.令F(x)=xf(x),则当x∈(0,+∞)时,F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以F(-x)=(-x)f(-x)=-x[-f(x)]=xf(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.因为f(1)=2,所以F(1)=f(1)=2,所以F(-1)=2,作出F(x)的大致图象如图所示.由图可知,使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).10.a≥e[解析]由x2x1x1x2-eax2eax1<0,得x2x1x1x2<eax2-ax1,两边取自然对数,得x1x2lnx2x1<ax2-ax1,即lnx2-lnx1<ax1-ax2,则lnx2+ax2<lnx1+ax1.令h(x)=lnx+ax,则h(x)在(1,e)上单调递减,所以h'(x11.(1,2][解析]设g(x)=f(x)ex,x∈[-4,4],则g'(x)=f'(x)ex-f(x)exe2x=f'(x)-f(x)ex,因为f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,故g(x)在[-4,4]上为增函数.不等式ex-1f(1+x)-f(2x)<0等价于ex-1g(1+x)e1+x-g(2x)e2x<0,故g(1+x)-g(2x)<0,即g(112.1e,+∞[解析]根据题意得axeax≥(x+1)lnx-ax,即ax(eax+1)≥(x+1)lnx=(elnx+1)lnx,令n(x)=x(ex+1),则n(ax)≥n(lnx),n'(x)=ex+1+xex,令m(x)=n'(x),则m'(x)=(x+2)ex,当x∈(-∞,-2)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,当x∈(-2,+∞)时,m'(x)>0,m(x)单调递增,所以m(x)=n'(x)=ex+1+xex≥n'(-2)=1-1e2>0,所以n(x